王志艷 馬天紅

摘? 要：探索性學(xué)習(xí)過程中學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、猜想、驗證等一系列活動，其中猜想驗證活動能有效促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力、知識系統(tǒng)、思維的發(fā)展。教師提供的學(xué)習(xí)材料以什么形式出現(xiàn)？怎樣突出材料的特征才能有效促進(jìn)學(xué)生提出問題、合理猜想并積極驗證呢？經(jīng)過兩次不同的教學(xué)設(shè)計，筆者認(rèn)為數(shù)形結(jié)合表征，逐步實現(xiàn)猜驗遞進(jìn)更有助于學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)形;猜驗;樹葉中的比;教學(xué)設(shè)計

■【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版六年級上冊第66-67頁綜合與實踐“樹葉中的比”。

【教學(xué)片段一】觀察比較，提出問題。

第一次教學(xué)設(shè)計：

出示教材主題圖，觀察這些樹葉的形狀，你有什么想法？

預(yù)設(shè)：形狀和大小各不相同。同一種樹葉有大有小，形狀都差不多;有些不同種類的樹葉形狀也很像。

師：可以用什么描述樹葉形狀呢？討論。

第二次教學(xué)設(shè)計：

1. 認(rèn)識樹葉，觀察比較。

課件出示樹葉形狀，除了呈現(xiàn)教材中的主題圖，還增加了樹葉拓印畫和剪影畫。

師：辨認(rèn)時你是怎么想的？

2. 怎樣表示一片樹葉的形狀？

預(yù)設(shè)：長或?qū)?，長與寬的比值。

師：用哪個數(shù)表示更合適？組織討論，鼓勵舉例子說明。

3. 介紹柳葉長、寬以及測量的方法。

師：如果計算出它們長與寬的比值，你能想到什么問題？

預(yù)設(shè)：樹葉形狀與長寬的比值之間有什么聯(lián)系？

評析：問題是數(shù)學(xué)的核心，是激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的重要因素，而問題來自對現(xiàn)象的觀察與思考。第一次的設(shè)計直接呈現(xiàn)教材中各種各樣的樹葉：色彩豐富，形狀各異，有單生葉也有復(fù)生葉，但對于提出“用什么來表示樹葉的形狀”這一問題有干擾。學(xué)生根據(jù)已有知識經(jīng)驗，自然想到用長、寬來表示樹葉形狀。老師只好尷尬地引導(dǎo)學(xué)生：用長、寬的比值來表征更簡便。第二次設(shè)計中，教師呈現(xiàn)樹葉實物圖、拓畫圖片以及剪影圖片，在觀察比較樹葉的大小形狀時凸顯了形狀的相似與不同，由此提出問題，能有效地激發(fā)學(xué)生的探究欲望。在討論的過程中，鼓勵學(xué)生用實例表達(dá)自己的觀點，用類比的方法闡述長、寬的比值是最合理的方式。數(shù)與形狀對照是研究樹葉形狀，激發(fā)數(shù)學(xué)思考的重要方法。

