【摘 要】 數(shù)學(xué)建模作為一種問(wèn)題解決方式，建立起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間溝通的橋梁.目前學(xué)校教育中的數(shù)學(xué)建模經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化無(wú)法使學(xué)生經(jīng)歷完整的建模過(guò)程，其建模能力不能得到有效提高.費(fèi)米問(wèn)題需要學(xué)生對(duì)涉及估算的現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行簡(jiǎn)化和數(shù)學(xué)化，且在通常情況下沒(méi)有特定的解決方案，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，并給數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供了新的思路.

【關(guān)鍵詞】 費(fèi)米問(wèn)題;數(shù)學(xué)建模教學(xué);估算

近年來(lái)，人們愈發(fā)關(guān)注在課堂上引入涉及數(shù)學(xué)建模的各種活動(dòng).盡管應(yīng)用和建模在大多數(shù)國(guó)家的課堂教學(xué)中比過(guò)去起著更重要的作用，但教育理念仍未統(tǒng)一，創(chuàng)新課程與日常教學(xué)實(shí)踐之間存在著很大間隙[1].數(shù)學(xué)建模作為溝通數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界之間的橋梁，而現(xiàn)實(shí)世界的變化多端也意味著學(xué)校的建模教學(xué)不能墨守成規(guī)，應(yīng)在尋求多角度引入的基礎(chǔ)上不斷推動(dòng)建模的多樣化與創(chuàng)新化教學(xué).

我國(guó)于2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》[2]中就突出強(qiáng)調(diào)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的重要性，并且首次給出了數(shù)學(xué)建模過(guò)程的框架圖.最新頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下稱《課標(biāo)2017》）提出了數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)分別為：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析[3].其中，數(shù)學(xué)建模作為六大核心素養(yǎng)之一，并且同時(shí)與函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)作為四條主線貫穿高中數(shù)學(xué)課程.由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)建模在我國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)中的地位之高，其對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的重要性也不言而喻.

《課標(biāo)2017》中明確指出要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過(guò)程，即在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題.但在目前的課堂教學(xué)中，學(xué)生往往根據(jù)教師已經(jīng)提供好的問(wèn)題、數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算求解，跳過(guò)了完整建模必須經(jīng)歷的環(huán)節(jié).這種情況一方面是由于學(xué)生目前的課業(yè)負(fù)擔(dān)較重沒(méi)有足夠的時(shí)間去體驗(yàn)經(jīng)歷建模的完整過(guò)程，另一方面也由于教師缺乏足夠的建模教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不能提供切合的現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題去幫助學(xué)生真正地開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng).長(zhǎng)此以往，學(xué)生也就無(wú)法感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)間的聯(lián)系，無(wú)法提升數(shù)學(xué)建模這一重要能力.

本文將從費(fèi)米問(wèn)題入手，研究費(fèi)米問(wèn)題的良好特性以及學(xué)生在解決費(fèi)米問(wèn)題中所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，探討在目前的課堂中使用費(fèi)米問(wèn)題來(lái)引入數(shù)學(xué)建模的重要影響.同時(shí)，也可將使用費(fèi)米問(wèn)題來(lái)引入數(shù)學(xué)建?？醋魇菍?duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)建模常規(guī)化教學(xué)的一種推動(dòng)與創(chuàng)新.

1數(shù)學(xué)建模

在數(shù)學(xué)教育中，有許多方法可以使用、研究或描述數(shù)學(xué)建模.建模過(guò)程通常始于實(shí)際問(wèn)題.在對(duì)現(xiàn)實(shí)世界建模時(shí)，我們不斷在現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間進(jìn)行切換.通過(guò)簡(jiǎn)化，構(gòu)造和理想化此問(wèn)題，可以獲得一個(gè)真實(shí)的模型[4].學(xué)者Lesh和Harel提出數(shù)學(xué)模型的定義[5]，他們認(rèn)為模型是用于構(gòu)建、描述或解釋其他系統(tǒng)的概念系統(tǒng)，包括一個(gè)概念系統(tǒng)及其相應(yīng)的過(guò)程.學(xué)者Borromeo Ferri將數(shù)學(xué)建模表示為整個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程（迭代和/或循環(huán)），從六個(gè)階段（實(shí)際情境、情境的心理表征、實(shí)際模型、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)結(jié)果、實(shí)際結(jié)果）和轉(zhuǎn)換過(guò)程（理解任務(wù)、簡(jiǎn)化/建構(gòu)任務(wù)、數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)工作、解釋和驗(yàn)證）來(lái)描述建模過(guò)程，如圖1所展示[6].對(duì)于數(shù)學(xué)建模中的“迭代和循環(huán)”，我們可以理解為，建模的本質(zhì)事實(shí)上是循環(huán)的，創(chuàng)建一個(gè)以抽象方式描述或表示某種現(xiàn)象或現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，該過(guò)程在不同的迭代中重復(fù)，這些迭代改進(jìn)了先前得到的模型和解法，從而成為適應(yīng)解決每個(gè)問(wèn)題的需要.當(dāng)我們?cè)诟敿?xì)地劃分有關(guān)復(fù)雜的問(wèn)題解決過(guò)程時(shí)，可以使用由Maaβ提出的“能力”的概念[4]，將建模循環(huán)劃分為子過(guò)程或子活動(dòng).在本研究中，就將利用六個(gè)建模子活動(dòng)來(lái)分析學(xué)生在建模過(guò)程中的表現(xiàn).

