孫寶恩

[摘? 要] 從學生學習的角度來看，研究學生在數(shù)學學習過程中的載體，有時候更加根本，從而也就顯得更加重要. 學生數(shù)學學習的載體就是數(shù)學語言. 在核心素養(yǎng)的背景之下，思考數(shù)學語言在學生數(shù)學學習中的作用，顯得更加重要. 數(shù)學語言的價值，體現(xiàn)在促進學生數(shù)學學習的過程中，對數(shù)學知識的理解以及對數(shù)學問題解決思路的理解上. 數(shù)學理解不是靠死記硬背實現(xiàn)的，也不是靠“題海戰(zhàn)術”實現(xiàn)的，而是靠對數(shù)學語言的扎扎實實的理解來實現(xiàn)的.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;數(shù)學語言;數(shù)學思維

對高中數(shù)學教學的認識，很容易忽視一個觀點，那就是高中數(shù)學教學要重視數(shù)學語言的運用. 這里似乎存在一種悖論：理論上數(shù)學語言的重要性，與實際教學中數(shù)學語言被忽視，在實際教學中客觀地發(fā)生了. 根據(jù)筆者的研究，在高中數(shù)學教學中，數(shù)學語言的作用容易被忽視，一個基本的事實就是在高中數(shù)學教學研究的視野里，數(shù)學語言常常是被淡化的，教師更感興趣的是先進的教學理念與教學方式，有時候還熱衷于教學手段的運用等. 筆者并不是說這些不重要，但從學生學習的角度來看，研究學生在數(shù)學學習過程中的載體，有時候更加根本，從而也就顯得更加重要. 學生數(shù)學學習的載體是什么？在筆者看來就是數(shù)學語言. 在核心素養(yǎng)的背景之下，思考數(shù)學語言在學生數(shù)學學習中的作用，顯得更加重要. 本文就此話題談一談一些新的思考與做法.

■數(shù)學教學要重視數(shù)學語言的價值

數(shù)學語言的價值，體現(xiàn)在促進學生數(shù)學學習的過程中，對數(shù)學知識的理解以及對數(shù)學問題解決思路的理解上. 當在數(shù)學學科核心素養(yǎng)中強調六個要素時，需要注意的是，無論是數(shù)學抽象還是邏輯推理，又或者是數(shù)學建模，都是借助于數(shù)學語言（當然也包括生活語言）來進行的. 正因為如此，人們才認為數(shù)學語言既是數(shù)學思維的載體，又是數(shù)學思維的具體體現(xiàn). 斯托利亞爾提出：“數(shù)學教學也就是數(shù)學語言教學”. 能否運用恰當、準確的數(shù)學語言有邏輯地表達、交流體現(xiàn)了數(shù)學素養(yǎng)的高低.學會正確、合理地使用數(shù)學語言是數(shù)學學習的一項基本而重要的任務.

在數(shù)學教學實踐中，很容易理解數(shù)學語言的價值. 舉一個例子，在“函數(shù)”的教學中，應當注意到函數(shù)作為高中數(shù)學知識體系中最重要的概念，學生必須精準掌握其定義. 在高中數(shù)學教材中，函數(shù)的定義常常是這樣表述的：一般地，設A，B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù). 記作y=f（x），x∈A. 其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域，與x的值相對應的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）x∈A}叫作函數(shù)的值域.

這段表述對于學生而言是非常抽象的，其在精確地描述函數(shù)的性質的時候，同時又對學生的理解提出了較高的要求. 只有讓學生在理解了這段文字的內(nèi)涵與外延，才能真正理解函數(shù)的概念. 從數(shù)學語言運用的角度來看，在這樣的一個教學例子當中，學生所加工的正是這些數(shù)學語言，思維加工的過程也就是理解數(shù)學語言的過程. 這樣的一個理解過程，可以讓學生的已有經(jīng)驗與新的數(shù)學語言之間發(fā)生積極的互動，學生可以將新的數(shù)學語言的內(nèi)涵同化到原有的經(jīng)驗系統(tǒng)當中去，于是學生的數(shù)學語言系統(tǒng)也就變得更加豐富，在后面的數(shù)學知識學習的過程中，數(shù)學語言的運動能力也就能得到發(fā)展. 當然，要注意的是，即使面臨著數(shù)學學科核心素養(yǎng)培育的需要，在數(shù)學語言理解的過程中，也不宜過于追求核心素養(yǎng)，而應當扎扎實實地理解這段數(shù)學語言. 只有理解了這段語言，核心素養(yǎng)才能有一個堅實的基礎.

