龐舒勤

[摘 要]為了發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，幫助他們真正為自己而學(xué)，踐行“教材只是一個例子”，實(shí)現(xiàn)“用教材教”而非“教教材”，使教與學(xué)不受限于文本的章回，學(xué)生的發(fā)展不受制于成人的視野，教師要領(lǐng)著學(xué)生回到離數(shù)學(xué)被發(fā)現(xiàn)、被發(fā)明最近的歷史點(diǎn)，使學(xué)生以一種相對原始的方式“裸”學(xué)，以一種相對完整的方式“研”學(xué)，更為重要的是在此過程中幫助學(xué)生形成一定的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法。

[關(guān)鍵詞]前置獨(dú)立研究;意義建構(gòu);深度學(xué)習(xí)

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）29-0001-05

弗賴登塔爾曾表示：“沒有一種數(shù)學(xué)觀念像當(dāng)初被發(fā)現(xiàn)那樣得以表述。一旦問題獲得解決，一種技巧得到了發(fā)展和使用，就會轉(zhuǎn)向解的程序側(cè)面……火熱的發(fā)現(xiàn)變?yōu)楸涞拿利悺！?/p>

囿于各種因由，數(shù)學(xué)相關(guān)教學(xué)內(nèi)容在書本上只能以“冰冷的美麗”存在。因?yàn)楸憬?、?quán)威、慣性等因素，教師很多時候習(xí)慣于直接按照教材和教參設(shè)計(jì)教學(xué)，忽略被文本所掩蓋的鮮活和生命。久而久之，教學(xué)內(nèi)容徘徊在既定范圍，教與學(xué)的過程受困于編寫者的設(shè)計(jì)軌跡，學(xué)生的學(xué)習(xí)更似“復(fù)制粘貼”，功利、直白、固化、單一，一如張奠宙教授所言——鮮活的思想被淹沒在形式演繹的海洋里。

如何發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，幫助他們真正為自己而學(xué)？如何踐行“教材只是一個例子”，實(shí)現(xiàn)“用教材教”而非“教教材”？教與學(xué)如何不受限于文本的章回，學(xué)生的發(fā)展如何不受制于成人的視野？對此，教師有義務(wù)和責(zé)任領(lǐng)著學(xué)生回到離數(shù)學(xué)被發(fā)現(xiàn)、被發(fā)明最近的歷史點(diǎn)，拋開一切看似已有的先知，使學(xué)生以一種相對原始的方式“裸”學(xué)，以一種相對完整的方式“研”學(xué)，幫助學(xué)生真正以“主人”的姿態(tài)“直接”面對甚至“親手”造就學(xué)習(xí)對象，并在此過程中逐步形成一定的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法。也就是說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及教師的數(shù)學(xué)教學(xué)都應(yīng)該是有使命的。

一、什么是“前置獨(dú)立研究”

（一）對“獨(dú)立”的理解

在百度上搜索“研究性學(xué)習(xí)” ，相關(guān)詞條有一千四百多萬個;搜索“前置研究”，相關(guān)詞條有三百二十多個;搜索“前置獨(dú)立研究”，沒有給定答案。

對于“前置獨(dú)立研究”中的“獨(dú)立”，有三個層面的理解與思考：

其一，學(xué)生“零起點(diǎn)”。相當(dāng)一部分學(xué)生有這樣的學(xué)習(xí)日常：被知道、被規(guī)劃、被學(xué)習(xí)。學(xué)生身邊充斥著各類“教師”和各式各樣的“課堂”，學(xué)生被催著、促著，在課外一定程度甚至相當(dāng)程度“提前學(xué)習(xí)”相應(yīng)學(xué)科課程甚至學(xué)科拓展課程。學(xué)校存在的必要性在哪里？

其二，教學(xué)“按慣性”。教師手邊有較為全面的教輔——教材、教參、設(shè)計(jì)詳案，網(wǎng)絡(luò)可以搜索到多版本教學(xué)案例設(shè)計(jì)甚至示范課視頻。大多數(shù)教師直接參考和參照已經(jīng)習(xí)以為常，久而久之形成慣性和依賴。無論是日常課還是公開課、賽課，教師習(xí)慣撰寫詳案，設(shè)計(jì)“套路”，雖然也在轉(zhuǎn)換視角，提出“自主學(xué)習(xí)” “個性發(fā)展” ，但基本還是在既定的“劇本”下按部就班。學(xué)科教學(xué)的價值在哪里？教師角色的意義在哪里？

