唐金波 林丹

[摘? 要] 數學核心素養(yǎng)是在數學的學習和探索過程中形成的，具有持久性和綜合性.文章基于核心素養(yǎng)下的課堂實踐，結合核心素養(yǎng)有效的形成過程，以高三一輪復習課的探究性學習為載體，具體探究了在高中數學課堂中發(fā)展學生核心素養(yǎng)的過程和方法.

[關鍵詞] 數學核心素養(yǎng);探究性學習;提出問題;解決問題

隨著新課改的深入，課程理念提出了全面發(fā)展學生的核心素養(yǎng). 《普通高中數學課程標準（2017年版）》將高中數學核心素養(yǎng)定義為：具有基本數學特征、適應個人終身發(fā)展的人的思維品質與關鍵能力，其中數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算、數學建模和數據分析被確定為高中學生的六大核心素養(yǎng)[1]. 同時課程標準也指出：數學教學應創(chuàng)設合理的問題情境，引導學生主動、積極探究的學習方式，力求通過不同形式的探究性活動，讓學生經歷數學的再創(chuàng)造過程，讓學生體驗發(fā)現、創(chuàng)造的樂趣. 實踐表明：數學的探究性學習是有效教學，是構建高效課堂的重要途徑，它有助于發(fā)展學生的核心素養(yǎng)和提升數學思維品質，有助于培養(yǎng)學生發(fā)現問題、提出問題和解決問題的能力.

數學核心素養(yǎng)應該是融入日常的課堂之中的. 我們如何構建課堂的內容和形式進而有效培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)，是廣大數學教師關注的焦點和核心問題. 結合上面的思考，筆者針對自己對新課標的學習和理解，加上長期從教于高三的數學教學，并進行了多次探索，頗有一些收獲和感悟. 下面是筆者所執(zhí)教的一節(jié)高三一輪復習課“正、余弦定理在解三角形中的應用”的部分教學實錄以及啟示，以期為同仁們提供參考和幫助.

■背景與意圖

1. 授課背景

本課是高三一輪復習課，授課對象的學生數學基礎較好，課堂氛圍活躍，有較強的自主學習能力，喜歡思考問題和提出問題.

2. 設計意圖

本課是以探究性學習的形式設計和實施教學內容，從不同的視角探究如何運用正弦、余弦定理解決平面圖形中求值和求范圍的問題. 我們的設計理念是：在問題的探究中培養(yǎng)學生邏輯推理、觀察分析、數學運算、轉化與化歸的能力.

■課堂實錄

1. 提出問題，引發(fā)數學探究

師：之前我們學習了在一個三角形中利用正弦、余弦定理解三角形的問題，這節(jié)課我們要探究平面幾何圖形中解三角形的問題. 請同學們就下面解三角形的問題展開研究，從不同的角度解決問題和提出新的問題. （投影問題）

問題：在△ABC中，AD是BC邊上的中線且AD=1，若∠BAC=60°，AC=■，求AB的值.

學生開始思考、討論.

評析：學生數學核心素養(yǎng)的形成依賴于數學活動經驗的積累，因此教學設計中，創(chuàng)設合適的情境，提出富有思維深度和有探究價值的數學問題，啟發(fā)學生獨立思考，鼓勵與他人交流，掌握知識技能的同時理解數學的本質. 知識、方法問題化，以問題來理解知識的本質，是我們有效教學的策略. 學生是課堂的主體，只有讓學生充分地、有效地參與，尤其是學生的思維參與，才能有效地培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng).

2. 突出本質，開拓數學視野

師：研究近幾年全國卷高考真題，我們發(fā)現解三角形問題有一部分是以多個三角形的平面幾何圖形為背景的. 在問題所給的幾何圖形中，如果我們抓住一些三角形的邊角關系，就能解決問題. 同學們有哪些想法呢？

生1：在△ABC中，設AB=c，BC=a，由余弦定理可得a2=c2+（■）2-2■·ccos60°，化簡得a2=c2-■c+3①. 注意到∠ADB與∠ADC互補，余弦值互為相反數，即cos∠ADB=-cos∠ADC，于是在兩個小三角形中由余弦定理可得■=-■，從而a2=2c2+2②. 由①②得 c=■，因此AB=■.