2 費(fèi)米問(wèn)題

費(fèi)米問(wèn)題一詞最早源于1938年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主Enrico Fermi.他提出了關(guān)于費(fèi)米問(wèn)題的經(jīng)典例子，即芝加哥有多少個(gè)鋼琴調(diào)音器？費(fèi)米問(wèn)題的定義如下：“開放的、非標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題，要求學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境做出假設(shè)，并在解題之前估算相關(guān)數(shù)值，這通常是一些簡(jiǎn)單的計(jì)算[7].” Efthimiou和Llewellyn從其特殊的表述中描述了費(fèi)米問(wèn)題[8]，因?yàn)樗偸强此品稚⒌模移淠芴峁┑木唧w信息不多，并且很少有相關(guān)特點(diǎn)來(lái)指引如何得到解決方案.從這些對(duì)費(fèi)米問(wèn)題的表述中可以看到，所謂的費(fèi)米問(wèn)題是一種特定類型的活動(dòng)，沒(méi)有對(duì)所需解決的問(wèn)題提供完整的信息，需要對(duì)涉及估算的現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行簡(jiǎn)化以及做出相應(yīng)的數(shù)學(xué)化，且在通常情況下沒(méi)有特定的解決方案.為了對(duì)所呈現(xiàn)的情形進(jìn)行詳細(xì)分析，我們需要將費(fèi)米問(wèn)題分解為能得出原始問(wèn)題答案的更簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

rlebck指出[9]，研究費(fèi)米問(wèn)題可能有助于將建模引入課堂的原因如下：（1）現(xiàn)實(shí)的費(fèi)米問(wèn)題易于被不同教育水平的學(xué)生們所接受，并且學(xué)生不需要先前學(xué)習(xí)一些特殊的數(shù)學(xué)知識(shí);（2）促使學(xué)生構(gòu)建與問(wèn)題相關(guān)的信息;（3）現(xiàn)實(shí)的費(fèi)米問(wèn)題要求學(xué)生制定針對(duì)具體情境的解決策略;（4）由于現(xiàn)實(shí)中的費(fèi)米問(wèn)題不提供數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)，所以學(xué)生必須自己估算幾個(gè)數(shù)據(jù);（5）促進(jìn)學(xué)生互相討論.

正是根據(jù)上述這些原因，以及費(fèi)米問(wèn)題在我國(guó)目前數(shù)學(xué)建模教學(xué)中涉及較少，本文將介紹學(xué)生在解決費(fèi)米問(wèn)題的過(guò)程來(lái)說(shuō)明使用費(fèi)米問(wèn)題引入數(shù)學(xué)建模的有效性.

3 研究過(guò)程——“帝國(guó)大廈問(wèn)題”[10]

學(xué)者Sriraman和Lesh曾就有關(guān)估算和費(fèi)米問(wèn)題中指出[11]“估算活動(dòng)可以作為引發(fā)數(shù)學(xué)建模的一種方式”.學(xué)生在解決與現(xiàn)實(shí)相關(guān)的費(fèi)米問(wèn)題時(shí)，通常需要根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境做出估算判斷，不同的學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生不同的解決方案，這是極富有個(gè)人特色的，而通常情況下這樣的解決過(guò)程是與前文提及的建模循環(huán)過(guò)程相吻合.也正由于解決費(fèi)米問(wèn)題并不需要學(xué)生具有豐富的先前建模經(jīng)驗(yàn)，不同水平的學(xué)生可以在不同的抽象層面上建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解釋費(fèi)米問(wèn)題的實(shí)際情境，這為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力提供了良好的機(jī)會(huì).因此，這促使我們考慮將費(fèi)米問(wèn)題引入數(shù)學(xué)建模教學(xué)，利用費(fèi)米問(wèn)題來(lái)分析學(xué)生建模過(guò)程.下面將通過(guò)一個(gè)費(fèi)米問(wèn)題，來(lái)展現(xiàn)和分析學(xué)生的解決過(guò)程.

C：嗯，有人坐過(guò)FREE FALL（是瑞典斯德哥爾摩游樂(lè)園格隆納隆德的一個(gè)景點(diǎn)）嗎？

A：（與B異口同聲）沒(méi)有.

