郭丹丹

摘? 要：《釘子板上的多邊形》是蘇教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書五上內(nèi)容。本課教學(xué)主要引導(dǎo)學(xué)生在具體的觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、操作、思考等探究過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。整節(jié)課的教學(xué)重視調(diào)動(dòng)學(xué)生主體作用，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索規(guī)律的完整過程，呈現(xiàn)出在學(xué)習(xí)中提問、在觀察中猜想、在實(shí)踐中驗(yàn)證、在交流中完善結(jié)論、在總結(jié)中反思提升的教學(xué)特色。

關(guān)鍵詞：提問;猜想;驗(yàn)證;結(jié)論;反思

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的改進(jìn)，需要以學(xué)生為中心，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓其成為學(xué)習(xí)的主人。在被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)下，學(xué)生會(huì)消極應(yīng)付學(xué)習(xí)，有時(shí)學(xué)生的認(rèn)知和探究活動(dòng)，不是其自我追求的行為，而成了一種虛假的、形式上的學(xué)習(xí)現(xiàn)象。因此，有人提出要讓課堂教學(xué)中的探究真發(fā)生、思維真發(fā)生、學(xué)習(xí)真發(fā)生。筆者本著這一認(rèn)識(shí)踐行課堂教學(xué)，著重研磨了《釘子板上的多邊形》一課，以下是該課的教學(xué)實(shí)錄片段及其反思。

■【案例片段】

師：同學(xué)們，請(qǐng)仔細(xì)觀察釘子板上圍成的圖形。釘子板上多邊形的面積可能和哪里的釘子數(shù)有關(guān)？

生1：我覺得多邊形的面積可能和多邊形外部的釘子數(shù)有關(guān)。

生2：我覺得多邊形的面積可能和多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。根據(jù)這幅圖，我們可以看到多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)逐漸變多，而且它的面積也隨之變大。

生3：我覺得多邊形的面積可能和多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)，還可能和多邊形邊上的釘子數(shù)有關(guān)。我們可以看到多邊形的面積在變大的同時(shí)，多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)在逐漸變多，而且多邊形邊上的釘子數(shù)也變多了。

師：多邊形的面積可能和多邊形外部的釘子數(shù)有關(guān)嗎？

生：多邊形外部的釘子數(shù)根本無法確定多邊形的大小，所以釘子板上多邊形的面積跟外部的釘子數(shù)一定是無關(guān)的。

……

師：是不是所有內(nèi)部是一顆釘子的多邊形，都符合剛剛我們所提的規(guī)律呢？

（請(qǐng)全班來集體驗(yàn)證。）

師：你畫的內(nèi)部是一顆釘子的多邊形，符合剛剛我們所說的規(guī)律嗎？

生：符合。

……

生：當(dāng)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)是2時(shí)，多邊形的面積和多邊形邊上釘子數(shù)的關(guān)系還會(huì)是S=n÷2嗎？

……

師：猜一猜，當(dāng)內(nèi)部釘子數(shù)是3的時(shí)候，S可能等于什么？釘子數(shù)是4的時(shí)候呢？?jī)?nèi)部釘子數(shù)還可能是幾？

現(xiàn)在開展如下探索活動(dòng)，要求和步驟是——

1. 先猜一猜你想研究的多邊形面積和多邊形邊上釘子數(shù)以及內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系，并且寫下來。

2. 再在點(diǎn)子圖上畫一個(gè)多邊形，數(shù)一數(shù)、算一算，驗(yàn)證你的猜想。

師：你研究的是內(nèi)部有幾顆釘子的多邊形？我們猜一猜規(guī)律是什么。

師：咱們猜得對(duì)嗎？

生：對(duì)。

師：你們太厲害了吧，怎么猜得這么準(zhǔn)呀，是發(fā)現(xiàn)了什么嗎？

生：S=n÷2+（a-1）。對(duì)于這個(gè)結(jié)論，你有沒有什么想說的？

生：a有沒有可能是0？

師：是啊，當(dāng)a=0時(shí)，這個(gè)發(fā)現(xiàn)是否也成立呢？你這個(gè)問題提得太有價(jià)值了，我們一起來驗(yàn)證。

生：當(dāng)a=0時(shí)，也符合這個(gè)規(guī)律。所以這個(gè)式子符合a從0開始的任意一個(gè)自然數(shù)。

……

■【案例反思】

上述案例片段引發(fā)了執(zhí)教者的深刻反思。對(duì)于五年級(jí)學(xué)生來說，“釘子板上的多邊形”是他們第一次通過整節(jié)課的學(xué)習(xí)來研究的一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)定理。以下幾點(diǎn)既可以算是個(gè)人的教學(xué)體會(huì)，也可作為某種教學(xué)已得的經(jīng)驗(yàn)與同行們交流分享。