師：表達得很清楚，觀察到了兩角互補在不同的三角形中利用余弦定理建立方程組，從而解決問題. 還有其他的方法嗎？

生2：我也是通過方程組來解決的，可以把∠B（或∠C）放在兩個不同的三角形中利用余弦定理求出，即cosB=■=■，化簡得a2=2c2+2，接下來同生1.

師：上面兩位同學都是通過建立方程組解決問題，而建立方程的方法是在不同的三角形中應用余弦定理，同時注意到兩角互補、同一個角（或同一條邊）可以放在不同的三角形中應用. 重新分析問題發(fā)現，已知三角形中三個獨立的條件可以求值，但此問題的三個條件不在同一個三角形中，能否利用轉化與化歸的思想把這三個條件轉化到同一個三角形中呢？

生3：如圖2，構造平行四邊形ABEC，由平行四邊形的性質知，∠ACE=120°，AE=2，AC=■，直接在△ACE中利用余弦定理解出CE=AB. （此時教室里一片掌聲）

師：你是怎么想到構造平行四邊形的？

生3：我注意到AD是中線，就聯想到了平行四邊形. 經過一番嘗試，從而將條件轉化到了一個三角形中，應用余弦定理建立一個方程得到了答案.

生4：我也是利用轉化的想法，由中點聯想到中位線. 如圖3，作AB的中位線DF，在△ADF中利用余弦定理得出答案.

師：很好，生3、生4運用模型的思想經過探究和構造，將條件轉化到同一個三角形中來解決問題，體現了轉化和化歸的數學思想.

生5：我是利用向量求出的，由于AD是中線，則2■=■+■，兩邊同時平方得4=c2+3+■c……

生6：由于△ABC的一個角是已知的，我考慮通過建立平面直角坐標系的方法來研究，以下是我的解法：建立圖4所示的直角坐標系，設B（c，0），由AC=■，可得C■，■，于是D■+■，■. 因為AD=1，所以■+■2+■=1，即c=■.

教室里出現了洪亮的掌聲，學生感受到了數學思維的深刻，只要勇于思考就能找到簡潔優(yōu)美的方法，同時也感悟到了數學的美和學習數學的樂趣.

師：非常好，生5利用向量等式兩邊同時平方，將向量等式轉化為邊角的數量關系. 這一思想體現了向量在解三角形中的應用. 生6通過建立坐標系，得到了AB長度的表達式，解法非常簡潔. 說明只要我們用心深入探究，就會有新的發(fā)現和新的收獲.

評析：著名的數學教育家G.波利亞說過：“觀察可能導致發(fā)現，觀察將揭示某種規(guī)律、模式或定律.”這句話啟示我們：要想學會數學，加強數學能力，就需要觀察，從不同的角度去思考，發(fā)現問題，探索問題的規(guī)律性. 教師在教學中要充分發(fā)揮引領者的作用，給他們創(chuàng)造條件，從問題的不同角度和方法進行探究. 這是數學思維的本質，是理解知識、解決問題、發(fā)現問題的關鍵，也是有效落實核心素養(yǎng)的一種途徑. 上面的探究活動，就是教師創(chuàng)設合適的情境幫助學生從不同的視角去理解三角形中最基本、最本質的東西. 通過從代數（方程、方程組、坐標）和幾何（轉化到一個三角形中）的角度，建立起求解的模型，發(fā)現解決問題的方法，點燃了數學思維的火花.

3. 類比拓展，深化探究學習

師：剛才我們已經研究了中線的問題，你能通過類比，提出并探究新的問題嗎？

生7：我提出兩個問題：（1）將D點改為BC邊上的三等分點，其他條件不變，探究如何求AB的值;（2）將中線AD改為BC邊上的高，其他條件不變，探究如何求AB的值.