其三，學(xué)習(xí)過程“非獨(dú)立”。在教師的設(shè)計(jì)里，在家長的催促下，在成人的過度干預(yù)中，學(xué)生幾乎沒有個體化的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)機(jī)會，學(xué)習(xí)經(jīng)歷往往只是“表演性體驗(yàn)”。這樣的學(xué)習(xí)真實(shí)嗎？有深度嗎？有價值嗎？

（二）對“前置獨(dú)立研究”的理解

于小學(xué)數(shù)學(xué)而言，前置獨(dú)立研究，是指將學(xué)習(xí)任務(wù)“前置”于課前，以“研究”的視角定位小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。利用“學(xué)前研究任務(wù)”，幫助學(xué)生拋開“先知”，展開最原始的觀察、思考和發(fā)現(xiàn)，以一種“思維再造”的方式，經(jīng)歷知識的完整建構(gòu)過程，從根源處出發(fā)，形成真正而完整的數(shù)學(xué)理解;引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注對數(shù)學(xué)概念、理論、方法以及形態(tài)的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律的探尋，著力重塑關(guān)乎數(shù)學(xué)認(rèn)知的本初思考，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)規(guī)律性的認(rèn)識。

前置獨(dú)立研究，試圖將學(xué)生重塑為初始階段就發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“數(shù)學(xué)家”，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)化為一段段“創(chuàng)生之旅”，關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的新鮮感、期待值、好奇心以及積極的學(xué)習(xí)情緒，促進(jìn)學(xué)生形成一定的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法。

前置獨(dú)立研究觀照下的“教”秉持“獨(dú)立”的教材觀、教師觀和教學(xué)觀，“學(xué)”提倡自然而深入，且學(xué)習(xí)過程不失生命和靈魂。

（三）“前置獨(dú)立研究”的實(shí)施

1.結(jié)構(gòu)及原則

前置獨(dú)立研究，關(guān)注知識本源、學(xué)習(xí)起點(diǎn)以及教學(xué)源頭，尊重學(xué)習(xí)源流以及認(rèn)知漸進(jìn)嬗變的過程：課時教學(xué)“主問題”為舵，課堂知識一體化;單元教學(xué)“知識點(diǎn)”結(jié)網(wǎng)，單元知識統(tǒng)整化;條線教學(xué)“相關(guān)內(nèi)容”成鏈，領(lǐng)域知識序列化。

課標(biāo)為綱。課程標(biāo)準(zhǔn)是國家對學(xué)生接受一定教育階段之后的結(jié)果所做的具體描述，是國家教育質(zhì)量在特定階段應(yīng)達(dá)到的具體指標(biāo)。它是教材、教學(xué)和評價的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，是“前置獨(dú)立研究”實(shí)施的綱本。

教材為例。教材具有相當(dāng)?shù)南戎?、示范性、引領(lǐng)力和借鑒力，前置獨(dú)立研究中以多版本教材作為教師設(shè)計(jì)教學(xué)的重要參考資源，但更重要的是，基于“前置獨(dú)立研究”的課堂，更注重生本學(xué)習(xí)資源的發(fā)掘，注重開發(fā)與現(xiàn)行教材并行的以學(xué)生再創(chuàng)造的素材編撰的“生本教材”。

2.打開方式

個人建構(gòu)。課前，學(xué)習(xí)目標(biāo)被設(shè)計(jì)成“前置獨(dú)立研究任務(wù)”，以特殊數(shù)學(xué)作業(yè)的身份介入學(xué)生的學(xué)習(xí)世界，由每一個學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立的“學(xué)前期”個人建構(gòu)。

群體交互。課堂中，用對話的方式，教與學(xué)以交換思想為目標(biāo)展開，以學(xué)“喚”教，以教“促”學(xué)。

學(xué)生層面：2個人——在學(xué)習(xí)小組內(nèi)充分表達(dá)自己對主題的探究方法、過程、策略，提出觀點(diǎn)或猜想 ;3小組（小型學(xué)習(xí)共同體）——逐一納入每一個學(xué)生的獨(dú)到見解，異中求同，同中尋異;1班級（大型學(xué)習(xí)共同體）——揉合各組見解，關(guān)注不同觀點(diǎn)，認(rèn)同、質(zhì)疑、補(bǔ)充或是進(jìn)一步思考，逐步明晰學(xué)習(xí)目標(biāo)建構(gòu)的核心關(guān)鍵。

