胡高嵩

[摘? 要] 數(shù)學建模是培養(yǎng)高中學生解決數(shù)學問題和數(shù)學應用意識的重要手段. 文章嘗試借助數(shù)學建模對高中“三角函數(shù)的簡單應用”內(nèi)容進行教學設計，探討基于數(shù)學建模的高中三角函數(shù)內(nèi)容的設計策略. 認為教師應在現(xiàn)實問題的基礎上，鼓勵學生通過“發(fā)現(xiàn)—探究”學習形式，分析問題中隱含的信息，建立數(shù)學模型并運用數(shù)學相關的語言、符號、圖表來解決實際問題，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力和數(shù)學應用意識，發(fā)展和提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

[關鍵詞] 三角函數(shù);數(shù)學建模;應用意識

數(shù)學具有廣泛的應用性，發(fā)展學生的數(shù)學應用意識已經(jīng)成為當前高中數(shù)學基本教學理念之一，而以簡化實際問題、最終歸結(jié)為數(shù)學問題并求解的數(shù)學建模能夠有效培養(yǎng)學生的數(shù)學應用和創(chuàng)新意識[1]，尤其是在發(fā)展學生核心素養(yǎng)的大背景下，探究高中數(shù)學建模教學具有重要的意義.

基于數(shù)學建模的高中數(shù)學教學各環(huán)節(jié)設計

為了體現(xiàn)學生的問題意識、主動構(gòu)建以及自我監(jiān)控，高中數(shù)學建模主要從以下五個方面進行設計.

1. 教學目標

教學目標的設置主要是規(guī)范教師的教學行為，教師應組織學生在分析現(xiàn)實問題的基礎上，抽象出數(shù)學問題，掌握函數(shù)模型的本質(zhì)，并讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模過程，培養(yǎng)主動交流、探究思維的良好學習習慣[2]. 從三維教學目標方面分析，知識與技能方面：能夠?qū)⑸顚嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，運用數(shù)學建模方式進行求解，并熟練掌握基本的函數(shù)模型和一般解題步驟;過程與方法方面：體會現(xiàn)實世界與數(shù)學知識之間的緊密聯(lián)系，感知應用數(shù)學建模解決問題的一般方法，在探究問題的過程中，及時進行調(diào)整和評價，有效培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力、應用意識以及反思的學習習慣;情感態(tài)度與價值觀方面：讓學生感知數(shù)學的實用性，激發(fā)學生主動學習的欲望和興趣，培養(yǎng)學生的自學能力.

2. 教學重難點

作為教學的核心內(nèi)容，教師應分配好該環(huán)節(jié)的時間，適當?shù)剡M行講解和引導，在設計教學重點時要體現(xiàn)出數(shù)學建模的過程以及現(xiàn)實問題背景后的一些思想方法，即怎么建立函數(shù)模型求解實際問題，如何求解函數(shù)模型，函數(shù)模型的本質(zhì)是什么等等. 在設計教學難點時要通過問題情境展示出知識產(chǎn)生的過程，即如何培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想，如何將現(xiàn)實問題抽象出數(shù)學問題等等.

3. 教學過程

數(shù)學建模更加注重學生的思維過程，首先，在問題引入時要挑選出典型的問題來展開建模活動，要選擇具有隱蔽性的內(nèi)容讓學生自己去探討和發(fā)掘.其次，要體現(xiàn)學生的主動性，鼓勵學生通過查詢、探究、討論以及交流經(jīng)歷數(shù)學建模等方式培養(yǎng)學生的主動構(gòu)建意識.再次，在學生遇到困惑時，大力采用“探究—討論”為主的教學方式進行教學，組織學生分析出隱函的條件和所求內(nèi)容，觀察實際問題，對問題或模型進行求解和概括，并接受學生的質(zhì)疑，鼓勵學生發(fā)表自己的看法. 最后，要盡可能考慮突發(fā)事件，做好模型的多樣性和解的可能性.

4. 教學評價

教學評價貫穿于教學的全過程之中，由于數(shù)學建模活動具有自主性和靈活性，不容易控制，因此，教師應注重學生的參與過程，關注學生對基本知識的掌握和數(shù)學建模技能的培養(yǎng). 例如，是否能夠獨立思考并與同伴交流合作;是否自主分析解決困難;是否利用數(shù)學語言進行表述;是否自己提出問題等等. 同時，由于學生個體的差異，不能運用同一標準來評價所有學生的建?；顒?，而應從方法、態(tài)度、結(jié)果等多個角度進行評價.

