王東波

摘? 要：“合情推理”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要構(gòu)筑合情推理空間，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷合情推理過(guò)程并進(jìn)行合情推理反思。在合情推理過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察、實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐，從而喚醒學(xué)生合情推理需求。在合情推理過(guò)程中，不僅能形成學(xué)生合情推理技能，而且能讓學(xué)生感悟合情推理思想，提升學(xué)生合情推理能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);合情推理;感性思維

美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞曾經(jīng)這樣說(shuō)：“數(shù)學(xué)既要教證明，又要教猜想?！睂W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅僅依靠嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，還依靠富有預(yù)見(jiàn)性、合情性的推理。所謂“合情推理”，是指“學(xué)生從已有事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)、直覺(jué)等，通過(guò)歸納、類比等思維方式而猜測(cè)、推斷的過(guò)程”。合情推理包括類比推理、歸納推理等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察、實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐，從而喚醒學(xué)生合情推理需求，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理，賦予學(xué)生“感性思維”自然生長(zhǎng)的力量。

一、構(gòu)筑合情推理空間，激發(fā)學(xué)生合情推理需求

東北師范大學(xué)史寧中校長(zhǎng)曾經(jīng)將數(shù)學(xué)基本思想概括為三點(diǎn)：抽象、推理和模型。合情推理是一種或然性推理，是一種“合乎情理的推理”，是一種“好像是真的推理”，是一種“合理的猜測(cè)”。正因如此，“合情推理”又被稱為“似真推理”。一定的情境、一定的形式內(nèi)容等均是合情推理的助推劑。教學(xué)中，教師要賦予學(xué)生合情推理的素材，構(gòu)造學(xué)生合情推理的時(shí)空，激發(fā)學(xué)生合情推理的需求，讓學(xué)生自覺(jué)地進(jìn)行合情推理。合情推理不同于演繹推理，其間可能會(huì)發(fā)現(xiàn)合情推理的“無(wú)理性”，因而容易遭遇失敗、挫折。但正因?yàn)槿绱耍锨橥评沓３Ｄ芡貙拰W(xué)生思路，發(fā)散學(xué)生思維。在合情推理中，學(xué)生能主動(dòng)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題，能主動(dòng)審視解決問(wèn)題的思路、策略，能自覺(jué)地改變推理路向、方式等。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合情推理的需求、機(jī)會(huì)，選擇一些典型的、可以進(jìn)行合情推理的素材，從而營(yíng)建一定的合情推理思維時(shí)空。為了延展學(xué)生的思維，合情推理的時(shí)空要具有一定的開(kāi)放性。只有這樣，才能將學(xué)生的猜想、認(rèn)知沖突等放置于風(fēng)口浪尖之上。比如教學(xué)《三角形的內(nèi)角和》（蘇教版四年級(jí)下冊(cè)），筆者出示了各種各樣的三角形，包括直角三角形（三角板）、銳角三角形（流動(dòng)紅旗）、鈍角三角形（紅領(lǐng)巾）等。學(xué)生從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)——“三角板”出發(fā)，合情猜想“銳角三角形的內(nèi)角和是180度”“鈍角三角形的內(nèi)角和是180°”。這樣的一種合情猜想，并不是空穴來(lái)風(fēng)，而是基于“直角三角形的內(nèi)角和”的合理推斷。有了這樣的合情推理，學(xué)生就會(huì)運(yùn)用各種方法進(jìn)行論證，如測(cè)量法、撕角拼角法等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過(guò)選擇一些合情推理的典型材料，創(chuàng)設(shè)合情推理的機(jī)會(huì)，促發(fā)學(xué)生進(jìn)行合情推理。基于典型材料的合情推理，還能啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用一定的方法進(jìn)行驗(yàn)證。

波利亞認(rèn)為：“說(shuō)得直截了當(dāng)一點(diǎn)，合情推理就是猜想?！币蚨鴮?duì)于合情推理，教師要容忍“不嚴(yán)格的清楚”，允許學(xué)生“大膽地猜測(cè)”，引導(dǎo)學(xué)生“小心地求證”（胡適語(yǔ)）。要構(gòu)筑學(xué)生合情推理的空間，讓學(xué)生處于合情推理的理想的心理狀態(tài)。作為教師，要在學(xué)生已知和未知之間找尋“銜接點(diǎn)”。只有找尋到銜接點(diǎn)，激起學(xué)生合情推理的心向，導(dǎo)引學(xué)生合情推理的方向，才能賦予學(xué)生合情推理的感性思維力量。

二、經(jīng)歷合情推理過(guò)程，培育學(xué)生合情推理能力

學(xué)生的合情推理既存在著共性的年齡、心理特征，又有著共性的差異。教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷合情推理過(guò)程。不僅要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷合情推理過(guò)程，而且要引導(dǎo)學(xué)生反思推理過(guò)程。弗賴登塔爾深刻地指出：“將數(shù)學(xué)作為一種活動(dòng)來(lái)進(jìn)行解釋和分析，建立這一基礎(chǔ)之上的教學(xué)方法，我稱之為再創(chuàng)造方法?！焙锨橥评硪脖仨氁龑?dǎo)學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的最基本的原則。

