崔芝冬

[摘? 要] 對(duì)于核心概念的教學(xué)，教師要抓住其能夠發(fā)揮的提綱挈領(lǐng)的作用，讓學(xué)生在這些概念的學(xué)習(xí)中，既能夠通過這些概念演繹出或深度理解其他的概念;同時(shí)也能夠在這些概念的學(xué)習(xí)中，更好地理解數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，從而提升數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法. 在核心概念的教學(xué)中，要認(rèn)識(shí)其價(jià)值，首先就要站在學(xué)生學(xué)習(xí)的角度去認(rèn)識(shí)其學(xué)習(xí)價(jià)值. 在核心素養(yǎng)的背景下，要重視核心概念的教學(xué)，要以之作為打開核心素養(yǎng)培育大門的鑰匙，這是核心概念的新的意義所在.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心概念;教學(xué)理解

當(dāng)前，對(duì)于核心概念的研究開始趨熱，一個(gè)重要原因就是因?yàn)椤镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)核心概念提出了具體的觀點(diǎn). 需要注意的是，日常數(shù)學(xué)教學(xué)中所強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)核心概念，與課程標(biāo)準(zhǔn)中的核心概念并不完全相同，更多的情況下，數(shù)學(xué)核心概念是指一個(gè)擁有“核”的“概念群”，是由核心概念及其生長(zhǎng)出的子概念組成的知識(shí)體系. 在教師的教學(xué)語(yǔ)境中，核心概念往往也指這些具有核心地位的數(shù)學(xué)概念. 對(duì)于核心概念的教學(xué)，筆者以為，教師要抓住其能夠發(fā)揮的提綱挈領(lǐng)的作用，讓學(xué)生在這些概念的學(xué)習(xí)中，既能夠通過這些概念演繹出或深度理解其他的概念;同時(shí)也能夠在這些概念的學(xué)習(xí)中，更好地理解數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法，從而提升數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法.

今天的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，面臨著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的需要，在核心素養(yǎng)的背景下理解數(shù)學(xué)核心概念及其教學(xué)，對(duì)核心素養(yǎng)的培育有著重要意義. 基于這樣的理解，筆者對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心概念教學(xué)進(jìn)行了再度梳理，形成了一些具有一定超越性的認(rèn)識(shí)，在此進(jìn)行一個(gè)總結(jié).

■核心概念之于高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值

核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)通過一定的教育，讓學(xué)生生成能夠適應(yīng)社會(huì)發(fā)展與終身發(fā)展的必備品格與關(guān)鍵能力. 很顯然，學(xué)生是核心素養(yǎng)培育的中心！這樣的認(rèn)識(shí)，其實(shí)是對(duì)學(xué)生主體地位的再次確認(rèn). 在核心概念的教學(xué)中，要認(rèn)識(shí)其價(jià)值，首先就要站在學(xué)生學(xué)習(xí)的角度，去認(rèn)識(shí)其學(xué)習(xí)價(jià)值. 當(dāng)然，在立足于學(xué)生視角之前，還要從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度認(rèn)識(shí)核心概念的教學(xué)意義.

從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來看，一般認(rèn)為掌握好核心概念是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的前提和基礎(chǔ)，因此，教師在教學(xué)中要吃透教材，認(rèn)真研究，使學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)核心概念的價(jià)值. 美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納說：“掌握一門學(xué)科，就是要掌握這門學(xué)科核心的、根本的概念.”數(shù)學(xué)家波利亞在《如何解題》中指出：“當(dāng)你不能解決一個(gè)問題時(shí)，不妨回到定義上去.”顯然，波利亞這里所說的“回到定義”并非所有數(shù)學(xué)概念的定義，而是指具有核心地位的數(shù)學(xué)概念;同時(shí)，這樣的一個(gè)論斷，所給出的教學(xué)啟發(fā)則是：數(shù)學(xué)核心概念不僅具有概念聯(lián)結(jié)的作用，同時(shí)也具有提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤其是概念學(xué)習(xí)品質(zhì)的作用.

