夏燦芳　陶友根　彭月

[摘? 要] 概念的形成過(guò)程就是對(duì)概念進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、概括的過(guò)程，而板塊內(nèi)容的起始概念作用尤其突出，抓住了起始概念，就抓住了該板塊的根基，把握住了發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的最好契機(jī). 文章從認(rèn)知心理學(xué)支撐的方法論角度，闡述了起始概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)策略：創(chuàng)設(shè)合理情景，自然引入概念;梳理共同屬性，抽象概括概念;辨析應(yīng)用概念，促進(jìn)概念理解;探究概念流向，建立概念聯(lián)系;反芻探究過(guò)程，評(píng)價(jià)抽象水平. 同時(shí)，文章指出應(yīng)把握各環(huán)節(jié)相應(yīng)的合理性、指向性、生成性、自然性、適應(yīng)性，以保證起始概念課對(duì)于提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的價(jià)值.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)抽象;起始概念課;設(shè)計(jì)策略

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng). 而數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，主要表現(xiàn)就是獲得數(shù)學(xué)概念. 數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維的基本形式，其形成過(guò)程通常經(jīng)歷兩種不同層次的抽象過(guò)程：一種是從數(shù)學(xué)外部的事物出發(fā)，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)化抽象出數(shù)學(xué)概念;另一種是在數(shù)學(xué)內(nèi)部，對(duì)已有數(shù)學(xué)概念的進(jìn)一步抽象結(jié)果.[1]概念的形成過(guò)程就是對(duì)概念進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、概括的過(guò)程，而板塊內(nèi)容的起始概念作用尤其突出，抓住了起始概念，就抓住了該板塊的根基，把握住了發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的最好契機(jī).

從認(rèn)知心理學(xué)的觀(guān)點(diǎn)看，概念學(xué)習(xí)一般要經(jīng)歷如下過(guò)程：（1）典型具體事例的分析、比較和歸納，得出共同屬性;（2）將共同屬性推廣到一般而概括出概念;（3）通過(guò)具體例子（特別是反例）辨析概念關(guān)鍵詞，以及用概念做判斷的應(yīng)用活動(dòng)促進(jìn)概念的理解;（4）通過(guò)綜合、復(fù)雜的應(yīng)用建立相關(guān)概念的聯(lián)系使概念“精致”化.[2]基于此方法論，如何在起始概念課中，設(shè)計(jì)好抽象概括過(guò)程，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)呢？下面以“變化率與導(dǎo)數(shù)”為例，與同行分享筆者實(shí)踐與思考.

起始概念課教學(xué)設(shè)計(jì)的基本策略

（一）創(chuàng)設(shè)合理情景，自然引入概念

數(shù)學(xué)的板塊起始概念知識(shí)，基本上都來(lái)源于感性認(rèn)識(shí)，即學(xué)生所能觀(guān)察到的或者自己所熟悉的日常生活的現(xiàn)實(shí)模型及抽象. 課程標(biāo)準(zhǔn)中更是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，故教材編寫(xiě)也基本以“實(shí)際情境—建立數(shù)學(xué)模型—檢驗(yàn)與應(yīng)用”為主線(xiàn)展開(kāi). 因此，數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)要基于大量的生活實(shí)例進(jìn)行概念的探究和生成，回歸生活原型，提煉數(shù)學(xué)概念是最基本的數(shù)學(xué)抽象形式點(diǎn)，這也是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象概念的最初點(diǎn).

例：（環(huán)節(jié)1）結(jié)合章引言和牛頓、萊布尼茲照片，介紹微積分的創(chuàng)立背景和作用;播放里約奧運(yùn)會(huì)我國(guó)跳水運(yùn)動(dòng)員秦凱的跳水場(chǎng)景，引入教材引例：

人們發(fā)現(xiàn)，在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h（t）= -4.9t2+6.5t+10.

設(shè)計(jì)意圖：1. 結(jié)合章引言，“微積分”高調(diào)入場(chǎng)，激發(fā)學(xué)生求知欲; 2. 放棄教材“問(wèn)題1 氣球膨脹率”，主要是因?yàn)樯钪械臍馇蚧径疾荒苁褂们蝮w體積公式，雖對(duì)感知有一定幫助，但嚴(yán)謹(jǐn)性有待考證;3. 用學(xué)生熟悉場(chǎng)景引入，讓函數(shù)關(guān)系不突然，學(xué)生無(wú)意中進(jìn)入研究狀態(tài).

