李超 景敏

[摘 要] 在已有分類討論思想方法研究的基礎(chǔ)上，著重對分類討論的題目進(jìn)行分析，從中歸納出引發(fā)分類討論的線索是題目中存在的不完整或不全面的數(shù)學(xué)信息。

[關(guān)鍵詞]? 初中數(shù)學(xué);分類討論;原因分析;思想方法

眾所周知，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。在很大程度上說，如果掌握數(shù)學(xué)思想方法，就能夠在解決綜合性問題時以不變應(yīng)萬變。在初中階段，分類思想方法是常見的數(shù)學(xué)思想方法之一，不僅滲透在數(shù)學(xué)知識生成的過程中，也存在于數(shù)學(xué)問題解決的過程中。它能夠把難于理解的數(shù)學(xué)知識變得明朗，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單。由此可見，在解決問題的過程中，運用分類思想方法進(jìn)行分類討論，既是一種重要的教學(xué)思想，也是一種重要的解題策略。

所謂分類討論思想方法，是指從所研究的數(shù)學(xué)對象出發(fā)，按照其本質(zhì)屬性的相同點和不同點進(jìn)行邏輯上的劃分，一般將數(shù)學(xué)對象劃分成若干個不同種類，然后分別對劃分的這幾類情況進(jìn)行討論研究，從而達(dá)到解決問題的一種思維方法。

在運用分類討論思想方法解決數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)這樣的問題：（1）對于某些應(yīng)該運用分類討論思想方法來解決的問題，由于學(xué)生知識水平有限，思考問題不全面，因此，想不到運用分類討論思想方法來解決問題。（2）即便是想到運用分類討論的方法，由于不知道怎樣分類，即分類標(biāo)準(zhǔn)不清晰，從而導(dǎo)致解答不完整。究其原因，是學(xué)生在解讀已知條件時沒有注意到分類討論的線索，即需要進(jìn)行分類討論的信息。

筆者查閱了近10年來相關(guān)文獻(xiàn)，了解到多數(shù)學(xué)者針對分類討論的概念、目的、分類標(biāo)準(zhǔn)、分類步驟等做了大量研究，但對于數(shù)學(xué)問題中引發(fā)分類討論線索的研究相對較少，且尚不夠系統(tǒng)。在此背景下，本文以分類討論思想方法的概念界定為基礎(chǔ)，結(jié)合分類討論思想方法的研究成果，著重對數(shù)學(xué)問題中引發(fā)分類討論的線索做進(jìn)一步研究，并對在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透分類討論思想方法提出建議，敬請同仁斧正。

一、代數(shù)問題中分類討論的線索

（一）由概念或性質(zhì)引發(fā)的分類討論

例1 [x2+k-1x+9]是完全平方式，則k=__________。

分析：對“完全平方式”的概念掌握是解題關(guān)鍵。完全平方式應(yīng)包含“和的平方”與“差的平方”兩種情況，即一次項系數(shù)存在正、負(fù)兩種情況。因此，需要對（k-1）的符號進(jìn)行分類討論。

例2 若[ab≠0]，求[aa+bb]的值。

分析：解決此問題的關(guān)鍵是要去掉絕對值符號。若去掉絕對值符號，則需要依據(jù)絕對值性質(zhì)判斷[a，b]是負(fù)數(shù)還是正數(shù)。但由于已知條件只有[ab≠0]，且無法從中推演出[a，b]是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。為了去掉絕對值符號，需要對[a，b]的符號分別進(jìn)行討論。

（二）由待定系數(shù)的不確定性引發(fā)的分類討論

例3 已知方程[m2x2+（2m+1）x+1=0]有實數(shù)根，求[m]的取值范圍。

分析：根據(jù)所給方程可知，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)均含有字母[m]，但題中并未說明[m]是否為0，因此，無法確定該方程是一元一次方程還是二元一次方程，由此引發(fā)分類討論。

例4 解關(guān)于[x]的一元一次不等式k（x-2）>2k-4。

分析：按照解不等式的步驟可得kx>4k-4。根據(jù)不等式運算性質(zhì)可知，不等式兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變，反之，改變。然而，題目中并沒有明確說明k是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，因此，需要對k的取值范圍進(jìn)行分類討論。