教師層面：適時進(jìn)行教學(xué)“干預(yù)”。鼓勵表達(dá)：關(guān)注“兩頭”抓“中段”，盡力關(guān)注每一類學(xué)生的學(xué)習(xí)需求、學(xué)習(xí)進(jìn)展以及群體學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的新的思維生長點(diǎn)和方向。尊重個體差異：盡可能第一時間對每一類觀點(diǎn)的思維本質(zhì)做出判斷并快速給予反應(yīng)，洞悉差異背后的價值點(diǎn)。時機(jī)點(diǎn)處及時介入學(xué)習(xí)，令學(xué)生思考深入，適時促發(fā)更深層次的學(xué)習(xí)機(jī)會，生成新的研究主題，時刻準(zhǔn)備展開新一輪“前置獨(dú)立研究” 。

個體重建。通過“個人建構(gòu)”和“群體交互”兩個階段，學(xué)生基于自己的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，融入對某一學(xué)習(xí)目標(biāo)深入研究的能量蓄積到了一定的程度，學(xué)習(xí)自然往縱深發(fā)展，新一輪的質(zhì)疑、猜想、再創(chuàng)造呼之欲出，每一位學(xué)生的原有知識結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，新一輪學(xué)習(xí)循環(huán)開始。

3.實(shí)施要素

兒童先行。展開“前置獨(dú)立研究”時，常常將課堂的學(xué)習(xí)目標(biāo)和對象設(shè)計(jì)成諸如“你覺得物體的表面積指的是什么？請?jiān)O(shè)計(jì)作品佐證你的觀點(diǎn)?！薄拔矬w的體積和容積到底有什么不一樣？請?jiān)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)說一說你是怎么想的?！边@樣有張力的研究問題或任務(wù)，先于成人“教給”之前，讓兒童與學(xué)習(xí)對象直接面對。這樣，就區(qū)別于形式上的重復(fù)操練、時間上的局促、空間形式上的單一，尊重并呵護(hù)每位學(xué)生的直接理解，確保每一位學(xué)生的獨(dú)立思考和主體體驗(yàn)，最大限度地保證學(xué)生不受他人思想的影響，以主觀表達(dá)性作業(yè)確保每一位學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位。

思維可視化?！扒爸锚?dú)立研究”允許學(xué)生在為了說清楚自己的觀點(diǎn)或想法時，可用畫一畫、做一做、寫一寫等方式，充分尊重不同個體獨(dú)特的思維方式和思考策略。因?yàn)椤翱梢暬?，教師更加清楚每一個學(xué)生對于研究對象的認(rèn)知度，可以為教學(xué)的展開提供更加豐富的素材，能保證教與學(xué)往更有價值的方向展開。

前置與獨(dú)立?！扒爸锚?dú)立研究”強(qiáng)調(diào)“前置”“獨(dú)立”，完成研究性作業(yè)時，要求學(xué)生不翻看書本、不參考標(biāo)準(zhǔn)答案，鼓勵形式不拘、大膽求索、想象創(chuàng)新。學(xué)生帶著各自獨(dú)特經(jīng)驗(yàn)直接與客觀世界對話，自然會出現(xiàn)不同程度的認(rèn)知落差，而不平衡將能更好地助推學(xué)生心智發(fā)展。這樣“自傳式”的學(xué)習(xí)經(jīng)歷是學(xué)生能更好地發(fā)現(xiàn)自我的重要保證。

對話與干預(yù)。關(guān)注“兒童先行” “思維可視化” “前置與獨(dú)立”的課堂，學(xué)生成為基于“學(xué)習(xí)目標(biāo)”、從他概念世界出發(fā)、“有思想”的自變量，課堂成了促成個體認(rèn)知解構(gòu)、再構(gòu)甚至重構(gòu)的場域。教師成了因變量，以“干預(yù)者”的身份進(jìn)行“援助式”地“教”，不斷促進(jìn)意義建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對“學(xué)習(xí)目標(biāo)” 的“自組織”，引導(dǎo)學(xué)生和客觀世界對話（基于學(xué)科），與他人對話，與自我對話，最終由學(xué)生自己完成基于學(xué)習(xí)目標(biāo)的自主建構(gòu)。