（二）梳理共同屬性，抽象概括概念

數(shù)學(xué)抽象要以基于感知和操作的知覺(jué)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過(guò)典型的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的屬性進(jìn)行分析、比較、討論、理解后總結(jié)出共同特征. 歸納類(lèi)比、歸納概括是形成概念的重要方式，讓學(xué)生以“發(fā)現(xiàn)者”角色經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，深度參與數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，只有這樣才能積極有效地讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

例：（環(huán)節(jié)2）問(wèn)題1：在0≤t≤0.5這段時(shí)間里，問(wèn)該運(yùn)動(dòng)員的平均速度及這個(gè)平均速度所含的物理意義是什么？

問(wèn)題2：將0≤t≤0.5改為1≤t≤2呢？

問(wèn)題3：在t1≤t≤t2這段時(shí)間里又怎么寫(xiě)？

問(wèn)題4：你能再舉一個(gè)例子，類(lèi)比設(shè)計(jì)“求平均”的問(wèn)題嗎？

問(wèn)題5：如果函數(shù)關(guān)系用y=f（x）表示，那么當(dāng)x1≤x≤x2時(shí)，又怎么寫(xiě)？

設(shè)計(jì)意圖：1. 通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題1、問(wèn)題2，從該實(shí)際問(wèn)題的物理意義入手，讓學(xué)生能夠直觀(guān)地感受到運(yùn)動(dòng)過(guò)程的變化是有快有慢的，而平均速度正是描述了位移在時(shí)間段內(nèi)變化的快慢程度，為歸納函數(shù)平均變化率的概念提供了“認(rèn)知基礎(chǔ)”;2. 設(shè)計(jì)問(wèn)題4，讓學(xué)生自主舉例，豐富事例中感知“求平均”的方法和結(jié)構(gòu)，為抽象活動(dòng)奠定基礎(chǔ);3. 設(shè)計(jì)問(wèn)題3、問(wèn)題5，引導(dǎo)學(xué)生將時(shí)間一般化、函數(shù)關(guān)系式一般化，拾級(jí)而上得到平均變化率的式子，“平均變化率”的概念就只差一個(gè)認(rèn)定，即說(shuō)法的明確，此時(shí)教師直接給出概念.此過(guò)程讓學(xué)生充分體會(huì)從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

（三）辨析應(yīng)用概念，促進(jìn)概念理解

概念因其高度的抽象性，理解總是困難的，有些學(xué)生雖能夠背得出概念的內(nèi)容，卻不能利用所學(xué)的概念去解決實(shí)際問(wèn)題，為此筆者嘗試?yán)镁唧w例子（特別是反例）來(lái)辨析概念，這一做法有效地促進(jìn)概念的理解.用概念解決問(wèn)題，注意不只是題目而是問(wèn)題，開(kāi)放式設(shè)問(wèn)更能讓學(xué)生去自主思考、表達(dá)，利于數(shù)學(xué)抽象的反復(fù)強(qiáng)化.

例：（環(huán)節(jié)3）問(wèn)題5：如何從數(shù)學(xué)角度來(lái)刻畫(huà)溫度的“驟降”？

問(wèn)題6：你能舉例說(shuō)明用平均變化率來(lái)表示的其他生活現(xiàn)象嗎？

設(shè)計(jì)意圖：概念是從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是對(duì)實(shí)際生活現(xiàn)象的數(shù)學(xué)概括，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念（平均變化率）的理解，同時(shí)也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

（四）探究概念流向，建立概念聯(lián)系

概念從來(lái)都不是孤立的，概念的巨大價(jià)值就在于其廣泛聯(lián)系. 探究概念的流向，將概念置于復(fù)雜的環(huán)境中，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，才是概念的價(jià)值. 對(duì)于板塊起始概念，更多地研究其流向，由其層層推進(jìn)，衍生新的概念.

例：（環(huán)節(jié)4）問(wèn)題7：通過(guò)高度和時(shí)間的函數(shù)圖像可以看到，t=0和t=時(shí)的高度是一樣的，這個(gè)時(shí)間段內(nèi)的平均速度為0，但顯然運(yùn)動(dòng)員并非是靜止的. 這說(shuō)明平均速度能粗略地反映運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，卻不一定能反映他在某一刻的瞬時(shí)速度. 物理上是怎么求瞬時(shí)速度的呢？（PPT呈現(xiàn)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器、紙帶及實(shí)驗(yàn)求瞬時(shí)速度的結(jié)論）

問(wèn)題8：為什么說(shuō)任意一點(diǎn)的瞬時(shí)速度可以表示為與該點(diǎn)相鄰的兩點(diǎn)之間的平均速度？

設(shè)計(jì)意圖：1.讓學(xué)生初步明白平均變化率的不足，感受進(jìn)一步探究、學(xué)習(xí)的必要性，激發(fā)進(jìn)一步探究的欲望，完成平均速度到瞬時(shí)速度的過(guò)渡;2.用物理實(shí)驗(yàn)結(jié)論，能讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)（接地氣），同時(shí)也能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)對(duì)于自然科學(xué)的巨大作用.