二、幾何問題中分類討論的線索

（一）由幾何概念不明確引發(fā)的分類討論

例5 若等腰三角形中有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為（? ）

A.50° B.80° C.65°或50° D.50°或80°

分析：雖然題目的已知條件指明了三角形是等腰三角形，且其一個角為50°，但并沒有說明該已知角是頂角還是底角，因此，需要對已知角進(jìn)行分類討論。

例6 如圖，在[△ABC]中，[AB=BC=8，AO=BO]，點[P]是射線[CO]上的一個動點，[∠AOC=60°]，則當(dāng)[△ABP]為直角三角形時，[AP]的長為多少？

分析：從題目的已知條件來看，沒有說明[Rt△ABP]的哪一個角為直角，因此，所給出的已知條件不明確，需要根據(jù)圖形運動的情況進(jìn)一步分析。因為點P為射線CO上的一個動點，所以[∠BAP?]不可能為直角。因此，分為兩種情況：（1）[∠APB=90°?]，該情況下又可以分為兩種可能，點[P]在[AB]的上方或點[P]在[AB]的下方;（2）[∠ABP=90?°]。

（二）由幾何圖形之間的相對位置不明確引發(fā)的分類討論

例7 已知☉O的直徑是2cm，過點A有兩條弦AC=[2]cm，AD=[3]cm，則∠CAD的度數(shù)是________。

分析：已知條件中沒有明確指出前兩條弦的位置，即圓心在兩弦夾角內(nèi)還是夾角外，因此，需要對兩條線的位置進(jìn)行分類討論。

例8 已知[∠C]是弧[AB]所對的圓周角，[∠AOB]是弧[AB]所對的圓心角。求證：[∠C=12∠AOB]。

分析：本題是北師大版初中數(shù)學(xué)教材中圓周角定理證明題。教材中通過引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圓周角與圓心的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論。為什么要進(jìn)行分類，這是解決這道問題的關(guān)鍵。可以引導(dǎo)學(xué)生思考：弧[AB]所對的圓周角是不是僅有一個？還可以畫出其他的嗎？教師通過問題一步步引導(dǎo)學(xué)生，得出弧[AB]所對的圓周角有很多個。這樣我們就需要對不同的情況進(jìn)行分類，從而來解決這道題。探究出的三種情況，如下圖：

因而，這道題也就迎刃而解了。

（三）由幾何圖形的形狀不確定引發(fā)的分類討論

例9 在?[ABCD]中，[AD=BD]，[BE]是[AD]邊上的高，[∠EBD=20°]，則[∠A]的度數(shù)為____。

分析：該題目沒有給出圖形，需要學(xué)生自己畫出圖形。由于沒有明確?[ABCD]中哪一組邊長，哪一組邊短，因此，就有兩種可能性。根據(jù)題意分析可知，點[E]的位置不確定，導(dǎo)致平行四邊形的形狀不確定，因此，可以得到兩種情況，如下圖：

結(jié)論

在代數(shù)或幾何問題解題中，運用分類討論的主要線索如下。

（1）題目中關(guān)于某一概念的信息不全面或不完整時，需要分類討論。比如，例6中沒有指明[Rt△ABP]中哪個角為直角。因此，每個角都可能是直角。

（2）題目中的某一概念還存在多個下位概念時，需要運用分類討論。比如，例1中完全平方公式包括兩個下位概念，一個是完全平方和公式，另一個是完全平方差公式。所以，需要分類討論。

（3）題目中某一概念呈現(xiàn)形式不唯一時，需要分類討論。比如，例9中沒有給出平行四邊形[ABCD]的具體形狀，即哪一組對邊較長，哪一組對邊較短，所以，圖形基本形狀不唯一。

（4）題目中圖形之間的位置關(guān)系不唯一時，需要分類討論。比如，例7、例8中圖形之間的位置關(guān)系有多種可能，所以需要分類討論。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]郭秀群.例談分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2017（3）.

[2]侯清樂.初中分類討論思想在解題中的應(yīng)用探討[J].中國校外教育，2016（16）.

[3]姬梁飛.論分類討論思想方法[J].基礎(chǔ)教育，2017（373）.

[4]紐曼曼.初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用探討[J].教育現(xiàn)代化，2016（8）.

[5]陳羅九.淺談初中數(shù)學(xué)中的分類討論思想[J].中國數(shù)學(xué)教育，2011（12）.

[6]楊其超.分類討論思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].科學(xué)素養(yǎng)教學(xué)設(shè)計，2017（27）.

（責(zé)任編輯：趙曉梅）