二、為什么要進(jìn)行“前置獨(dú)立研究”

（一）基于對“數(shù)學(xué)是什么”的思考

R·柯朗在《數(shù)學(xué)是什么》一書中提出“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的是人的工作”。其實(shí)，數(shù)學(xué)之存在于我們遠(yuǎn)沒有想象的冰冷、遙遠(yuǎn)而神秘，當(dāng)年高斯對于等差數(shù)列的直覺發(fā)現(xiàn)，讓人們深深感受到數(shù)字之間的內(nèi)在聯(lián)系是可以通過人的智慧去發(fā)明和創(chuàng)造的。數(shù)學(xué)是人類思想的產(chǎn)物，是人們常識的系統(tǒng)化，諸多數(shù)學(xué)概念、規(guī)則、定律均來源并發(fā)展于生活。

（二）兒童是天生的“數(shù)學(xué)家（非指數(shù)學(xué)奇才）”

“生物發(fā)生律”提出個體發(fā)育史是系統(tǒng)發(fā)展史的重演，這一自然的生物學(xué)線索是否可以運(yùn)用在人類對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的剖析上？弗賴登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法就是讓學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造，如果讓他們經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造學(xué)習(xí)對象的過程，重演數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程，角色轉(zhuǎn)換成為當(dāng)初的“數(shù)學(xué)家”，不失為一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的打開方式。

（三）學(xué)習(xí)中應(yīng)該看見“每一個學(xué)生”

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）》指出“關(guān)心每個學(xué)生，促進(jìn)每個學(xué)生主動地、生動活潑地發(fā)展，尊重教育規(guī)律和學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，為每個學(xué)生提供適合的教育”。教育的全面性以及差異發(fā)展作為非常重要的理念已被廣泛關(guān)注，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的不同特點(diǎn)和個性差異，發(fā)展每一個學(xué)生的優(yōu)勢潛能。

學(xué)校存在的一層重要使命是幫助學(xué)生打開自己的經(jīng)驗(yàn)世界，與他人、世界聯(lián)結(jié)，從而成長自我、成就他人，同時關(guān)注差異。能看見“每一個學(xué)生”，是學(xué)校、教師和教學(xué)存在的首要命題。

三、怎樣培養(yǎng)學(xué)生“前置獨(dú)立研究”的精神和能力

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該有意義，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)有使命。也許，教師此刻要做的首先是著力還原那種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之初的火熱。

（一）獨(dú)“創(chuàng)”思路，讓意義建構(gòu)深入

在想象力空前豐富的孩童時期，每一個學(xué)生都是帶著自己的經(jīng)驗(yàn)來到課堂的，理解能力、思維方式、生活印跡各異的他們并非“白紙” ，對同一學(xué)習(xí)對象的個性化理解，在心中呈現(xiàn)的印象、影像當(dāng)然也不盡相同。如100個學(xué)生眼中有100種“湊十法”的樣子。

【案例1】“湊十法”原來就是我想的樣子

對于“9加幾”的內(nèi)容，教材以“9+4”這道算式展開，通過讓學(xué)生操作學(xué)具（把盒子外面的一個蘋果移進(jìn)盒子里，湊滿1盒）形成“湊10”的思路，進(jìn)一步感知加法是表示把兩個量合并起來的運(yùn)算。課前，教師引導(dǎo)學(xué)生展開前置學(xué)習(xí)：45個學(xué)生中有40人給出了正確且多樣的計(jì)算“9+4”的方法，其中36人配以有效圖示（如圖1、圖2、圖3）。 ?