從學(xué)生的角度來看，數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)，更多的應(yīng)當(dāng)立足于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)的角度去設(shè)計(jì)并實(shí)施. 從這個(gè)角度來看，核心概念的確定途徑是多元的，既可以從數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系角度去認(rèn)定核心概念，最典型的如“函數(shù)”，其上聯(lián)集合，下聯(lián)多種函數(shù)，從數(shù)學(xué)思想和方法上還關(guān)聯(lián)著數(shù)形結(jié)合等，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中最具典型意義的核心概念;同時(shí)，還可以從促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的角度去界定核心概念，如“函數(shù)的零點(diǎn)”這一概念，雖然從概念體系的角度來看，該概念的地位并不顯赫，但從學(xué)生理解函數(shù)以及函數(shù)與方程的關(guān)系的角度來看，又起著聯(lián)結(jié)函數(shù)與方程的關(guān)系的作用，因而也可以以之為核心概念來促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí).

因此，綜合以上觀點(diǎn)可以得出的一個(gè)結(jié)論就是：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中核心概念的確定，更多的可以以概念的聯(lián)系為研究出發(fā)點(diǎn)，以概念學(xué)習(xí)中學(xué)生的思維品質(zhì)的提升為落腳點(diǎn)來確定核心概念的教學(xué).

■基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要的核心概念教學(xué)

既然明確了核心概念的教學(xué)要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)需要而進(jìn)行，那么在具體的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)如何組織并實(shí)施教學(xué)呢？

以上面“函數(shù)的零點(diǎn)”的教學(xué)為例，可以進(jìn)行這樣的分析：從概念地位的角度來看，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，“函數(shù)與方程”是函數(shù)一章繼指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)三種重要函數(shù)模型后的函數(shù)思想和方法的具體應(yīng)用，主要涉及函數(shù)零點(diǎn)的概念和零點(diǎn)存在定理. 在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)零點(diǎn)概念和定理的理解的深刻性不夠，綜合應(yīng)用困難較大. 基于這一教學(xué)現(xiàn)狀，在實(shí)際教學(xué)中，可以先設(shè)計(jì)一個(gè)讓學(xué)生求方程的實(shí)數(shù)根的教學(xué)環(huán)節(jié)，如讓學(xué)生求x-1=0，x2-2x-3=0，2x-2=0，lnx+2x-6=0的根. 對(duì)于學(xué)生而言，這是一個(gè)由易至難，且挑戰(zhàn)性整體不大的環(huán)節(jié)，學(xué)生在解題的時(shí)候即使不能完全迅速地得出結(jié)果，也能夠根據(jù)此前積累的解題經(jīng)驗(yàn)去建立解題思路.

其后，基于數(shù)形結(jié)合思想，向?qū)W生提出問題：從形式上來看，函數(shù)與方程之間存在著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，那么方程的求解與函數(shù)之間可能存在什么樣的關(guān)系呢？這個(gè)問題提出之后，讓學(xué)生先思考一會(huì)兒，然后教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行梳理，梳理的方向主要就是方程與函數(shù)的聯(lián)系. 此過程仍然應(yīng)當(dāng)遵循由易至難的順序. 如方程x-1=0與函數(shù)y=x-1，從解方程的角度來看，可以得出x=1，而從函數(shù)的角度來看，y=x-1所對(duì)應(yīng)的圖像上會(huì)出現(xiàn)（1，0）這個(gè)點(diǎn). 在通過第二個(gè)例子演繹之后，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系上，函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是所對(duì)應(yīng)的方程的解. 如圖1、圖2分別為y=x-1，y=x2-2x-3的圖像.

在此基礎(chǔ)上，幫學(xué)生建立“函數(shù)的零點(diǎn)”的概念：對(duì)于函數(shù)y=f（x），把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn). 教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生剛開始接觸這個(gè)表述的時(shí)候，都感覺自己是聽得明白的，但這時(shí)教師不能大意，不能認(rèn)為所有學(xué)生真的完全理解了這個(gè)概念. 筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)是，此時(shí)幫學(xué)生建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，是深化概念理解，從而發(fā)揮“函數(shù)的零點(diǎn)”核心概念作用的關(guān)鍵. 筆者在教學(xué)中，給學(xué)生呈現(xiàn)了這樣的一個(gè)板書（如下）：

函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)？圳方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