5. 課后作業(yè)

數(shù)學建模的課后作業(yè)既要有利于反映學生對本節(jié)內(nèi)容學習的情況，有效鞏固數(shù)學建模內(nèi)容，又要有利于教師了解學生的學習狀態(tài). 在具體課后作業(yè)設計中應以教材為主，作業(yè)應涵蓋數(shù)學建模以及函數(shù)應用問題等相關內(nèi)容，注重能力的訓練和學生思考能力的培養(yǎng)，對于一些學有余力的學生設置選做題，給予探究方向、探究資料等方面的提示.

高中三角函數(shù)數(shù)學建模教學設計

三角函數(shù)涵蓋的公式比較多，也是高中非常重要的內(nèi)容，因此，筆者以學生不夠熟悉、理解有一定難度、實踐應用比較薄弱的三角函數(shù)簡單應用為例，深入探究高中數(shù)學建模教學設計.

1. 創(chuàng)設情境

為了吸引學生的注意力，激發(fā)學生探究的興趣，筆者利用PPT向?qū)W生展示出日常生活中的海潮場景，引導學生在欣賞美麗圖片的基礎上思考什么是潮起潮落，潮起潮落對人們生活有那些具體影響等. 在此基礎上，呈現(xiàn)出以下實際問題：

表1所示的是某一地區(qū)某一天時間與水深之間的關系表，已知某一貨船在漲潮時駛進港口，卸貨后在落潮時返回.

（1）試根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，找到時刻與水深之間的關系.

（2）若規(guī)定船底與水面的距離只有大于1.5米時，貨船才能進出港口，已知船底與水面的距離為4米，試問該船在什么時候必須離開？

2. 自主探究

3. 總結(jié)提升

為了驗證模型是否符合實際，組織學生對結(jié)果進行驗證，代入實際問題進行解釋.組織學生回顧解題過程，總結(jié)出構(gòu)建三角函數(shù)模型的具體步驟，即首先將實際問題抽象成數(shù)學問題，尋找出問題中的重要條件;其次，根據(jù)所給數(shù)據(jù)描繪出散點圖，根據(jù)圖形所表現(xiàn)出的趨勢假設出具體的函數(shù)模型;再次，利用假設的函數(shù)模型知識進行求解;最后，將獲得的解代入實際問題進行檢驗，對于一些不符合實際問題的解及時剔除.

4. 鞏固訓練

為了切實加強數(shù)學建模思想，教師及時出示以下兩個例題，要求學生結(jié)合所呈現(xiàn)的圖像，以小組的形式自主探究，在此過程中，對于有問題的學生進行個別指導.

（1）如圖1所示，已知某一轉(zhuǎn)盤的最低點距離地面2米，旋轉(zhuǎn)一周需要12分鐘，轉(zhuǎn)盤直徑為16米，試求轉(zhuǎn)盤上的一個端點P離地面距離與旋轉(zhuǎn)時間的關系式.

（2）如圖2所示，一根木棒想要通過這個直角走廊，其木棒長L符合函數(shù)L（θ）=+.

①當0°<θ<90°時，試描繪出上述函數(shù)的圖像.

②根據(jù)第一小題所描繪的圖像，試求木棒長L的最小值，并根據(jù)題意進行解釋.

5. 課堂小結(jié)

為加深學生學習印象，讓學生自己總結(jié)三角函數(shù)的特征和構(gòu)建三角函數(shù)模型的步驟，可通過以下問題來實施：一是如何構(gòu)建合適的函數(shù)模型，具體步驟是什么;二是三角函數(shù)模型具有哪些特征;三是你還有哪些問題或困惑.同時，根據(jù)教材內(nèi)容設置必做和選做的課后作業(yè)，進一步培養(yǎng)學生的動手操作、思考的能力.

結(jié)語

綜上所示，以生為本的數(shù)學建模是高中數(shù)學課程的重要內(nèi)容，教師應在現(xiàn)實問題的基礎上，鼓勵學生通過“發(fā)現(xiàn)—探究”的學習形式，分析問題中隱含的信息，建立數(shù)學模型并運用數(shù)學相關的語言、符號、圖表來解決實際問題，體會數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，只有這樣，才能培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力和數(shù)學應用意識，才能不斷提高學生的數(shù)學素養(yǎng)[3].

參考文獻：

[1]? 苗雪峰. 高中數(shù)學建模的幾點思考[J]. 中學數(shù)學教學參考，2017（18）.

[2]? 鄭大鵬.數(shù)學建模在高中數(shù)學課堂的教學策略研究[J]. 數(shù)學教學通訊，2017（12）.

[3]? 胡書軍，于國清，姚遙. 數(shù)學核心素養(yǎng)之數(shù)學建模能力的挖掘與培養(yǎng)[J]. 中學數(shù)學教學參考，2018（09）.