C：我在想.嗯，它高90米的話，需要花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)那？我認(rèn)為需要15，20-25秒，那是90米的情況.

B：是的.

C：它（帝國(guó)大廈）一定高于200米.

研究分析 從上述過(guò)程可以看到，費(fèi)米問(wèn)題是在學(xué)校教育中引入數(shù)學(xué)建模的一種很好方式.所有建模子活動(dòng)都在解決費(fèi)米問(wèn)題的過(guò)程中得到了豐富的展現(xiàn)，與此同時(shí)也辯證地推進(jìn)了任務(wù)解決方案的發(fā)展.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，小組動(dòng)態(tài)對(duì)于不同子活動(dòng)的發(fā)展和激活至關(guān)重要.當(dāng)面對(duì)不同的信念和觀點(diǎn)時(shí)，是小組中的討論和互動(dòng)驅(qū)動(dòng)并形成了建模過(guò)程.

使用現(xiàn)實(shí)的費(fèi)米問(wèn)題的關(guān)鍵原因之一是它可以促進(jìn)小組就問(wèn)題的設(shè)定和解決方案進(jìn)行討論.這些期望都在研究中得到了證實(shí)，但是研究也表明了，這類問(wèn)題在一定程度上會(huì)使學(xué)生的注意力不再集中在數(shù)學(xué)本身，并且學(xué)生在討論如何估計(jì)、構(gòu)造問(wèn)題時(shí)走向了錯(cuò)誤的解題方向.由此看來(lái)，問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)特征就成為了關(guān)鍵.盡管在此過(guò)程中，對(duì)數(shù)學(xué)的要求只是處于非常基礎(chǔ)的水平，但是可以通過(guò)明確要求一個(gè)公式來(lái)增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的要求，這個(gè)公式可以是與大樓高度和使用電梯或樓梯上下耗費(fèi)時(shí)間相關(guān).4 總結(jié)與反思

回顧學(xué)生解決“帝國(guó)大廈”高度的過(guò)程，我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生參與解決現(xiàn)實(shí)的費(fèi)米問(wèn)題時(shí)，他們可以完整地經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過(guò)程，并且這對(duì)于學(xué)生是否具有充足的建模經(jīng)驗(yàn)并無(wú)太高要求，換言之，費(fèi)米問(wèn)題很適合作為一種數(shù)學(xué)建模教學(xué)的引入方式.現(xiàn)實(shí)的費(fèi)米問(wèn)題來(lái)源于生活，貼近生活實(shí)際，學(xué)生在解決時(shí)需要主動(dòng)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行背景化并適當(dāng)?shù)囊虢Ｔ?此外，費(fèi)米問(wèn)題所提供的條件和所需數(shù)據(jù)都是不充分、不完整的，而其解決方案更不是特定的、常規(guī)的，這一切問(wèn)題都有待于學(xué)生親自去進(jìn)行情境分析和數(shù)據(jù)挖掘.這種開放式的建模任務(wù)在一定程度上給予了學(xué)生在平時(shí)課堂中無(wú)法得到的建模能力訓(xùn)練，并由此也推動(dòng)了學(xué)生積極活躍地參與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，從而產(chǎn)生廣泛的解決策略，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展.當(dāng)學(xué)生處理涉及現(xiàn)實(shí)生活情境或現(xiàn)象的情景化問(wèn)題時(shí)，所有的建模能力都在建模過(guò)程中被激活了.

數(shù)學(xué)建模教育需要分階段、有系統(tǒng)并持之以恒地開展，同時(shí)也要形式靈活，密切聯(lián)系生產(chǎn)生活和社會(huì)發(fā)展的實(shí)際，用發(fā)展的眼光和熱情來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣[12].也正因此，結(jié)合我國(guó)目前中小學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)特點(diǎn)，提出了以下建議：

首先，選擇并設(shè)計(jì)與生活實(shí)際相關(guān)的問(wèn)題作為建模任務(wù)，減少刻意改編和人為加工.目前中小學(xué)生所能接觸到的與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的問(wèn)題基本是源自課本中或試卷的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，這一方面局限了學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知，另一方面也限制了學(xué)生的建模能力的發(fā)展.因?yàn)閿?shù)學(xué)建模更強(qiáng)調(diào)的是運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決生活實(shí)際問(wèn)題，此過(guò)程中的知識(shí)輸入和策略輸出都是動(dòng)態(tài)發(fā)展的，并不同于一般的求解應(yīng)用題得到明確答案的過(guò)程.學(xué)校中所提供的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題大多是具有明確條件和充足數(shù)據(jù)，符合常規(guī)的解決思路與方法，而費(fèi)米問(wèn)題則打破了這樣的規(guī)則，它需要學(xué)生根據(jù)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)與實(shí)際情境收集數(shù)據(jù)，建立模型，通常情況下還需要經(jīng)過(guò)學(xué)生之間的協(xié)作與交流才能完成最終的任務(wù).由此，教師應(yīng)該在教學(xué)過(guò)程中，減少對(duì)所謂建模性質(zhì)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的使用，增加一些可以促使學(xué)生主動(dòng)收集資料，自主選擇建模方案的實(shí)際問(wèn)題.