（環(huán)節(jié)5）問(wèn)題9：求運(yùn)動(dòng)員t=2時(shí)的瞬時(shí)速度？

（環(huán)節(jié)6）問(wèn)題10：運(yùn)動(dòng)員在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度（變化率）如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)？

問(wèn)題11：類(lèi)比歸納：函數(shù)f（x）在x=x0處的瞬時(shí)速度（變化率）怎么表示？

設(shè)計(jì)意圖：由平均速度的極限抽象為瞬時(shí)速度，將平均變化率的極限抽象為瞬時(shí)變化率，即導(dǎo)數(shù). 讓學(xué)生再一次經(jīng)歷從特殊到一般的抽象過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，提高他們的思維能力，使得瞬時(shí)變化率的概念獲得“原型”支持，形成概念的模式直觀(guān).

（環(huán)節(jié)7）教師給出導(dǎo)數(shù)的定義，引導(dǎo)學(xué)生閱讀概念，并提問(wèn)：（1）瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？（2）f ′（x0）的值與x0的值有無(wú)關(guān)系？（3）f ′（x0）的值與Δx的具體取值有無(wú)關(guān)系？（4）強(qiáng)調(diào)符號(hào)書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性.

設(shè)計(jì)意圖：1. 辨析概念及符號(hào)表示，概念的符號(hào)語(yǔ)言，就是求法，在學(xué)生辨析的基礎(chǔ)上，教師要明確講解，正本清源;2. 引導(dǎo)學(xué)生舍棄具體問(wèn)題的實(shí)際意義，抽象為數(shù)學(xué)屬性，在知識(shí)的遷移下，學(xué)生能順利地表示出一般函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，即導(dǎo)數(shù)，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的飛躍.

（環(huán)節(jié)8）例題：將原油精煉為其他各種不同產(chǎn)品時(shí)，需要對(duì)原油進(jìn)行加工（主要為加熱或冷卻）. 原油的溫度（單位：℃）與第x時(shí)（單位：h）的關(guān)系為f（x）=x2-7x+15（0≤x≤8）. 讓學(xué)生計(jì)算f ′（6）和f ′（2），并說(shuō)明它們的意義.

設(shè)計(jì)意圖：此題為教材例題，原題目問(wèn)的是計(jì)算第2h和6h的瞬時(shí)變化率，改為讓學(xué)生直接計(jì)算f ′（2）和f ′（6），讓學(xué)生熟練導(dǎo)數(shù)書(shū)寫(xiě)形式，加深對(duì)概念的理解，鞏固導(dǎo)數(shù)的計(jì)算過(guò)程及其內(nèi)涵意義.

（五）反芻探究過(guò)程，評(píng)價(jià)抽象水平

在概念探究過(guò)程中，學(xué)生對(duì)概念的理解程度怎樣是立竿見(jiàn)影的，而對(duì)數(shù)學(xué)抽象方法、抽象能力的過(guò)程性、形成性與診斷性評(píng)價(jià)是長(zhǎng)遠(yuǎn)的追求.

例：自評(píng)小結(jié)：（1）你能用自己的語(yǔ)言描述平均變化率、瞬時(shí)變化率、導(dǎo)數(shù)的含義嗎？（2）你能用一個(gè)事例，串聯(lián)這幾個(gè)概念嗎？（3）回顧一下物理、數(shù)學(xué)的內(nèi)容，你能列舉幾個(gè)與之相聯(lián)系的概念嗎？（4）通過(guò)本節(jié)課的探究，你覺(jué)得我們應(yīng)該如果學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念？

設(shè)計(jì)意圖：反思是提升的重要手段，對(duì)標(biāo)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的三個(gè)水平設(shè)置問(wèn)題，讓學(xué)生在思考回答中加深概念理解，進(jìn)行自我水平評(píng)估，同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)提供方法支撐.

本節(jié)起始概念課設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)說(shuō)明

1. 本節(jié)課的內(nèi)容是變化率問(wèn)題和導(dǎo)數(shù)的概念兩課時(shí)的整合.這樣安排是基于以下兩點(diǎn)：一是平均變化率和瞬時(shí)變化率是為了導(dǎo)數(shù)的引入作鋪墊的起始概念，兩節(jié)內(nèi)容一起講授能讓導(dǎo)數(shù)概念的形成更自然流暢;二是學(xué)生已在高一學(xué)過(guò)了平均速度和瞬時(shí)速度，并且做過(guò)物理實(shí)驗(yàn)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，為求瞬時(shí)速度提供了知識(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)學(xué)生層次較好有能力接受兩課時(shí)的內(nèi)容.