圖1用直觀的圖示表達(dá)了“9+4”這一加法模型的實(shí)際意義，借助“合并起來”的模型意義可以知道得數(shù)是13，但也注意到可以把9先湊成10;圖2則以畫圈的方式先湊10，再把10和旁邊的 3個“合并起來”，靜態(tài)地表達(dá)了“湊10”的過程;圖3則以箭頭表示移動，動態(tài)地表達(dá)了“湊10”的過程。

無論學(xué)生以何種方式加以表征，都是借助自己構(gòu)造的對象，詳細(xì)描述了“9+4”是表示把兩個量合并起來，可以數(shù)出得數(shù)，也可以“湊10”計(jì)算。學(xué)生在獨(dú)立嘗試、同伴互動進(jìn)而形成深度理解的過程中建構(gòu)了獨(dú)特而真實(shí)的加法意義。

（二）獨(dú)“立”釋義，使概念理解深透

古希臘人相信數(shù)學(xué)是宇宙的基礎(chǔ)，認(rèn)為一切事物從無到有，都是依據(jù)秩序及純粹的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)被運(yùn)用在一切事物的創(chuàng)造中。兒童有異于大人的稟賦，天性使然之下，很多數(shù)學(xué)概念的詮釋和創(chuàng)意，也許就蟄伏在他們小小的身體內(nèi)。

【案例2】 素?cái)?shù) “DIY”

（課前調(diào)查發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生提前學(xué)習(xí)了素?cái)?shù)與合數(shù)相當(dāng)一部分的知識）

師：怎樣的數(shù)是素?cái)?shù)？合數(shù)又指的是什么樣的數(shù)？

（不少學(xué)生能較為流利地說出素?cái)?shù)和合數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)。在生生交互、師生對話中，全班學(xué)生很快完成了對素?cái)?shù)和合數(shù)的認(rèn)知。然而，教師并沒有讓課堂就此畫上句號）

師：中國有句古話叫“顧名思義”吧！為什么這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）？

生1：它們很“單調(diào)”。

生2：樸素，像素菜一樣 。

生3：簡單。

生4：它們很有質(zhì)感。

生5：很有品質(zhì)。

師：有意思，看來數(shù)學(xué)家可不是胡亂取名字！如果當(dāng)初是你發(fā)現(xiàn)的，你會如何命名這樣的數(shù)？

（學(xué)生想出了一系列頗具質(zhì)感的名字：私數(shù)、乏數(shù)、獨(dú)數(shù)、規(guī)數(shù)、凡數(shù)、簡數(shù)、雙子普通數(shù)、二因數(shù)、本數(shù)……）

與生俱來的數(shù)感以及充滿天性的想象力造就了學(xué)生屬于自己的理解，貼切不乏創(chuàng)意，揭開了數(shù)學(xué)感性卻更為深透的一面。

（三）獨(dú)“造”樣態(tài)，令模型建構(gòu)深層

學(xué)習(xí)真正發(fā)生，必須是學(xué)習(xí)者親身體驗(yàn)，然后經(jīng)歷混沌、彷徨、摸索、反思，基于已有數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，不斷進(jìn)行思維的解構(gòu)、再構(gòu)，努力從一片混沌中理出頭緒，構(gòu)造新的模型現(xiàn)實(shí)。

【案例3】我的、你的、他（她）的“復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖”

教材提出“你能看懂復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖表示的信息嗎？”，并要求根據(jù)給定的圖填寫信息。課程標(biāo)準(zhǔn)對這部分內(nèi)容的具體要求是“使學(xué)生能夠看懂和利用復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖里的數(shù)據(jù);能夠在統(tǒng)計(jì)圖上畫不同標(biāo)記的直條表示兩組數(shù)量;體會復(fù)式統(tǒng)計(jì)圖表的特點(diǎn)?！睂Υ耍虒W(xué)時僅僅讓學(xué)生停留在看懂、能利用、會作圖，還是需要深入其本質(zhì)？筆者以為，不要囿于例題，而是設(shè)計(jì)較為真實(shí)的情境，幫助學(xué)生經(jīng)歷完整的統(tǒng)計(jì)圖產(chǎn)生、制作、發(fā)展的過程，促使學(xué)生悟其特點(diǎn)，會其意義，創(chuàng)造并體會各元素的存在樣態(tài)及意義，真正認(rèn)同其存在價值。

“前置獨(dú)立研究”反其道而行，直接向?qū)W生拋出第92頁的問題情境促其課前獨(dú)立研究：設(shè)計(jì)出“五年級一班、二班同學(xué)參加書法、繪畫、剪紙興趣小組人數(shù)”統(tǒng)計(jì)表，再根據(jù)復(fù)式統(tǒng)計(jì)表，自制一張條形統(tǒng)計(jì)圖。