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷合情推理過(guò)程，既可以讓學(xué)生進(jìn)行不完全歸納，也可以讓學(xué)生進(jìn)行類比。所謂“不完全歸納”，就是從“特殊”到“一般”的整體;所謂“類比”，就是從“特殊”到“特殊”的推理。歸納，既可以依據(jù)形式歸納，也可以依據(jù)內(nèi)容歸納。同樣，類比既可以依據(jù)形式進(jìn)行類比，也可以依據(jù)內(nèi)容進(jìn)行類比，還可以依據(jù)方法進(jìn)行類比。比如學(xué)習(xí)《比的基本性質(zhì)》（蘇教版六年級(jí)上冊(cè)）時(shí)，有學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)、除法與比的內(nèi)在關(guān)聯(lián)（包括形式關(guān)聯(lián)、內(nèi)容關(guān)聯(lián)等）進(jìn)行合情推理，即“比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變”;有學(xué)生根據(jù)自己的舉例進(jìn)行不完全歸納等。在學(xué)生提出合情推理之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行論證，或者引導(dǎo)學(xué)生比較，或者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移，或者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適度抽象等。如在《圓柱的體積》（蘇教版六年級(jí)下冊(cè)）教學(xué)中，學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方體、正方體等直柱體的體積公式，類比推理出“圓柱的體積等于圓柱的底面積乘高”。在圓柱體積的論證過(guò)程中，學(xué)生又根據(jù)圓的面積的推導(dǎo)過(guò)程，類比聯(lián)想出將一個(gè)圓柱平均分成若干個(gè)類似的“小楔子”，然后將這些“小楔子”正反相拼，就能拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。當(dāng)對(duì)一個(gè)圓柱平均分的“小楔子”越多，就越接近長(zhǎng)方體。經(jīng)過(guò)這樣的合情推理，學(xué)生深刻感受、體驗(yàn)到圓柱體體積公式的推導(dǎo)過(guò)程與圓的面積推導(dǎo)過(guò)程的相似性，化曲為直、無(wú)限分割的數(shù)學(xué)思想方法再一次得到鞏固、提升。經(jīng)歷了這樣的過(guò)程，學(xué)生不僅理解了數(shù)學(xué)知識(shí)，更掌握了數(shù)學(xué)合情推理的論證、求證方法。

在合情推理的過(guò)程中，重要的是讓學(xué)生“明理”。只有讓學(xué)生體悟到“理”，認(rèn)同了“理”，從整體上把握了“理”，學(xué)生的推理才算真正地落地生根。數(shù)學(xué)合情推理的方法是在合情推理實(shí)踐過(guò)程中形成的。正如弗賴登塔爾所說(shuō)：“只有在游泳的過(guò)程中才能學(xué)會(huì)游泳。”作為教師，要了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)，因?yàn)橹挥辛私饬藢W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)，才能更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理。

三、引導(dǎo)合情推理反思，生成學(xué)生合情推理素養(yǎng)

弗賴登塔爾說(shuō)：“反思是數(shù)學(xué)的重要活動(dòng)，它是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力?！薄巴ㄟ^(guò)重新考慮、重新檢查這個(gè)結(jié)果和得出這個(gè)結(jié)果的路子，可以鞏固他們的知識(shí)和發(fā)展他們的解題能力。”反思，不僅僅指向過(guò)去，更指向未來(lái)。在合情推理的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)某一方面的問(wèn)題可能還比較模糊，或者模棱兩可，但通過(guò)反思，學(xué)生能逐步從模糊走向清晰，從感性走向理性。換言之，反思，是提升學(xué)生感性思維的重要路徑。

在合情推理得到結(jié)果之后，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生反思：是什么引發(fā)了自己做出這樣的推理？是不是考慮了所有的要素？還可以進(jìn)行怎樣的推理？……通過(guò)反思，學(xué)生可以由此及彼、由表及里、去偽存真，從而探尋到本質(zhì)性的東西。比如教學(xué)《最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)》（蘇教版五年級(jí)下冊(cè)），學(xué)生在做習(xí)題的過(guò)程中會(huì)遇到一些特殊值，如5和6這樣的互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。據(jù)此，有學(xué)生合情推理，僅僅認(rèn)為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的最大公因數(shù)都是1，最小公倍數(shù)都是它們的乘積;有學(xué)生則擴(kuò)大化地進(jìn)行合情推理，認(rèn)為任意兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)都可以用這兩個(gè)數(shù)相乘等。對(duì)于不同學(xué)生不同的合情推理，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：我這樣的推理道理何在？有沒(méi)有什么證據(jù)遺漏？到底在怎樣的情況下合情推理才成立？能舉出相關(guān)的例子進(jìn)行佐證嗎？能夠找到一個(gè)反例嗎？如在《最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)》的合情推理過(guò)程中，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了4和9、1和9、2和9，盡管不是連續(xù)的自然數(shù)，但最大公因數(shù)也是1，最小公倍數(shù)也是它們的乘積。同時(shí)，學(xué)生也發(fā)現(xiàn)，4和6，6和8等的最大公因數(shù)就不是1，最小公倍數(shù)也不是它們的乘積。也就是說(shuō)，并不是任意兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)都是1，最小公倍數(shù)都是它們的乘積。同時(shí)，也并不僅限于兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積。在正反論證比較的過(guò)程中，有學(xué)生分類總結(jié)出互質(zhì)數(shù)的五種情況，即1和任意自然數(shù)，2和任何一個(gè)奇數(shù)，連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)，連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)不相同的質(zhì)數(shù)等。通過(guò)這樣的反思、論證（包括證實(shí)和證偽），學(xué)生能找出合情推理的紕漏，能認(rèn)識(shí)到合情推理的不足，從而能及時(shí)地對(duì)自我的合情推理進(jìn)行糾偏。

合情推理是學(xué)生數(shù)學(xué)推理的一個(gè)重要組成部分。只有讓學(xué)生了解合情推理的內(nèi)容，理解合情推理的意義，在實(shí)踐中引導(dǎo)學(xué)生合情推理，學(xué)生才能逐漸掌握合情推理的方法，形成合情推理的習(xí)慣。學(xué)生在合情推理的過(guò)程中，不僅能形成合情推理技能，而且能感悟合情推理思想，提升合情推理力，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。