事實(shí)證明，通過這樣的關(guān)系呈現(xiàn)，學(xué)生能夠更好地理解函數(shù)的零點(diǎn). 其后，教師還要賦予學(xué)生一個(gè)空間，讓他們思考“函數(shù)的零點(diǎn)”這個(gè)概念是如何建立起來的. 在筆者的課堂上，聽到了學(xué)生這樣的總結(jié)：“在此前的學(xué)習(xí)中，我（學(xué)生自己）就感覺到函數(shù)與方程肯定存在著聯(lián)系，因?yàn)榉匠膛c函數(shù)的解析式中，最核心的那部分都是一樣的. 但很長(zhǎng)的一段時(shí)間里，我都認(rèn)為方程就是方程，函數(shù)就是函數(shù). 通過今天的學(xué)習(xí)，我終于豁然開朗了，原來兩者之間的聯(lián)系是如此的密切.”還有一個(gè)學(xué)生說道：“我發(fā)現(xiàn)我們所學(xué)的函數(shù)的零點(diǎn)，其實(shí)并不是完全指一個(gè)點(diǎn)，它應(yīng)該是指一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)在方程中是以方程的解的形式出現(xiàn)的，即函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是使f（x）=0的實(shí)數(shù)x的值，在函數(shù)中是以函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)出現(xiàn)的. ”還有學(xué)生補(bǔ)充到：“我發(fā)現(xiàn)一個(gè)比較有意思的現(xiàn)象，那就是在‘函數(shù)的零點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，我再次發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的“數(shù)”與“形”的關(guān)系是十分密切的……”

學(xué)生的這些認(rèn)識(shí)表明，他們?cè)诶斫狻昂瘮?shù)的零點(diǎn)”這一概念的時(shí)候，已經(jīng)進(jìn)行了深度加工. “函數(shù)的零點(diǎn)”這一概念，不僅讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到了方程與函數(shù)的關(guān)系，還為學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想提供了一個(gè)新的契機(jī)，學(xué)生所形成的認(rèn)識(shí)也可以順利地遷移到其他情形中.

■關(guān)于數(shù)學(xué)核心概念的宏觀理解與微觀實(shí)施

基于類似于上述案例的多個(gè)教學(xué)實(shí)踐過程的分析，筆者以為，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于核心概念去實(shí)施教學(xué)，可以從宏觀與微觀兩個(gè)層面促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展. 從宏觀層面來看，數(shù)學(xué)核心概念的確立、組織和呈現(xiàn)方式反映了一個(gè)國(guó)家數(shù)學(xué)課程、教材的主要特點(diǎn)，這個(gè)特點(diǎn)體現(xiàn)到數(shù)學(xué)教學(xué)的具體過程中，就是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建立;從微觀層面來看，則培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提升了學(xué)生解決問題的能力，進(jìn)而為核心素養(yǎng)的培育奠定了基礎(chǔ).

上面提到的“函數(shù)的零點(diǎn)”的概念建立之后，求函數(shù)零點(diǎn)的方法其實(shí)也就水到渠成了，無論是方程法還是圖像法，都成了學(xué)生思維自然的產(chǎn)物. 其后，在探究“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”的時(shí)候，學(xué)生的思維也更加清晰了，比如有數(shù)個(gè)學(xué)生明確提出了可以基于數(shù)形結(jié)合的思路，去建立起相關(guān)的認(rèn)識(shí). 有學(xué)生總結(jié)出來：“如果一個(gè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間[a，b]上的圖像，只要滿足了f（a）·f（b）<0，那么這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)肯定就有零點(diǎn).”這樣的說法與準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)幾乎就是一步之遙了. 如此迅速地尋找到正確的結(jié)論，筆者以為與此前“函數(shù)的零點(diǎn)”的概念建立的過程有關(guān)，正是因?yàn)榇饲暗木庸み^程，使得學(xué)生在概念建立的過程中，建立了豐富的、正確的表象，從而保證了后續(xù)學(xué)習(xí)過程的高效. 從核心素養(yǎng)培育的角度來看，這也是能力的遷移，是核心素養(yǎng)落地的初步體現(xiàn).

總之，在核心素養(yǎng)的背景下，要重視核心概念的教學(xué)，要以之作為打開核心素養(yǎng)培育大門的鑰匙，這是核心概念的新的意義所在.