學(xué)生的前置研究情況：50人中的41人選擇制作條形統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生給出理由“本題更多關(guān)注興趣小組人數(shù)的多少、數(shù)據(jù)的對比，不太需要體現(xiàn)變化趨勢，故選條形統(tǒng)計(jì)圖”;50名學(xué)生均能選擇6根條形表示各班各組數(shù)據(jù)，其中30人選擇6根條形兩兩緊靠（自發(fā)作“復(fù)式”圖），以示人數(shù)為同一興趣小組;學(xué)生除了能正確標(biāo)注標(biāo)題、日期、數(shù)據(jù)、刻度、單位等原本已認(rèn)知的條形統(tǒng)計(jì)圖中的大代表性元素，更有23人自發(fā)使用了“圖例”這個“復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖”中特有的元素（其中的15名學(xué)生甚至以較為科學(xué)卻又是獨(dú)創(chuàng)的圖例表示方式標(biāo)注在統(tǒng)計(jì)圖的右上角，另8人用而未標(biāo)）。

學(xué)生對“復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖”顯然有相當(dāng)?shù)闹庇X，完成度不一的“大任務(wù)單作品”，無一不在說明學(xué)生具備發(fā)現(xiàn)甚至發(fā)明這一學(xué)習(xí)對象的直覺力量。至十九世紀(jì)后期，所有偉大的數(shù)學(xué)家在表達(dá)他們發(fā)現(xiàn)的時候，均基于直覺上的樸素概念。

（四）獨(dú)“建”課程，促學(xué)習(xí)意義深度

教與學(xué)是在思維的漸變衍生中，不斷從相對封閉到開放，并在此過程中獲取意義，汲取重建的力量。課程建設(shè)是深度學(xué)習(xí)到一定程度的產(chǎn)物，參與課程建設(shè)，可以令學(xué)習(xí)有深度?；凇扒爸锚?dú)立研究”視角的學(xué)習(xí)，學(xué)生常常會自然地介入課程建設(shè)。

【案例4】對稱！對稱？對稱！再造參數(shù)

“對稱”現(xiàn)象只有“軸對稱”嗎？小學(xué)階段為什么只研究“軸對稱”？“對稱”中的“非軸對稱”要避開嗎？避得開嗎？需要避開嗎？

在設(shè)計(jì)“前置獨(dú)立研究”任務(wù)時，筆者引導(dǎo)學(xué)生鎖定“對稱”，展開合并研究：

1.如圖4，哪些圖形是“對稱”圖形？

2.用自己的話描述“它們怎么就對稱了” ？

3.怎么判斷它是不是對稱？

4.三年級已經(jīng)學(xué)過“軸對稱圖形”，怎么今天還要研究“對稱”？“對稱的它們”有什么不一樣？

研究要求：動手操作，大膽表達(dá)，盡力說出自己的意思和感受。

（對折、重合、完全吻合、位置對稱、一樣長、一樣大、一樣的角度、一樣的斜度……這樣的詞不斷出現(xiàn)在學(xué)生的“研究單”中。）

生1（操作后有感而發(fā)）：其實(shí)，我們可以去推測對不對稱，不一定每次都要去折！

師：比動手驗(yàn)證更高級——用數(shù)學(xué)思維去推想！好方法！

生2：4號比2號“正”，它們雖然都是平行四邊形，但4號是對稱的，我可以找到兩條對稱軸，2號不是對稱的，我找不到對稱軸。

生3 ：那正方形就更正了！它更應(yīng)該是軸對稱圖形，對稱軸應(yīng)該更多！

生4：正方形也是平行四邊形，正方形有4條對稱軸，怎么4號只有兩條對稱軸？怎么2號一條對稱軸都找不到？

師：我們把生4的思路倒過來想，普通的平行四邊形是軸對稱圖形嗎？它的四條邊相等成了菱形后是軸對稱圖形嗎？如果菱形的四個角變作直角成了……

生5（脫口而出）：再“正”一些，直到 4個角都相等，就是正方形，有4條對稱軸。

師：如果正方形再……

生（紛紛搶答）：圓！圓！圓有無數(shù)條對稱軸！

（教師迅速回溯，結(jié)合“前置研究”中不少學(xué)生覺得“平行四邊形”也是對稱的，但苦于找不出對稱軸，又無法說服自己的情況，通過追問促使學(xué)生思維深度生長。）

