摘要：基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)探究是實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的有效途徑，有助于學(xué)生進一步激發(fā)興趣、開闊視野，理解數(shù)學(xué)、提升素養(yǎng)。結(jié)合2019年江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動中一些參賽教師的教學(xué)設(shè)計，談一談如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂探究的各個環(huán)節(jié)中：以史入境，開啟探究之旅;以史明理，尋求探究之法;以史作證，確認探究之效;以史為練，鞏固探究之果;以史促思，延伸探究之獲。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)探究優(yōu)秀課評比教學(xué)環(huán)節(jié)

“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”（M.克萊因語），基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)探究是實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”的有效途徑，有助于學(xué)生進一步激發(fā)興趣、開闊視野，理解數(shù)學(xué)、提升素養(yǎng)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標準（2017年版）》指出：“教師應(yīng)有意識地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng)?！?/p>

2019年江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動的課題是“弧度制”和“等差數(shù)列的前n項和”。這兩節(jié)課的內(nèi)容都有著豐富的數(shù)學(xué)歷史背景。本文結(jié)合此次活動中一些參賽教師的教學(xué)設(shè)計，談一談筆者對如何挖掘數(shù)學(xué)史特有的教育價值，將其合理地應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂探究各個環(huán)節(jié)中的思考。

一、以史入境，開啟探究之旅

數(shù)學(xué)史中一個個與知識相連的故事，往往會因其鮮活性和生動性自然而然地進入學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)與思維空間，成為學(xué)生探究與之相關(guān)的概念、定理等內(nèi)容的導(dǎo)引線。在課堂教學(xué)中，教師可以將數(shù)學(xué)史上有關(guān)知識的發(fā)生背景以問題情境的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，以引入新知。

例如，《等差數(shù)列的前n項和》一課的一些引入情境設(shè)計：

情境1（同步出示張丘建畫像，如圖1所示）《張丘建算經(jīng)》中的一段原文：今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？大致譯文：今天有人來給錢，第一個人給一錢，第二個人給兩錢，第三個人給三錢，以此類推，一百個人總共給多少錢？

情境2（同步出示《九章算術(shù)·盈不足》一頁配圖，如圖2所示）《九章算術(shù)·盈不足》中的一段原文：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里，日增一十三里;駑馬初日行九十七里，日減半里。良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬。問：幾何日相逢及各行幾何？大致譯文：假設(shè)有良馬與劣馬自長安出發(fā)到齊地。齊地距長安有3000里。良馬第1日走193里，每日增加13里;劣馬第1日走97里，每日減少12里。良馬先到達齊地，又回頭去迎劣馬。問：它們幾日后相逢？各走多少里？

情境3（同步出示畢達哥拉斯畫像及“三角形數(shù)”問題，如圖3所示）公元前4世紀，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀，來研究各種有形的數(shù)。比如，“三角形數(shù)”：1，3，6，10，…。

情境1、情境2源自我國古代數(shù)學(xué)史，情境3源自西方古代數(shù)學(xué)史。選用這3個情境，最直接的目的是建立數(shù)學(xué)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為求等差數(shù)列的前n項和問題，從而引出課題。相比較而言，情境1、情境3引出的表達式相同，而情境3數(shù)形結(jié)合，更加直觀;情境2需要結(jié)合問題進行必要的數(shù)學(xué)抽象，同時，圖片材料為后續(xù)通過圖形的“割”與“補”理解倒序相加法做了必要的鋪墊，這樣的情境可以貫穿于整節(jié)課的探究中。

再如，《弧度制》一課的一個引入情境設(shè)計：

情境4（同步出示圖4）早在公元前1世紀，古巴比倫人受“黃道十二星座”和“春秋分日，太陽劃過半個周天的軌跡，恰好等于180個太陽直徑”的啟發(fā)，把圓周分為360等份，定義每一份為1度，每一份所對的圓心角為1度的角。

這一情境從角度制的由來說起，一方面引出本節(jié)課的研究對象“角”，另一方面自然引入研究“角”的載體“圓”和方法“等分圓周”，為后續(xù)進一步通過弧長公式研究弧度制做好準備，可謂一舉多得。