2. 本節(jié)課有兩個(gè)概念，平均變化率是最起始的概念，瞬時(shí)變化率是平均變化率的縱向升華，教學(xué)設(shè)計(jì)中把平均變化率視為主體，采取了概念教學(xué)中嵌套概念教學(xué)的做法. 雖然實(shí)際操作中，學(xué)生并沒(méi)有異樣的感受，但這種做法的科學(xué)性有待商榷.或者換個(gè)角度，是否可以采取單元教學(xué)設(shè)計(jì)策略，直接用概念串（平均變化率—瞬時(shí)變化率—導(dǎo)函數(shù)）呢？

把握起始概念課教學(xué)的“五性”，抓住數(shù)學(xué)抽象的“五要素”

1. 情境創(chuàng)設(shè)的合理性，數(shù)學(xué)抽象的土壤

由具體事例（現(xiàn)實(shí)情境）抽象概括出概念，這已是數(shù)學(xué)教師的共識(shí)，但在各級(jí)各類(lèi)教研活動(dòng)中，“假情境”廣泛存在，“壞情境”也不少. 何為典型？事例的相關(guān)性、科學(xué)性都是應(yīng)該充分考慮的，情境創(chuàng)設(shè)必須具有合理性，后續(xù)的抽象活動(dòng)才有意義，情境是抽象的土壤. 比如：講二分法，有人以?shī)蕵?lè)節(jié)目猜價(jià)格的游戲引入，這就有明顯的科學(xué)性問(wèn)題，二分法適用于連續(xù)函數(shù)，而事例不是連續(xù)函數(shù).

2. 歸納設(shè)問(wèn)的指向性，數(shù)學(xué)抽象的方向

給出事例之后，類(lèi)比找共性，應(yīng)有引導(dǎo)性提問(wèn)，否則可能找出一大堆無(wú)關(guān)緊要的東西.當(dāng)然，設(shè)問(wèn)也不能口子太窄，否則都不用找了. 教師要把握歸納設(shè)問(wèn)的指向性，同時(shí)注意自由度，讓學(xué)生有方向，也有思考的空間，給出現(xiàn)“意外的驚喜”提供一些可能.

3. 概念辨析的生成性，數(shù)學(xué)抽象的真實(shí)

事不辨不明，概念更需要辨析.在講授式的課堂中常出現(xiàn)“一個(gè)概念幾點(diǎn)說(shuō)明”，老師有先見(jiàn)之明地給出幾點(diǎn)，這種操作雖有一定的合理性，但有些武斷了.老師可以在學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題時(shí)再給予解答，或者用提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題（認(rèn)知沖突），只有課堂生成的問(wèn)題才是最真實(shí)的問(wèn)題;只有把握好概念辨析的生成性，數(shù)學(xué)抽象才真實(shí)地發(fā)生過(guò).

4. 概念聯(lián)系的自然性，數(shù)學(xué)抽象的升華

概念之所以重要，在于它的基礎(chǔ)性和聯(lián)系性，所以大家都重視概念，也努力將各個(gè)概念相聯(lián)系，但聯(lián)系一定要自然，否則就會(huì)牽強(qiáng)，或者沖淡主題. 對(duì)于起始概念而言，聯(lián)系的概念應(yīng)該是其類(lèi)比的起始概念，或者是其后續(xù)發(fā)展的概念，往往會(huì)再一次經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，是抽象活動(dòng)的又一次升華.

5. 使用方法的適應(yīng)性，數(shù)學(xué)抽象的科學(xué)

凡事都是有方法論的，概念教學(xué)的方法更是層出不窮，但每種方法都不是萬(wàn)能的，也不能機(jī)械使用，要因地制宜、因時(shí)因勢(shì)使用，讓理論為實(shí)踐服務(wù)，而不是為了用而用.

抽象經(jīng)驗(yàn)需要在抽象活動(dòng)中積累，抽象能力需要在抽象活動(dòng)中發(fā)展，抽象素養(yǎng)需要在抽象經(jīng)驗(yàn)的積淀與升華中養(yǎng)成. 學(xué)生接受教材和教師抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)，未必懂得這些知識(shí)與原始的、具體材料的聯(lián)系，未必理解和掌握其中的抽象思路與方法，而這恰恰是學(xué)生最有用、最需要的東西.[3]因此在進(jìn)行起始概念教學(xué)時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生經(jīng)歷層次分明的抽象過(guò)程，讓學(xué)生參與抽象、嘗試歸納抽象，以達(dá)到在概念學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)抽象、學(xué)會(huì)抽象.

數(shù)學(xué)概念課教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的基本途徑，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效載體.筆者希望通過(guò)起始概念課的教學(xué)，以概念的內(nèi)在邏輯為線(xiàn)索，將數(shù)學(xué)抽象貫穿在情景—?dú)w納—遷移—應(yīng)用的過(guò)程中，讓學(xué)生充分經(jīng)歷抽象思維過(guò)程，更好地發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[2]? 章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄：上卷[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[3]? 李昌官. 數(shù)學(xué)抽象及其教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（04）.