師：像2號這樣的普通平行四邊形，有不少同學(xué)在前置研究時覺得它還挺對稱的，因?yàn)樗梢跃殖鐾耆嗟鹊膬刹糠??？墒怯终也怀鰧ΨQ軸，它真的對稱嗎？如果是，是怎樣一種對稱？如果不是，又為什么能均分出完全相等的兩部分？該如何佐證自己的觀點(diǎn)？還存在別的像“平行四邊形”這樣似是而非、似非而是的圖形嗎？

（研究性學(xué)習(xí)繼續(xù)推進(jìn)，當(dāng)學(xué)生提出“八卦圖樣”“紫荊花圖樣”也可以看作“對稱”時，研究以一種不可抵擋之勢往深處延展。這個研究命題被學(xué)生迫不及待地“領(lǐng)”回家，第二天的交流對話在情理之中又意料之外地往“對稱”這一主題更為立體而上位的方向發(fā)展，“旋轉(zhuǎn)對稱”“中心對稱”……學(xué)生的認(rèn)知不再片面而唯一，學(xué)習(xí)變得立體起來。）

（這時，教師再次調(diào)轉(zhuǎn)話頭，將學(xué)習(xí)引往另一個方向。）

師：咱們換一個主題吧，如果用“三角形”來研究“對稱”，你打算設(shè)計(jì)怎樣的研究思路？

生6：可以是由一般三角形到等腰三角形再到等邊三角形的研究路徑，也可以根據(jù)三角形角的情況去試一試，還可以從三角形的不同分割角度去研究。

從學(xué)生個體的“前置獨(dú)立研究”出發(fā)，到師生群體意見交換碰撞，再到學(xué)生回到自身完善認(rèn)知、生成新的學(xué)習(xí)目標(biāo)和方向，教師提出的一個個引發(fā)思維折轉(zhuǎn)的核心問題成了驅(qū)動軸心，隨著教學(xué)現(xiàn)場的不斷豐富、擴(kuò)展、深入，教學(xué)不再是單純的教學(xué)，儼然成了一段“生本化課程”的創(chuàng)建之旅。

四、重新思考教與學(xué)的意義

當(dāng)靜下心來思考“教學(xué)”到底是什么的時候，必須重新審視“成為教師” “成為小學(xué)數(shù)學(xué)教師“的價值旨?xì)w。教師不是傳道士，教材也只是一個例子，教師更應(yīng)該做的是喚醒，讓學(xué)習(xí)成為學(xué)生的一種本能的沖動，讓數(shù)學(xué)觀念像當(dāng)初被發(fā)現(xiàn)那樣得以表述，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為一種信仰般的存在，讓每一位學(xué)生為自己而學(xué)。

【案例5】你得證明你會

剛上二年級的一學(xué)生拿著本子雀躍地跑過來：“老師，我會寫算式‘7÷4=1……3?！蔽叶ňσ豢矗核麑懥艘坏烙杏鄶?shù)的除法！于是我不由得問道：“你是怎么想的？可以畫圖解釋給老師聽嗎？”

他很認(rèn)真地點(diǎn)了點(diǎn)頭。下午他就給了我一張小紙片（如圖5）：“老師，這是我早上和您說的?！?/p>

【案例6】 研究就是這么執(zhí)著

有一學(xué)生連續(xù)兩天不分課上課下，一直研究27乘56和379乘78等兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法。從他的研究過程來看，他對乘法的意義及乘法計(jì)算規(guī)則掌握得不錯，同時他還開始建構(gòu)新的規(guī)則。

【案例7】寫數(shù)學(xué)也能廢寢忘食

一位三年級小女生的數(shù)學(xué)日記：我迷惑（應(yīng)該是“迷戀”）上“鋪地錦”以后，在自己的研究本上寫下來，開始自己的繼續(xù)研究。奇怪又好笑的是，我寫著寫著，連覺都不想睡，做夢都想！……好玩得不得了！

不唯教師，看見學(xué)生，小學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)也許會以一種更理想的樣子而存在。

（責(zé)編 金 鈴）