二、以史明理，尋求探究之法

數(shù)學(xué)史的功能不僅僅是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，更重要的是改善學(xué)生的數(shù)學(xué)觀。數(shù)學(xué)史材料蘊含前人研究數(shù)學(xué)的思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的主要進程。數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于借助數(shù)學(xué)史材料，剖析其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，以此引領(lǐng)學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”。

例如，《等差數(shù)列的前n項和》一課的一個探究過程設(shè)計：

針對上述情境2，教師引導(dǎo)學(xué)生沿著古人的足跡，結(jié)合“良馬圖”（即圖2），探求良馬前15日的行程總和S15，得到如下兩種方案：

（1）先將良馬前15日行程中共同的193“割”出來，再將剩余不同的0、1×13、2×13……14×13“倒”過來，“補”成15個長均為14×13的條形（如圖5所示），從而可以求得良馬前15日的行程總和S15=15×193+15×142×13。

（2）直接將“良馬圖”整體“倒”過來，“補”成15個長均為193+193+14×13的條形（如圖6所示），從而可以求得良馬前15日的行程總和S15=15×（193+193+14×13）2。

這里，還原古代數(shù)學(xué)家的計算方法，讓學(xué)生經(jīng)歷“良馬圖”的“倒”與“補”，推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式。由圖形的“倒”與“補”遷移到數(shù)式的“倒”與“補”，進而發(fā)現(xiàn)倒序相加法，這樣的探究是自然的、深刻的。同時，通過圖形的直觀，也能讓學(xué)生認識到“等”與“不等”的辯證統(tǒng)一，感受到將“不等數(shù)”求和轉(zhuǎn)化為“相等數(shù)”求和的數(shù)學(xué)化歸之美。

再如，《弧度制》一課的一個探究過程設(shè)計：

教師提出問題：如何建立一種新的度量角的制度呢？然后，出示表1和圖7、圖8，講述秦始皇統(tǒng)一度量衡的故事。

這里，通過秦始皇統(tǒng)一度量衡，推動社會發(fā)展的故事，讓學(xué)生認識到“單位1”的重要性，從而啟發(fā)學(xué)生為建立新的度量角的制度尋找合理的“單位1”。

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生開展探究活動，觸類旁通，合理遷移，最終合作形成如圖9所示的成果。

三、以史作證，確認探究之效

在數(shù)學(xué)知識的探究過程中，也許不是所有的發(fā)現(xiàn)都源自數(shù)學(xué)史材料，但是，很多的探究卻可能與古代數(shù)學(xué)家的做法相吻合。適時進行古今思想方法的對照，用數(shù)學(xué)史作證，可以讓學(xué)生獲得思想的啟迪和成功的喜悅，使學(xué)生回歸思考原始的問題，這對于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識都有著重要的作用。

例如，《等差數(shù)列的前n項和》一課的一個“探究回顧”設(shè)計：

教師引導(dǎo)學(xué)生從生活情境出發(fā)，經(jīng)歷從梯形的倒置相補到數(shù)列的倒序相加的探究過程（如圖10所示），得出等差數(shù)列的前n項和公式。然后，教師提問：“在我們以往的學(xué)習中，有過類似的通過‘配對的方法，將不同的數(shù)的加法轉(zhuǎn)化為相同的數(shù)的加法，進而用乘法簡化運算的經(jīng)歷嗎？”學(xué)生回答：高斯小時候計算1+2+3+…+100的方法。

這里，教師沒有將高斯小時候計算1+2+3+…+100的故事作為引入情境，是因為這一情境早在小學(xué)時就已被學(xué)生熟知，對調(diào)動學(xué)生學(xué)習動機的作用不大;而在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究之后，通過啟發(fā)問答的方式回顧高斯的算理，這時的回顧便不再是一種記憶，而是一種理解基礎(chǔ)上的升華。

再如，《弧度制》一課的一個“探究回顧”設(shè)計：

教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷如圖11所示的探究過程。然后，教師出示圖12，指出：“弧度制的基本思想是使圓半徑與圓周長有同一度量單位，然后用對應(yīng)的弧長與圓半徑之比來度量角。歷史上，弧度制的建立經(jīng)歷了漫長的過程。這一思想起源于古印度，萌發(fā)于2世紀希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家托勒密等在天文學(xué)測量中度量弧長的需要。直到1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在他的名著《無窮小分析引論》中，才提出以半徑為單位來度量弧長的弧度概念?！?/p>