生8：我將中線AD改為∠BAC的角平分線，其他條件不變，探究如何求AB的值.

評析：教師沒有直接給出問題，而是引導學生通過類比提出新的問題，以培養(yǎng)學生發(fā)現問題、提出問題的能力.

師：對于將D點改為BC邊上的三等分點的問題，我們可以仿照前面的幾種解法，不難得出答案. 接下來我們先從高的問題開始探究.

生9：我研究了生7提出的第二個問題，我的解法如下：在△ABC中，設AB=c，BC=a，由余弦定理得a2=c2+（■）2-2■ccos60°，化簡得a2=c2-■c+3①. 又AD是BC邊上的高，由等面積法可得■AB·AC·sin60°=■BC·AD，化簡得a=■c②. 由①②得？搖c=■，進而得到結果.

師：很好，利用等面積法和方程組，輕松地解決了問題，體現了條件基本的用法.

生10：我研究了生8提出的問題，如圖5所示，在△ADC中，由余弦定理得DC2=1+3-2■cos30°=1，即DC=1，從而∠ACD=30°，∠ADB=60°，于是∠ABD=90°，因此AB=AD·sin∠ADB=■.

師：從給出的已知數據的角度來說，可以把問題分為求值和求取值范圍. 我們知道，已知三角形中三個獨立的條件可以求值，如果只已知三角形中兩個獨立的條件呢？請同學們通過研究，提出并探究新的問題.

生11：我提出下面兩個問題：已知AD是BC邊上的中線，若∠BAC=60°，AD=1，（1）求△ABC面積的最大值;（2）求△ABC周長的最大值.

評析：在教師的引導下，學生通過減少已知條件，將確定性問題轉化為求最大值的問題. 而三角形中的面積和周長是聯系邊、角關系基本的要素，通過轉化的思維創(chuàng)造性地提出新的問題，這些問題既合情合理，又具有深度，更重要的是在深刻理解三角形本質的基礎上，充分發(fā)揮研究數學、做數學等核心素養(yǎng).

師：這兩個問題的提出讓我們眼前一亮，自己要提出新的數學問題并不是那么難. 這兩個問題是如此的簡潔和深刻，體現了數學的簡潔美. 本節(jié)課我們先研究三角形面積的問題，周長的問題留給大家課后探究.

生12：如圖6，在△ABC中，設AB=c，BC=a，AC=b，由余弦定理得a2=b2+c2-bc①;因為cos∠ADB=-cos∠ADC，所以a2=2b2+2c2-4②. 由①②得bc=4-（b2+c2），由基本不等式知bc≤■，當且僅當“b=c”時取等號. 所以△ABC的面積S=■bcsin60°=■bc≤■，當b=c=■時△ABC的面積取最大值■.

生13：我也是利用基本不等式的方法，但是我運用了向量解法更加簡潔. 我的解法是：2■=■+■，兩邊同時平方得4=b2+c2+bc，由基本不等式得3bc≤4，下面的步驟同生12.

師：非常精彩，剛才兩位同學都是通過基本不等式來理解問題，但是從不同的角度（一個是方程組，一個是向量）來構建不等式模型，使問題得到了解決.說明我們只有掌握方法的本質，就有新的發(fā)現和收獲.

生13：我還有一種處理方法，如圖7，作平行四邊形，則∠ABE=120°，AE=2，設∠BAE=α，∠BEA=β. 在△ABE中，由正弦定理得■=■=■=■，b=■sinα，c=■sinβ，α+β=60°. 所以S=■bcsin60°=■bc=■sinαsinβ=■sinαsin■-α=■sin2α+■-■. 因為α∈0，■，所以2α+■∈■，■，利用三角函數求出最大值.

生14：根據生13的方法，我可以得到更簡單的做法. 易知△ABC的面積等于△ABE的面積，在△ABE中已知一個角和其對邊，則它的外接圓是確定的，點B在劣弧AE上運動，當B在最高點時，即△ABE是頂角為120°的等腰三角形時，△ABE的面積最大為■.

