祝敏君

[摘? 要] 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的課程設(shè)計(jì)應(yīng)該從理論研究和案例設(shè)計(jì)兩個(gè)方面進(jìn)行. 通過(guò)抽象度分析可以明確抽象對(duì)象的核心知識(shí)，并有針對(duì)性地進(jìn)行課程設(shè)計(jì). 函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，也是“函數(shù)”主線的核心內(nèi)容，更是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的重要載體. 文章通過(guò)函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)的理念進(jìn)行了具體的說(shuō)明.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);普通高中;課程設(shè)計(jì);函數(shù)單調(diào)性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出了六大核心素養(yǎng)，其中數(shù)學(xué)抽象是其中重要的組成部分. 以數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)從理論研究和教學(xué)設(shè)計(jì)兩個(gè)方面進(jìn)行思考. “函數(shù)”主線是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體，函數(shù)單調(diào)性是其中的核心內(nèi)容. 以函數(shù)單調(diào)性為主線，展開(kāi)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，具有代表性和現(xiàn)實(shí)意義.

■關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的思考

中國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治提出了數(shù)學(xué)抽象度的概念與抽象度分析法，并提出了“弱抽象”與“強(qiáng)抽象”兩個(gè)概念. 本文利用抽象度分析法對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行研究，以數(shù)學(xué)抽象為視角分析函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)涵、類型和地位，為教學(xué)設(shè)計(jì)提供有價(jià)值的參考.

由“單調(diào)性知識(shí)結(jié)構(gòu)抽象度有向圖”（圖1）可以明顯看出，單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)既是分叉點(diǎn)也是交匯點(diǎn)，抽象度的三元指標(biāo)都比較高，這意味著這兩個(gè)概念在這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)中處于最重要的地位，也表明它們是最基本和最深刻的概念，需要著重關(guān)注單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì). 其中的大部分抽象都是通過(guò)強(qiáng)抽象形成的，這是一個(gè)產(chǎn)生新知識(shí)及使抽象的數(shù)學(xué)更加貼近實(shí)際的方式. 由基本初等函數(shù)的圖像抽象出函數(shù)單調(diào)性的一般性定義，以及通過(guò)函數(shù)單調(diào)性的變化特征抽象出導(dǎo)數(shù)的定義，都是弱抽象的過(guò)程. 因此，我們有必要對(duì)抽象度最高的函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的概念的抽象過(guò)程進(jìn)行進(jìn)一步的層次分析，明確概念的抽象過(guò)程，為教學(xué)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo).

本文采用了弗萊登塔爾的“數(shù)學(xué)化”活動(dòng)的表述. 其中函數(shù)單調(diào)性的定義的抽象是水平數(shù)學(xué)化的過(guò)程，從“變化”入手的導(dǎo)數(shù)概念的抽象是垂直數(shù)學(xué)化的過(guò)程，即水平數(shù)學(xué)化后進(jìn)行的數(shù)學(xué)化，主要關(guān)注數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的運(yùn)作與層次的提升.

關(guān)注圖1中的兩組互逆的抽象結(jié)構(gòu)：函數(shù)單調(diào)性與基本初等函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù). 一方面通過(guò)熟悉的基本初等函數(shù)的圖像抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，另一方面又利用函數(shù)單調(diào)性的形式化表達(dá)抽象出范圍更廣的基本初等函數(shù)單調(diào)性，擴(kuò)大了概念的內(nèi)涵. 從函數(shù)單調(diào)性形式化的定義中的絕對(duì)變化特征逐級(jí)抽象出導(dǎo)數(shù)的定義，反之又用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，加深了對(duì)概念的理解. 可見(jiàn)，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)不是線性的過(guò)程，需要深入到具體的學(xué)習(xí)活動(dòng)中. 通過(guò)教學(xué)中合理設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、展開(kāi)教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生在多樣化的活動(dòng)過(guò)程中積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促使其形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的視域下，應(yīng)該將“函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”作為整體進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，一方面考慮導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系，即局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的聯(lián)系，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題有助于培養(yǎng)學(xué)生高層次的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);另一方面可以建立“函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”與其他相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的聯(lián)系，在實(shí)際應(yīng)用中有效地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

■基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)案例

1. 教學(xué)設(shè)計(jì)案例1：函數(shù)單調(diào)性的定義

幫助學(xué)生抽象并形成函數(shù)單調(diào)性的定義，教學(xué)設(shè)計(jì)可以采用“問(wèn)題串”的形式.