【教學(xué)片段二】觀察比較，引導(dǎo)猜想。

第一次教學(xué)設(shè)計：

師：這些樹葉長與寬的比值可能會怎樣？

預(yù)設(shè)：同一種樹葉長與寬的比值相近，不同種類的可能接近。

第二次教學(xué)設(shè)計：

1. 形狀與長和寬的比值之間有什么聯(lián)系？

預(yù)設(shè)：形狀特別的可以不研究。有的樹葉相似，長與寬的比值有沒有可能相同或相近呢？

2. 數(shù)形結(jié)合啟發(fā)思考。

我們描出長與寬，大家算一算比值。（呈現(xiàn)圖1）

師：算出比值后，你能把這些樹葉分一分嗎？（呈現(xiàn)圖2）

出示分的結(jié)果（呈現(xiàn)圖3）。

師：這時，你想到什么？

根據(jù)回答依次出示——

同一種樹葉：①長與寬的比值相近？

不同種類：②形狀不同，比值不同？

③形狀相似，比值相近？

④比值越大，形狀越（? ? ）。

評析：教學(xué)中教師應(yīng)努力打開文字、圖形與符號之間的通道，讓學(xué)生獲得這些不同信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓形象思維和抽象思維和諧共舞，促使有思維深度的數(shù)學(xué)猜想成為可能。第一次的設(shè)計在學(xué)生還沒有充分理解長寬比值與樹葉形狀之間聯(lián)系的時候，教師緊接著引導(dǎo)學(xué)生對比值進(jìn)行猜想，顯得非常倉促。經(jīng)過分析得出，學(xué)生思考形狀與長寬比值有什么聯(lián)系，需要強(qiáng)烈的信息刺激，使直覺易于產(chǎn)生作用，產(chǎn)生跟樹葉形狀與長寬比值相關(guān)的直接想法。所以第二次的設(shè)計，教師將研究的對象以數(shù)形結(jié)合的形式出現(xiàn)時，學(xué)生的已有知識和生活經(jīng)驗更容易被充分調(diào)動，尤其是借助長方形的長與寬的構(gòu)圖以及長與寬的具體數(shù)據(jù)來想、來猜。學(xué)生自然地經(jīng)歷了從經(jīng)驗中想、從知識中想、從數(shù)據(jù)中猜的過程。當(dāng)然，從數(shù)據(jù)中來的猜想最有價值，也最可靠。

【教學(xué)片段三】表征數(shù)據(jù)，設(shè)法驗證。

第一次教學(xué)設(shè)計：

1. 研究同一種樹葉。

（1）算出柳樹葉長與寬的比值。

師：觀察大家計算的比值，你有什么想法？

活動：把10片柳樹葉長與寬的比值制成折線統(tǒng)計圖，用紅筆圈出最大值，用藍(lán)筆圈出最小值（如圖4）。

思考：用哪個數(shù)來描述柳樹葉長與寬的比值更合適？（平均數(shù)）

師：算一算平均數(shù)。匯報平均值最大、最小分別是多少。

（2）比較平均數(shù)。

師：老師在電腦上用統(tǒng)計圖表示大家的平均值在哪個范圍。（只出示最大、最小值）

師：觀察從每一片柳葉到10片平均值的數(shù)據(jù)變化，你想說什么？（范圍變小，更集中，更有代表性，片數(shù)再多一點會怎么樣呢）

算出一組6個人的平均數(shù)。在統(tǒng)計圖中呈現(xiàn)最大值和最小值并比較。

算出全班同學(xué)的平均數(shù)，呈現(xiàn)在統(tǒng)計圖中。

問：通過計算、比較和分析，你有什么收獲？

2. 研究不同的樹葉。（略）

評析：第一次設(shè)計利用統(tǒng)計圖表示兩個極值，經(jīng)歷從10片到60片，再到幾百片樹葉的長寬比值平均數(shù)的變化，使學(xué)生感受統(tǒng)計的數(shù)量越多，平均數(shù)的最大值和最小值數(shù)值越接近。這有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念，以尋找更合適的表示樹葉形狀的比值。一般為了促進(jìn)學(xué)生研究，形狀與數(shù)值的內(nèi)在聯(lián)系應(yīng)該直觀外顯，可這里的數(shù)據(jù)與樹葉形狀是分割的，數(shù)據(jù)與樹葉形狀之間的內(nèi)在聯(lián)系學(xué)生無法體會，導(dǎo)致思維活動低效，不利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成與猜想相應(yīng)的結(jié)論。開展數(shù)學(xué)實踐活動，要使學(xué)生從多角度體驗、了解數(shù)學(xué)（如比值）的價值。課堂上教師雖適當(dāng)引導(dǎo)啟發(fā)，有利于活動走向深入，學(xué)生的確也經(jīng)歷了用動手實踐、自主探索、合作交流等方式去探索相關(guān)規(guī)律，但偏重于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的比較，無論從觀察、比較還是分析的角度來看，都無法將學(xué)生的思維向數(shù)形關(guān)系的深處引導(dǎo)。