一、從問題出發(fā)，引合理猜想

牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！辈孪氲倪^程其實(shí)就是動(dòng)腦的過程，它對(duì)學(xué)生的思維能力起到了一定的促進(jìn)作用。本節(jié)課中，大部分學(xué)生都能夠通過觀察分析進(jìn)行合情推理、合理猜想，也都能夠較為容易地猜測(cè)出釘子板上多邊形的面積可能與釘子板內(nèi)部的釘子數(shù)以及多邊形邊上的釘子數(shù)有關(guān)。他們中的部分學(xué)生不僅能根據(jù)自己已有的經(jīng)驗(yàn)或經(jīng)歷對(duì)自己的猜想進(jìn)行舉例說明，還能夠用文字描述、圖示等形式進(jìn)行合乎道理的分析和說明，語言表達(dá)順暢，銜接自然。當(dāng)然，班里也存在一小部分學(xué)生純粹是胡亂猜測(cè)，他們認(rèn)為釘子板上多邊形的面積跟多邊形外部的釘子數(shù)有關(guān)。當(dāng)教師讓這部分學(xué)生分析時(shí)，他們往往會(huì)說“我就是隨便猜猜的”。這部分學(xué)生完全是憑直覺提出猜想，至于這個(gè)猜想是否與問題情境有關(guān)，則根本無法給出適當(dāng)?shù)慕忉尯驼f明。大部分學(xué)生認(rèn)為，雖然猜想時(shí)做到了有理有據(jù)，但那只是大家的猜想，一點(diǎn)也不“科學(xué)”“嚴(yán)謹(jǐn)”，必須要進(jìn)一步驗(yàn)證才行。這就激發(fā)出學(xué)生想要探究的欲望，突出了驗(yàn)證猜想的必要性和迫切性，自然而然地就把學(xué)習(xí)活動(dòng)推進(jìn)到下一步，充分體現(xiàn)了教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者、引導(dǎo)者和參與者，課堂教學(xué)模式也從“以教師的教為主體”轉(zhuǎn)變成了“以學(xué)生的學(xué)為主體”。

學(xué)生找到當(dāng)內(nèi)部釘子數(shù)為1和2時(shí)多邊形面積和多邊形邊上釘子數(shù)的關(guān)系，并且能夠從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借現(xiàn)有的結(jié)論，運(yùn)用歸納和類比等推斷出當(dāng)內(nèi)部釘子數(shù)是3、4、5……多邊形的面積和多邊形邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系。這里的猜想看似“簡(jiǎn)單”，實(shí)則需要先找到當(dāng)a=1和a=2時(shí)的關(guān)系，才能進(jìn)一步思考。學(xué)生所驗(yàn)證的數(shù)據(jù)范圍較廣，能夠體現(xiàn)教師的“放”。學(xué)生還能夠抓住事物之間的相互聯(lián)系做出猜想，教師在尊重學(xué)生的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)探究活動(dòng)循序漸進(jìn)地進(jìn)行。

二、猜想中發(fā)現(xiàn)，以實(shí)踐驗(yàn)證

正如毛澤東所說：“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。”當(dāng)學(xué)生通過觀察、計(jì)算、分析等學(xué)習(xí)手段發(fā)現(xiàn)當(dāng)a=1時(shí)S和n之間的關(guān)系，這時(shí)他們的發(fā)現(xiàn)僅僅是根據(jù)書上的4幅圖暫時(shí)得到的結(jié)果而已，還需要大量的具體數(shù)據(jù)來驗(yàn)證。教師讓學(xué)生通過找反例的形式，佐證了這一結(jié)論。在教學(xué)中，教師要改變學(xué)生的定向思維模式，不僅要教給學(xué)生正向思維，還要教給學(xué)生逆向思維，這樣更有助于提高學(xué)生的思維能力。如果學(xué)生想要對(duì)一個(gè)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，但在獨(dú)立思考或者小組合作思考之后，仍然不知如何驗(yàn)證時(shí)，教師可以選擇在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)用語言、圖文等提醒和引導(dǎo)，通過回顧以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和已掌握的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生產(chǎn)生明確的、清晰的、可操作性的想法，由此驗(yàn)證猜想是否正確。教師視情況而定，還可以直接告訴學(xué)生一些驗(yàn)證方法，如舉例驗(yàn)證法、推導(dǎo)驗(yàn)證法、類比驗(yàn)證法、操作驗(yàn)證法、查閱資料驗(yàn)證法等，以此來幫助學(xué)生解決問題。與此同時(shí)，如果想要提高學(xué)生的猜想驗(yàn)證能力，不僅要提供具體可猜想驗(yàn)證的環(huán)境，還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用正確的猜想驗(yàn)證方法。教師在教學(xué)中需要給學(xué)生足夠的猜想空間，即使有少部分學(xué)生“隨便猜猜”也是完全可以接受的，教師要給予這部分學(xué)生一定的肯定，以此來激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，一旦有了興趣，他們就會(huì)積極主動(dòng)地參與到學(xué)習(xí)過程中來，努力地去驗(yàn)證自己的結(jié)論，久而久之就會(huì)改變自己的學(xué)習(xí)態(tài)度。