■基于數(shù)學語言培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學語言是數(shù)學規(guī)律的載體，理解數(shù)學語言就是理解數(shù)學規(guī)律，對數(shù)學語言的理解，不只是讀通、讀懂文字，更需要在數(shù)學語言的基礎上建構數(shù)學理解，生成數(shù)學意義. 相應的，高中數(shù)學教學中如果從數(shù)學語言的角度促進有效教學，可以采取三個策略：奠定數(shù)學語言的體系基礎;研究數(shù)學語言與生活語言之間的聯(lián)系;設計數(shù)學語言理解的新情境. 基于這一認識，筆者進行了這樣的嘗試：

首先，給學生介紹一個典型的實例，如自由落體運動中物體的高度與下落時間的關系. 在筆者看來，這是幫學生理解數(shù)學語言的一個“錨”——一個好的例子就是一個好的錨——可以讓學生理解數(shù)學語言的時候，有一個將抽象的數(shù)學語言翻譯成形象的生活語言甚至是默會知識的載體. 因此，這樣的例子一定要讓學生非常熟悉.

其次，讓學生結合經(jīng)典例子去逐字、逐詞、逐句、逐段理解. 在函數(shù)的定義中，關鍵的詞句有“A，B是非空數(shù)集”“確定的對應關系f”“對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應”，這是三個關鍵的詞句，是函數(shù)定義的三個基石. “A，B是非空數(shù)集”如何理解？就要對應例子中的“下落時間”與“下落高度”;“確定的對應關系f”如何理解？就要結合自由落體的下落規(guī)律來理解;“對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應”如何理解？就要結合自由落體的空間位置關系與下落時間來理解. 有了這樣的對應理解，學生對函數(shù)定義中的這些語言的理解就不會感覺到抽象，也不會感覺到空洞.

再次，讓學生進行一定程度上的反思. 應當說，高中學生是具有一定反思能力的，數(shù)學語言與學習反思的關系，在于前者是后者的載體，通過對數(shù)學語言的理解與運用，既培養(yǎng)了學生的數(shù)學學習反思能力，同時又在學生學習反思的過程中，深化了對數(shù)學語言的理解，這可以使學生在后續(xù)的學習當中更加準確地運用數(shù)學語言學習新的知識，于是數(shù)學語言也就成了學生建構數(shù)學知識、提升自身數(shù)學學習能力的一個重要平臺.

特別需要強調的是，此過程中學生會生成許多生活語言，這是非常必要的. 只有學生用屬于自己的語言，也就是生活語言，去理解數(shù)學定義的時候，他們才會建立真正的認識，才能夠將新的數(shù)學知識納入原來的認知體系. 譬如學生理解函數(shù)定義，大腦中一邊回憶自由落體的表象，一邊理解函數(shù)的定義，這樣既有形象的思維對象，又有抽象的數(shù)學語言，于是數(shù)學抽象就自然發(fā)生了;理解函數(shù)離不開推理，而且必須符合邏輯，因此邏輯推理就實現(xiàn)了;最終建立起來的函數(shù)，實際上就是一種數(shù)學模型，因此數(shù)學建模的過程又有了. 從這個角度來看，理解數(shù)學語言的過程，就是數(shù)學學科核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)的過程.

■數(shù)學語言的理解就是數(shù)學的理解

在高中數(shù)學教學中，教師常常強調要形成屬于自己（學生）的數(shù)學理解，但很少有教師思考學生怎樣才能生成數(shù)學理解. 顯然，這個數(shù)學理解不是靠死記硬背實現(xiàn)的，也不是靠“題海戰(zhàn)術”實現(xiàn)的，而是對數(shù)學語言的扎扎實實的理解來實現(xiàn)的. 作為描述數(shù)學學科內(nèi)在規(guī)律的數(shù)學語言，實際上是學生數(shù)學學習的第一對象.

數(shù)學是描述自然界規(guī)律最精煉的學科，數(shù)學語言是最精練的語言，對數(shù)學語言的理解，就是對數(shù)學概念和數(shù)學規(guī)律的理解. 在數(shù)學語言理解的過程中，學生要充分形成數(shù)學表象，要理解數(shù)學語言中表現(xiàn)出來的邏輯規(guī)律，要通過系統(tǒng)的數(shù)學語言來描述大腦中的數(shù)學模型，只有建立了這些理解，數(shù)學理解才是真正實現(xiàn)了. 從這個角度來看，數(shù)學語言就是數(shù)學理解的載體，也是數(shù)學理解得以實現(xiàn)的途徑.

有人說，自然界偉大的書就是數(shù)學語言寫成的. 宇宙是永遠放在我們面前的一本大書，哲學就寫在這本書上. 但是，如果不首先掌握它的語言和符號，就不能理解它. 哲學與數(shù)學的關系極度密切，學生在數(shù)學學習的過程中能夠形成很多樸素的哲學理解，尤其是對于高中學生而言，這樣的認識是非常重要的. 如果數(shù)學教師能夠拓寬自身的教學視野，將數(shù)學教學從大量的習題訓練中解放出來，那么學生在數(shù)學學習的過程中，就可以形成許多有價值的認識，高中學生的理性思維足以幫他們形成這樣的認識.

總之，高中數(shù)學教學中，教師要重視學生對數(shù)學語言的理解與內(nèi)化，將教學建立在這個基礎上，可以起到事半功倍的效果. 而且，研究數(shù)學語言也是一個固本培元的工作，不能因為新的教學理念而忽視這一基礎.