張舒

[摘? 要] 在高中數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)能力，就是高中數(shù)學教師的一項重要任務(wù). 直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，需要重視學生在數(shù)學學習中表現(xiàn)出來的思維特點，只有學生在數(shù)學學習的過程中能夠讓生活經(jīng)驗有效地變成先行組織者，能夠有效地讓自己的元認知去監(jiān)控、調(diào)節(jié)并設(shè)計學習內(nèi)容，那么學生的直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)也就有了一個比較堅實的基礎(chǔ). 在高中數(shù)學教學中，尤其是在涉及圖形或者圖像的時候，要意識到這就是一個重要的直觀想象素養(yǎng)能力培養(yǎng)的契機. 高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)的每一個要素的落地，都需要放在核心素養(yǎng)的體系中來理解與實施.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學;直觀想象;素養(yǎng)能力;培養(yǎng)研究

在高中數(shù)學教學中，核心素養(yǎng)的培育已經(jīng)成為當前的主題，而根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準》的界定，高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括六個核心素養(yǎng)要素，即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、運算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等. 其中，直觀想象原本是指幾何直觀和空間想象，在當前的語境下又被理解為借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，并利用幾何圖形理解和解決數(shù)學問題的能力素養(yǎng). 通常認為，幾何直觀是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學命題、理解數(shù)學命題、探索論證思路的重要輔助手段，是建構(gòu)抽象結(jié)構(gòu)和進行邏輯推理的思維基礎(chǔ)，是建立數(shù)學直覺的基本途徑. 因此在高中數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)能力，就是高中數(shù)學教師的一項重要任務(wù). 筆者在教學中，基于高中數(shù)學直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，進行了理論與實踐兩個方面的探究，取得了非常重要的認識.

作為素養(yǎng)的直觀想象的理論建構(gòu)

作為高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)六個要素中的重要的組成部分，直觀想象與其他要素不同的地方在于，其既涉及具體的數(shù)學學科知識——幾何直觀（當然包括了數(shù)形結(jié)合的思想在內(nèi)），也涉及思維的重要組成部分——想象是重要的思維能力，基于已有的現(xiàn)實進行有效的想象，是學好數(shù)學的基礎(chǔ). 這一結(jié)論得到了理論的充分證明，有關(guān)直觀想象能力發(fā)展的幾何學習理論主要有范希爾的幾何思維發(fā)展模型和杜瓦爾的幾何認知關(guān)系模型. 直觀想象能力的培養(yǎng)除了應(yīng)重視關(guān)鍵期的數(shù)學教學，還要提供恰當?shù)摹跋刃薪M織者”，激發(fā)學生的元認知監(jiān)控、調(diào)節(jié)，設(shè)計適當?shù)奶骄啃詥栴}.

所以從很大程度上來看，直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，需要重視學生在數(shù)學學習中表現(xiàn)出來的思維特點，只有學生在數(shù)學學習的過程中能夠讓生活經(jīng)驗有效地變成“先行組織者”，能夠有效地讓自己的元認知去監(jiān)控、調(diào)節(jié)并設(shè)計學習內(nèi)容，那么學生的直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，也就有了一個比較堅實的基礎(chǔ).

眾所周知，函數(shù)是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，函數(shù)知識的學習與數(shù)學直觀素養(yǎng)能力有著非常密切的關(guān)系. 雖然說函數(shù)的特征，相當一部分內(nèi)容是由語言公式來表示的，但是函數(shù)的圖像，卻是學生理解函數(shù)特征的一個重要載體. 也恰恰是函數(shù)的圖像，是學生學習函數(shù)知識的一個難點，尤其是在遇到復雜函數(shù)的時候，相當一部分學生無法寄予函數(shù)的解析式或其他知識，去迅速而有效地反映出該函數(shù)的圖像是什么樣子.

以對數(shù)函數(shù)為例，如果說學生能夠通過機械記憶等方式去記住對數(shù)函數(shù)的概念與解析式的話，那么在理解對數(shù)函數(shù)的圖像時，只靠機械記憶顯然是沒有任何用處的. 很多時候教師都會用習題訓練或者重復記憶的方法，來幫學生進行所謂的鞏固. 嚴格來講，這其實不是一種有效的教學策略，只是用學生在學習中表現(xiàn)出來的比較低級的重復記憶的方法，來讓學生對對數(shù)函數(shù)的圖像形成刻板的記憶. 相反，如果能夠有效地借助于直觀想象素養(yǎng)能力，那么就可以引導學生在認識對數(shù)函數(shù)的圖像時，走入佳境. 同時在這樣的一個過程中，又為學生創(chuàng)設(shè)了一個直觀想象素養(yǎng)能力培養(yǎng)的契機，于是對數(shù)函數(shù)的圖像與直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)就形成了一個相互促進的關(guān)系.

從理論的角度來看，這一思路是有效的. 因為既然以直觀想象素養(yǎng)能力作為重要的思路，那就可以有效地讓學生的元認知去監(jiān)控自己的學習過程，同時讓大腦中的“先行組織者”充分地發(fā)揮作用.

指向能力的直觀想象的實踐探究

基于上述理論分析的思路，筆者在教學實踐中進行了積極的探究. 上面以對數(shù)函數(shù)的教學為例，來談?wù)勅绾卧趯?shù)函數(shù)圖像的學習過程中，讓學生的直觀想象素養(yǎng)能力得到有效的培養(yǎng)，同時又以直觀想象素養(yǎng)能力，來為對數(shù)函數(shù)圖像的學習提供有力的支撐. 需要指出的是，在實踐探究的過程中，筆者還積極借鑒他人的研究思路，從而嘗試讓自己站在別人的肩膀上，能夠看得更遠. 有同行認為，基于直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)，可以結(jié)合課堂教學從培養(yǎng)學生建立數(shù)形聯(lián)系呈現(xiàn)幾何直觀、借助特殊模型積累空間想象以及理解圖像特征迸發(fā)直觀洞察三個方面闡述如何培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)，并促進學生各種數(shù)學能力的提升.