學(xué)生在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、能夠進(jìn)行合情推理的基礎(chǔ)上，猜想當(dāng)內(nèi)部釘子數(shù)不同時(shí)多邊形的面積和多邊形邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生知道，只有猜想是不夠的，必須要對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生從“要我學(xué)”變成“我要學(xué)”，從被動(dòng)學(xué)習(xí)變成主動(dòng)研究，這很容易讓學(xué)生在心理上取得一定的滿足感，激發(fā)起無限的學(xué)習(xí)熱情，有助于提升他們的探究能力。

三、驗(yàn)證中總結(jié)，總結(jié)中反思

曾子說過：“吾日三省吾身?！睂W(xué)生不僅每天要多次反省自己的所作所為，在學(xué)習(xí)上也同樣要反省每天所學(xué)的內(nèi)容是否還存在些許疑惑。學(xué)生通過自己的努力以及同伴和老師的幫助，找到當(dāng)內(nèi)部釘子數(shù)是正整數(shù)時(shí)多邊形面積和多邊形邊上釘子數(shù)的關(guān)系。班上有少數(shù)學(xué)生對(duì)該結(jié)論存在疑問：如果內(nèi)部釘子數(shù)是0，這個(gè)結(jié)論是否還成立？這部分學(xué)生的反思能力和探究能力較強(qiáng)，有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，能夠根據(jù)問題情境中的具體信息，根據(jù)思考、探究等提出與問題情境有關(guān)聯(lián)的、清晰的、確定的數(shù)學(xué)問題，同時(shí)能夠讓周圍的小伙伴通過聯(lián)想相關(guān)的知識(shí)、小組合作、探究、推理等方法得到答案。學(xué)生之間的討論互助，不僅能讓結(jié)論更加完整化，而且還會(huì)對(duì)其他同學(xué)起到一定的激勵(lì)作用，鼓勵(lì)他們以后思考問題也要全面。課堂小結(jié)也是每節(jié)課不可缺少的一部分。學(xué)生通過自主思考總結(jié)或小組合作思考總結(jié)，不僅能夠用自己的語言描述本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，而且還考驗(yàn)了自己對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握程度，更有甚者會(huì)對(duì)之前所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生一定的疑惑并引導(dǎo)全班學(xué)生進(jìn)行集中探討。反思是學(xué)習(xí)的一種有效手段，是學(xué)習(xí)中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。教師是學(xué)生的引路人，更是反思性學(xué)習(xí)的促進(jìn)者。教師必須不斷地對(duì)自己的教學(xué)進(jìn)行反思，不斷地提高自身的教學(xué)水平。學(xué)生是反思的主體，在課堂教學(xué)中，教師不僅要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)幫助學(xué)生建立反思意識(shí)，更要在平時(shí)的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣。

《釘子板上的多邊形》一課的探究學(xué)習(xí)，需要學(xué)生經(jīng)歷多次猜想和多次驗(yàn)證才能得到結(jié)論。根據(jù)具體的情境，將合情推理、合理猜想通過活動(dòng)進(jìn)行驗(yàn)證，獲取結(jié)論后再加以反思。探究課堂中，圍繞數(shù)學(xué)猜想，學(xué)生經(jīng)歷了“提出問題―合理猜想―設(shè)法驗(yàn)證―得出結(jié)論―回顧反思”的學(xué)習(xí)過程。正因?yàn)榻?jīng)歷了這種探究過程，猜想驗(yàn)證思想方法才得以滲透，也才能培養(yǎng)學(xué)生更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和推理能力，使學(xué)生的認(rèn)知水平和思維能力都得到一定程度的提升。

作為一線教師，在平時(shí)的課堂教學(xué)中要把猜想驗(yàn)證等數(shù)學(xué)方法加以延伸，挖掘出教材背后深層次的思想方法。我們不僅要讓學(xué)生知其然，還要讓他們知其所以然，一定要讓課堂上的學(xué)生探究真發(fā)生、學(xué)習(xí)真發(fā)生。