問(wèn)題1：在初中階段已經(jīng)學(xué)過(guò)一元一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次函數(shù)，請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖像，分別述說(shuō)x在哪個(gè)范圍內(nèi)變化時(shí)，y隨著x的增大而增大或者減小.

問(wèn)題2：在日常生活中，哪些函數(shù)關(guān)系具有上述特征？

問(wèn)題3：請(qǐng)你用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)上述特征. 你能正確表示出函數(shù)單調(diào)性的定義嗎？

問(wèn)題4：如圖2，f（-2）

問(wèn)題5：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上取無(wú)數(shù)個(gè)自變量的值x■，x■，x■，…，當(dāng)0

問(wèn)題6：依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)y=x-1在（0，+∞）上是遞減的，證明函數(shù)y=x+■，x∈（2，+∞）是遞增的.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：以上“問(wèn)題串”的設(shè)計(jì)遵循概念教學(xué)的一般過(guò)程，問(wèn)題1和問(wèn)題2是設(shè)計(jì)概念探究的環(huán)節(jié)，即在特定的背景下，探究概念的外延與內(nèi)涵. 在原有案例問(wèn)題的基礎(chǔ)上增加了問(wèn)題3以呈現(xiàn)概念的定義，使“問(wèn)題串”的設(shè)計(jì)更加完整，并同時(shí)給出單調(diào)區(qū)間的定義. 問(wèn)題4和問(wèn)題5通過(guò)設(shè)計(jì)非概念變式中的“反例變式”，對(duì)概念進(jìn)行多角度的辨析與理解. 問(wèn)題6是幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)連接，最終構(gòu)建概念的表征體系. 特別注意，在問(wèn)題3的探究過(guò)程中，對(duì)“任意”的理解是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn);問(wèn)題5的探究過(guò)程可以設(shè)計(jì)多個(gè)由函數(shù)單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的例題.

2. 教學(xué)設(shè)計(jì)案例2：導(dǎo)數(shù)的概念整體教學(xué)設(shè)計(jì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求通過(guò)“變化”入手進(jìn)行抽象，最終用瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)來(lái)生成導(dǎo)數(shù)的概念. 可以通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)例建立數(shù)學(xué)抽象的活動(dòng)過(guò)程，先對(duì)某一特定的研究對(duì)象（具有實(shí)際背景）抽象出導(dǎo)數(shù)的概念，而這樣的抽象形式與方法又可以在更為一般的意義上去刻畫更廣泛的能夠體現(xiàn)變化率的量. 應(yīng)該注意到，在概念逐級(jí)抽象的過(guò)程中，要適時(shí)提供合適的案例幫助學(xué)生理解概念，進(jìn)一步建立數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)，而不是為了抽象而抽象. 教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該遵循三個(gè)原則：能夠幫助學(xué)生經(jīng)歷多樣化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，并學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)式的思維;能夠發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的能力. 從“變化”的角度抽象出導(dǎo)數(shù)的概念的過(guò)程（圖4），這是一種基于現(xiàn)實(shí)與直覺(jué)的抽象，需要經(jīng)歷一個(gè)反復(fù)確認(rèn)、逐步抽象的過(guò)程. 通過(guò)具體的背景認(rèn)識(shí)概念，用直觀的過(guò)程獲得認(rèn)識(shí)，用歸納的方式形成抽象的結(jié)論，最終用符號(hào)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá). 這正是基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的課程設(shè)計(jì)的立足點(diǎn)和教育價(jià)值.

3. 教學(xué)設(shè)計(jì)案例3：“單調(diào)性—導(dǎo)數(shù)”主題教學(xué)設(shè)計(jì)

對(duì)數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)和體系的抽象是較高水平的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的要求. 在高中階段，可以利用數(shù)學(xué)的核心概念串聯(lián)相關(guān)的知識(shí)，改變知識(shí)的碎片化、表層化，用聯(lián)系同一的觀點(diǎn)看問(wèn)題，潛移默化地提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平. 學(xué)習(xí)理論的現(xiàn)代研究表明，要圍繞核心概念來(lái)組織教學(xué)，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要樹(shù)立的“整體觀”.

對(duì)于單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)這一核心知識(shí)，我們可以通過(guò)典型案例在抽象的角度厘清它們之間的內(nèi)部聯(lián)系，使其得到關(guān)聯(lián)并進(jìn)一步形成有機(jī)的整體. 在此基礎(chǔ)上分析“單調(diào)性—導(dǎo)數(shù)”與其他相關(guān)知識(shí)的外部聯(lián)系，將教學(xué)內(nèi)容模塊式地組織與構(gòu)成.