其實，對數(shù)函數(shù)的圖像學生學起來之所以覺得困難，一個很重要的原因就在于：相對于基本函數(shù)而言，作為指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)，學生在學習的時候，需要對對數(shù)函數(shù)的定義、解析式等進行綜合的加工，然后在此基礎(chǔ)上，有效地形成直觀性的認識，進而再進行有效的想象. 這樣，直觀想象素養(yǎng)能力的提升，就有了一個可靠的載體. 在具體的教學過程中，可以分成這樣的幾個環(huán)節(jié)：

第一個環(huán)節(jié)：以一個簡單的對數(shù)函數(shù)為例，如y=log2x，讓學生結(jié)合這個例子，對照對數(shù)函數(shù)的概念與定義，尤其是在定義域內(nèi)，通過想象與計算，去確定一些基本的同時具有一定代表性的點. 如果不出意外，這個時候絕大部分學生都會通過心算的方法，在大腦里面去選出一些簡單的、基本的數(shù)據(jù)，然后確認這些點就在函數(shù)的圖像上. 調(diào)查研究表明，盡管找到了這些點，這個時候相當一部分學生仍然無法想象出對數(shù)函數(shù)的圖像是什么樣子. 于是就要下一步設(shè)計.

第二個環(huán)節(jié)：這個環(huán)節(jié)的主要任務(wù)是讓學生進行對比，對比的對象就是指數(shù)函數(shù)，因為對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的冪函數(shù)，而經(jīng)過此前一段時間的學習，學生對指數(shù)函數(shù)的認識已經(jīng)比較充分，尤其是對指數(shù)函數(shù)的圖像，已經(jīng)有了一個清晰的表象. 所以這個時候，讓學生進行比較，實際上就是用學生的元認知，去監(jiān)控指揮學生自身的學習. 這個環(huán)節(jié)在實施的時候，可以讓學生去比較y=2x和y=log2x，比較的過程中學生會逐步發(fā)現(xiàn)，同一個坐標對應(yīng)的兩個不同函數(shù)的點，似乎存在著一種對應(yīng)的關(guān)系. 等到學生有這個認識的時候，教師就鼓勵學生大膽地進行想象——這個想象其實就是基于直觀的想象，是學生在大腦中基于指數(shù)函數(shù)的圖像去構(gòu)思對數(shù)函數(shù)圖像的過程.

教師此時要觀察學生的學習過程，筆者在巡視學生學習的時候，見不少學生在草稿紙上能夠初步的作出比較粗糙的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像，且學生已經(jīng)猜想出兩者之間可能存在著某種對稱關(guān)系時，筆者再趁熱打鐵，借助于多媒體用Excel去生成圖形，結(jié)果發(fā)現(xiàn)電腦生成的圖形與自己的想象基本一致，這實際上也就確認了學生的想象是正確的.

通過上述過程，學生的直觀想象素養(yǎng)能力得到了培養(yǎng)，同時對數(shù)函數(shù)圖像的建構(gòu)又得到了有效的實施，因此這樣的一個教學過程是有效的.

在核心素養(yǎng)體系中培養(yǎng)直觀想象

反思以上這樣一則教學案例，筆者得出了一個重要的認識，這就是在高中數(shù)學教學中，尤其是在涉及圖形或者圖像的時候，要意識到這就是一個重要的直觀想象素養(yǎng)能力培養(yǎng)的契機. 無論是純粹的圖形或者圖像知識的學習，如幾何知識的學習，還是數(shù)形結(jié)合相關(guān)的知識的學習，如函數(shù)知識的學習，都孕育著豐富的直觀想象素養(yǎng)能力培養(yǎng)的機會.

而結(jié)合高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)，比較體會更深的一個認識就是：高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)的每一個要素的落地，都需要放在核心素養(yǎng)的體系中來理解與實施. 直觀想象素養(yǎng)能力，作為與數(shù)和形直接相關(guān)的一種能力素養(yǎng)，將其置于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的體系當中，可以發(fā)現(xiàn)他與其他的要素，實際上也是存在許多密切的關(guān)系的. 比如說其與邏輯推理之間的關(guān)系，就與思維中的邏輯思維與直覺思維的關(guān)系非常類似，這也就給直觀想象素養(yǎng)能力的培育提供了一個新的視角.

同時在數(shù)學學科核心素養(yǎng)這個體系中，還需要高度重視學生的主體地位. 在建立以學生為主體、教師為輔的數(shù)學學習活動中，直觀想象有利于促進學生的知識與能力形成，有利于提高學生分析和解決問題能力，從而養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣、創(chuàng)新意識以及應(yīng)用數(shù)學意識與欣賞數(shù)學之美. 很顯然，這是一種綜合性的描述，在數(shù)學學科核心素養(yǎng)體系的背景之下，無論是選擇哪個要素作為突破口，都可以有效地帶動其他要素的落地.

以上是筆者基于高中數(shù)學直觀想象素養(yǎng)能力的培養(yǎng)與研究所形成的一些淺顯認識，所總結(jié)的內(nèi)容如果存在一些不妥當?shù)牡胤?，還希望得到專家同行的批評指正.