第二次教學(xué)設(shè)計：

1. 討論驗證方法。

師：怎樣驗證呢？

預(yù)設(shè)：測量、計算、比較。

2. 小組合作，驗證猜想。（選擇一條猜想進(jìn)行驗證）

3. 交流分享。

將研究的樹葉貼出，分享：本組驗證哪條猜想？發(fā)現(xiàn)了什么？

形成過程性板書，如圖5。

提醒學(xué)生將樹葉實物圖按照一定的順序排列。用一個數(shù)軸（縱軸）呈現(xiàn)所有研究的樹葉實物圖和長寬比值。

評析：蘇霍姆林斯基說，“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、探索者”，驗證猜想的活動給予學(xué)生充分自由的學(xué)習(xí)空間。小組合作既有利于學(xué)生共享樹葉資源，進(jìn)行不同猜想內(nèi)容的驗證，又能在驗證同一個猜想時獲得更多數(shù)據(jù)，更能體現(xiàn)研究對象的特點。驗證方式可以有：①舉例子，舉例子的操作核心是找到反例，如果沒有反例，那就猜對了，如果有反例就可以否定;②說理，說理可以用不同的形式進(jìn)行表征，也可以進(jìn)行證明等。在與學(xué)生交流分享同步進(jìn)行的板書中，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)也可以為學(xué)生的驗證提供更直觀的感悟：用一個數(shù)軸（縱軸）呈現(xiàn)所有研究對象及其分享的數(shù)據(jù)（長寬比值），通過觀察發(fā)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)接近，同時將樹葉圖片也呈現(xiàn)在相應(yīng)的位置，數(shù)形對照，驗證猜想。

總體來說，第一次教學(xué)設(shè)計，學(xué)生不能主動理解用“長、寬比值”表示樹葉形狀;學(xué)生對“樹葉形狀與長寬比值的大小之間有什么規(guī)律”的猜想比較被動。整個學(xué)習(xí)活動中，教師引導(dǎo)過多，學(xué)生比較盲從。修改的重點是：更換學(xué)習(xí)素材和素材呈現(xiàn)方式，以啟發(fā)學(xué)生提出有針對性的問題;突出樹葉與其長、寬、長寬比值的對照，采用數(shù)形結(jié)合的方式幫助學(xué)生理解、分析和猜想;舍棄統(tǒng)計圖的呈現(xiàn)方式，改用數(shù)軸的方式出示樹葉形狀與長、寬比值，讓規(guī)律看得見、說得出、想得清。

數(shù)學(xué)猜想與驗證需要每一個學(xué)生都親歷“提出疑問、大膽猜想、合理驗證、完善結(jié)論”的實踐過程，更需要教師引導(dǎo)學(xué)生對研究對象進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的觀察、思考、比較、計算等活動。學(xué)生建立在對物質(zhì)世界直接經(jīng)驗之上的真正的學(xué)習(xí)，使數(shù)學(xué)活動成為有趣的、深受學(xué)生喜愛的、能被學(xué)生理解的學(xué)科性活動?！皹淙~中的比”這一“綜合與實踐”活動僅憑一片樹葉長與寬的比值，難以得出任何結(jié)論，但是當(dāng)我們把多片的同種樹葉進(jìn)行比較、把不同種類而形狀相似的樹葉放在一起比較、把不同種類且形狀不同的樹葉放在一起比較時，數(shù)據(jù)就會有規(guī)律，與數(shù)據(jù)相應(yīng)的形狀便隨之呈現(xiàn)出一些明顯的有規(guī)律的現(xiàn)象。在材料數(shù)據(jù)從長、寬到長寬比值，再到結(jié)合數(shù)形比較和分類的過程中，猜想活動不斷推進(jìn)。幾次進(jìn)行猜想，經(jīng)歷驗證、歸納和發(fā)現(xiàn)其中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，是學(xué)生重要的學(xué)習(xí)手段。