思考1：?jiǎn)握{(diào)性與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系——整體與局部.

單調(diào)性是研究函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化，即函數(shù)的整體性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)作為特殊極限開(kāi)始從局部解釋函數(shù)的性質(zhì). 高中階段是要讓學(xué)生理解：如果可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于0（小于0），則函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的. 反之，在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，遞增（遞減）函數(shù)如果有導(dǎo)函數(shù)，那么每一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)大于0（小于0）或等于0.

思考2：?jiǎn)握{(diào)性與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系——定性與定量.

一方面，通過(guò)定性分析函數(shù)的性質(zhì)，從整體上描述函數(shù)的變化來(lái)描述單調(diào)性，反映了隨著自變量的增加，函數(shù)值變大（變?。┑内厔?shì);另一方面，導(dǎo)數(shù)可以更精確地刻畫函數(shù)的變化，反映了在某一點(diǎn)函數(shù)的變化，就形成了分析函數(shù)性質(zhì)的定量方法.

例1：（1）判斷函數(shù)y=x+■在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性，并說(shuō)明它在區(qū)間上的變化是怎樣的.

（2）判斷函數(shù)y=x-■在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性，并說(shuō)明它在區(qū)間上的變化是怎樣的.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：利用導(dǎo)數(shù)工具，從定量計(jì)算的角度形成對(duì)已知函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的新認(rèn)識(shí)，而具有代表性的素材有助于課程目標(biāo)的達(dá)成. 第一個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，第二個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，在計(jì)算和比較中形成了準(zhǔn)確的抽象概念. 可以考慮在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)如果已知函數(shù)（如y=6x+sinx）每一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都大于5，那么這樣的函數(shù)的變化是怎樣的？

例2（變化的敏感性）：理解并感知“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的現(xiàn)實(shí)含義. 如y=lnx，y=2x，y=x2，y=ex在區(qū)間（0，+∞）上的變化.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：利用函數(shù)圖像感知對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，并通過(guò)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算確認(rèn)增長(zhǎng)速度的敏感性差異. 此處教學(xué)案例的選擇可以有實(shí)際的背景，如生物遺傳學(xué)中基因數(shù)據(jù)對(duì)變化的敏感性，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“邊際效應(yīng)”，等等.

思考3：“單調(diào)性—導(dǎo)數(shù)”與外部的聯(lián)系.

通過(guò)建立“單調(diào)性—導(dǎo)數(shù)”知識(shí)團(tuán)，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)是刻畫變化的數(shù)學(xué)模型，此時(shí)經(jīng)歷用單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的方法研究并解決相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程. 在學(xué)生應(yīng)用單調(diào)性解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)選擇使用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行分析，可以進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的深刻理解. 這就需要厘清“單調(diào)性—導(dǎo)數(shù)”知識(shí)團(tuán)與外部知識(shí)的聯(lián)系（圖5）.

■結(jié)論與思考

抽象是數(shù)學(xué)得以產(chǎn)生和發(fā)展的思維基礎(chǔ)，并且與數(shù)學(xué)的發(fā)展同步. 數(shù)學(xué)抽象的思維是從直覺(jué)開(kāi)始的，進(jìn)一步構(gòu)建基于結(jié)構(gòu)的理性知識(shí)，最終形成抽象結(jié)構(gòu). 基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)理應(yīng)遵循抽象的思維過(guò)程，同時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)必須要有整體的把控.

基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)要依據(jù)兩條主線進(jìn)行. 第一條主線是自上而下的，考慮對(duì)象的抽象過(guò)程與內(nèi)在邏輯，即先有理論的分析，再有教學(xué)設(shè)計(jì). 通過(guò)分析概念的知識(shí)結(jié)構(gòu)有向圖，厘清概念之間的關(guān)系和抽象過(guò)程. 進(jìn)行抽象度的分析，發(fā)現(xiàn)核心概念的地位和重要程度. 客觀地進(jìn)行分析，將經(jīng)驗(yàn)感受變?yōu)榭梢暬膱D表. 圍繞分析的結(jié)果進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)，更加科學(xué)、清晰、準(zhǔn)確. 明確數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的符號(hào)化、形式化和公理化的趨勢(shì). 第二條主線是自下而上的，體現(xiàn)在知識(shí)呈現(xiàn)的方式上，案例材料的安排上，例題、習(xí)題的配置上. 教學(xué)設(shè)計(jì)是為教學(xué)服務(wù)的，最終的落腳點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，自然要站在學(xué)習(xí)者的視角上，用“同理心”展現(xiàn)抽象思維的過(guò)程.