其次，教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主性探究學(xué)習(xí)、小組合作交流，減少傳統(tǒng)講授環(huán)節(jié).中小學(xué)生由于課程壓力較大，時(shí)間緊迫，無(wú)法有充足的課余時(shí)間來(lái)進(jìn)行自主的建模探究學(xué)習(xí)，取而代之的是教師在課堂上直接講解問(wèn)題，滿足于求得最終答案即可，極大地忽略了對(duì)學(xué)生建模能力的培養(yǎng).有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的方法就是讓學(xué)生經(jīng)歷建模的整個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生有豐富的建模體驗(yàn)和感悟，而不是追求對(duì)特定問(wèn)題的解答即可.當(dāng)學(xué)生能夠自己對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行分析和數(shù)學(xué)化，將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決策略，其能力才可以得到提升.費(fèi)米問(wèn)題的解決過(guò)程，不僅是學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的一種體現(xiàn)，也是小組成員合作交流的展示.學(xué)生自己對(duì)問(wèn)題的信息作出假設(shè)補(bǔ)充，是利用了自己的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，而成員間對(duì)所設(shè)定的數(shù)據(jù)相互質(zhì)疑、交流想法，也促進(jìn)了學(xué)生學(xué)會(huì)尋找間接證據(jù)支撐自己的想法、學(xué)會(huì)多角度看待問(wèn)題.這些都是數(shù)學(xué)建模所期望學(xué)生最終可以具備的能力，教師的傳統(tǒng)講授則剝奪了這樣一種能力的形成環(huán)節(jié).

數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的一個(gè)重要組成部分，考慮數(shù)學(xué)建模教學(xué)的未來(lái)發(fā)展，我們應(yīng)不斷借鑒國(guó)際上的優(yōu)秀做法，推動(dòng)我國(guó)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的進(jìn)一步創(chuàng)新.

參考文獻(xiàn)

[1]

Blum W. ICMI study 14： Applications and modelling in mathematics education—discussion document[J]. Educational Studies in Mathematics，2003，51，149-171.

[2] 黃健，魯小莉，王鴦?dòng)辏毂笃G.20世紀(jì)以來(lái)中國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵的發(fā)展[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（03）：18-23+41.

[3] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017：4-7.

[4] Maaβ K. What are modelling competencies[J]. ZDM Mathematics Education，2006，38（2），113-142.

[5] Lesh R，Harel G. Problem solving，modeling，and local conceptual development[J]. Mathe-matical Thinking and Learning，2003 ，5（2），157-189.

[6] Borromeo Ferri R. Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process[J]. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik，2006 38（2），86-95.

[7] rlebck J B. On the use of realistic Fermi problems for introducing mathematical modelling in school. The Montana Mathematics Enthusiast，2009，6（3），331-364.

[8] Efthimio C J，Llewellyn R A. Cinema，F(xiàn)ermi problems and general education[J]. Physics Education，2007，42（3），253-261.

[9] César Gallart，Irene Ferrando，Lluís M. García-Raff，LluísAlbarracín，and Núria Gorgorió. Design and implementation of a tool for analysing student products when they solve Fermi problems[M]∥ Stillman G A，Wemer Blum W，Kaiser G. Mathematical Modelling and Applications： Crossing and Researching Boundaries in Mathematics Education.Seitzerland：Springer，2017：265-275.

[10] rlebck J B，Bergsten C. On the Use of Realistic Fermi Problems in Introducing Mathematical Modelling in Upper Secondary Mathematics[M]∥ Lesh R，Galbraith P，Haines C，Hurford A. Modeling Students' Mathematical Modeling Competencies. International Perspectives on the Teaching and Learning of Mathematical Modelling. Springer，Dordrecht ，2013：597-609.

[11] Sriraman B，Lesh R. Modeling conceptions revisited[J]. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik，2006，38（3），248-254.

[12] 張平文.數(shù)學(xué)建模進(jìn)入課堂已經(jīng)成為世界教育的潮流[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（06）：6-7.

作者簡(jiǎn)介

朱雨姝（1996—），女，江蘇淮安人，碩士研究生，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育（指導(dǎo)教師：周超）.于2018年榮獲蘇州大學(xué)“校二等獎(jiǎng)學(xué)金”，2019年榮獲蘇州大學(xué)“校三等獎(jiǎng)學(xué)金”.