同學們興奮起來了……

生15：我受之前同學的啟發(fā)，通過建立平面直角坐標系的方法來研究，以下是我的解法：建立圖8所示的直角坐標系，因為AD=1，可知點D在以A為圓心、半徑等于1的圓上，由圓的參數方程可設D（cosθ，sinθ），由題意得C■sinθ，2sinθ，B2cosθ-■sinθ，0，AC=■sinθ，AB=2cosθ-■sinθ，故S=■AC·ABsin60°=■sin2θ+■-■，下面的做法同生14.

此時教室里出現了掌聲，同學們感覺非常的振奮，完全是在享受探究問題的樂趣.

師：這兩位同學分別從不同的角度思考問題，不同解法的提出源于他們對問題的觀察和對模型深刻的理解. 生13運用補形將問題轉化為我們最基本的三角形模型：已知一角和對邊，這是解決問題的關鍵. 生15通過建立直角坐標系，運用軌跡的思想將AD=1的靜態(tài)問題理解為點D在圓弧上運動的軌跡，彰顯了靜中有動的數學理性精神.

評析：開放性的教學，引導學生發(fā)現問題和提出問題是有效落實核心素養(yǎng)的關鍵，也是提高學生對數學學習興趣的重要途徑. G.波利亞說過：“提出問題比解決問題更重要.”這句話啟發(fā)我們：要想加強數學能力，就要善于思考，去發(fā)現問題、提出問題，探索問題的根源和規(guī)律. 作為教師，就是要在必要的時候對學生加以引導，放手讓學生去探究，體會知識的本質.以上的探究過程，是教師創(chuàng)設條件，幫助學生學習數學抽象、數學運算、數學建模的過程，核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng).

■結語

探究性學習是指學生親身經歷提出問題和解決問題的學習過程[2]. 筆者認為，重視探究性學習是對傳統數學學習認識上的一個提升，不僅有利于形成“四基”，也是提高“四能”的有效手段，還是落實“三會”（會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界）的重要途徑，更是培養(yǎng)數學核心素養(yǎng)具體實踐的方法，對學生的可持續(xù)發(fā)展具有重大意義.

問題是知識的載體，問題是數學的心臟，一切思維都是從問題開始的. 教學中教師要精心設計有探究價值的問題背景供學生研究，但是很多時候教師給出的問題背景，學生往往不能很好地進行探究，所以選擇合適的素材和合理的情境是探究性學習的前提[3]. 素材可來源于一些具有拓展性的、典型性的基本問題和基本結論，也可以是教材的例題、課后習題、探究思考以及一些高考題. 此時教師還應搭建研究平臺，讓學生充分參與思考和討論，引導學生從不同的角度去觀察和分析，讓問題在學生的最近發(fā)展區(qū)內，創(chuàng)造機會使得學生從中發(fā)現新的問題，提出新的問題. 本課能取得比較好的效果得益于：學生比較活躍，勇于表達自己的想法，他們已經初步掌握了高中所學的知識，有了一定的數學探究意識，積累了一些數學學習經驗. 采用探究性學習的方式對問題進行拓展，對學生的學習方式和能力的提高具有良好的示范.本課的探究主要分為兩個方面：一是靜態(tài)地求值，通過從不同的視角探究、解決問題，同時又提出新的問題;二是動態(tài)地求最大值，從不同的角度構建基本不等式、函數、軌跡等基本數學模型，彰顯了動靜結合的數學之美.

實踐證明：教師創(chuàng)設有效的問題情境，有意識地培養(yǎng)學生探究性學習的能力，多留給學生發(fā)現問題和提出問題的機會，多讓學生去表達自己的想法和見解. 長期下來，學生的數學核心素養(yǎng)也就得到了落實和發(fā)展. 這大概就是探究性學習的教育價值所在.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 蔡欣.探究性學習的實踐與感悟——以一道課本習題為例[J]. 數學通報，2018，57（05）.

[3]? 董榮森. 讓探究成為數學課堂的常態(tài)[J]. 數學通報，2014，53（01）.