這里，教師利用歐拉提出弧度概念的歷史，讓學(xué)生在經(jīng)歷探究后發(fā)現(xiàn)，自己的探究成果居然與大數(shù)學(xué)家的研究成果是一致的，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習的積極性，鼓勵學(xué)生在學(xué)習中不斷探索、勇于創(chuàng)新。

四、以史為練，鞏固探究之果

高考命題改革注重“以真情實景落實‘五育并舉，以理性思維踐行‘立德樹人”。近年來，越來越多的基于數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的高考數(shù)學(xué)試題便是明證。將以數(shù)學(xué)史情境為載體的數(shù)學(xué)題目作為課堂練習，幫助學(xué)生鞏固探究成果，既能激發(fā)學(xué)生的興趣，開闊學(xué)生的視野，又能滲透數(shù)學(xué)思想方法，傳承數(shù)學(xué)文化。

例如，《等差數(shù)列的前n項和》一課的一些練習設(shè)計：

練習1（出自《九章算術(shù)·均輸》）今有竹九節(jié)，下三節(jié)容四升，上四節(jié)容三升。問：中間二節(jié)欲均容，各多少？（大致譯文：假設(shè)有一支竹，共9節(jié)，下3節(jié)的容積是4升，上4節(jié)的容積是3升。問：如果想使中間2節(jié)的容積均勻遞減，各節(jié)的容積是多少？）

練習2《張丘建算經(jīng)》是我國南北朝時期的一部重要數(shù)學(xué)著作，書中系統(tǒng)地介紹了等差數(shù)列，同類成果在三百多年后的印度才首次出現(xiàn)。書中有這樣兩題：

（1）今有女善織，日益功疾。初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何？

（2）今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中間三人未到者，亦依等次更給，則某一等人比其下一等人多得斤金。

五、以史促思，延伸探究之獲

數(shù)學(xué)史是一座寶庫，其中的資源不能僅僅運用在課堂教學(xué)中，也應(yīng)該延伸到課堂教學(xué)外。教師可以適當?shù)亟榻B一些拓展的數(shù)學(xué)研究成果，促進學(xué)生（尤其是學(xué)有余力的學(xué)生）深入思考，進一步感受數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)研究的精神和興趣。

例如，《等差數(shù)列的前n項和》一課的一個課后探究設(shè)計：

探究你能用今天的研究方法研究以下問題嗎？

13世紀，我國著名數(shù)學(xué)家楊輝把畢生對數(shù)學(xué)的研究成果，寫成《詳解九章算法》一書。該書中有一道計算“三角垛”物體總數(shù)的題目：“三角垛，下廣，一面一十二個，上尖，問：計幾何？答曰：三百六十四個。術(shù)曰：下廣加一乘之，平積，下廣加二乘之，立高方積，如六而一，本法?！币馑际钦f：“有一個三角垛（如圖13），底層每條邊上有12個物體，上面是尖的（只有1個物體），問：總共有多少個物體？答案是：364個。計算方法是：用12加1的和乘12，作為底面的面積，再用12加2的和作為高來乘，得到一個長方體的體積，取它的六分之一，就是這道題目的解。”

再如，《弧度制》一課的一個“拓展鏈接”設(shè)計：

鏈接弧度制大約直到18世紀才被提出來，它的提出是受到微積分等近代數(shù)學(xué)發(fā)展的推動的。弧度制下，與三角函數(shù)有關(guān)的一些公式在形式上均比角度制下有很大的簡化。例如：角度制下，正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為（sinx）′=π180cosx;泰勒展開式為sinx=π180x-π1803x33！+π1805·x55！-…+π1802n+1（-1）n（2n+1）！x2n+1+…，x∈R;弧度制下，正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為（sinx）′=cosx;泰勒展開式為sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）n（2n+1）！·x2n+1+…，x∈R。正是因為這樣的優(yōu)越性，弧度制才逐漸被數(shù)學(xué)界普遍接受和廣泛使用。

*本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究課題“基于高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)測評的微專題教學(xué)的實踐與研究”（編號：2017JK12L131）的階段性研究成果。

參考文獻：

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[2] 陳莎莎，汪曉勤.2007～2016十年間基于數(shù)學(xué)史的高考數(shù)學(xué)試題分析[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2017（5）.