張偉

（河南財經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南鄭州450046）

Hilbert空間中的框架概念由DUFFIN等[1]于1952年在研究非調(diào)和Fourier級數(shù)時首次提出。1986年DAUBECHIES等[2]突破性的研究引起學(xué)者對框架的極大興趣和關(guān)注，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于圖像處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量化測度等領(lǐng)域?？蚣艿南嚓P(guān)研究成果十分豐富[3-9]。

隨著對框架研究的不斷深入，提出了許多推廣形式，特別地，ALI等[10]將框架推廣到帶有Radon測度的局部空間，引入了連續(xù)框架的概念。SUN[11]將框架概念推廣到算子形式，引入了廣義框架的概念。ABDOLLAHPOUR等[12]提出的連續(xù)廣義框架概念，較連續(xù)框架與廣義框架更為一般。

下文第1節(jié)，將回顧一些基本概念、記號及性質(zhì)。第2節(jié)，利用連續(xù)廣義框架預(yù)框架算子刻畫連續(xù)廣義Bessel序列、框架、Riesz基以及標(biāo)準(zhǔn)正交基；利用算子工具，構(gòu)造新的連續(xù)廣義框架、Parseval連續(xù)廣義框架、連續(xù)廣義Riesz基及連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基，并給出相應(yīng)的算子刻畫。第3節(jié),建立連續(xù)廣義框架預(yù)框架算子與連續(xù)廣義框架的強(qiáng)不相交性、不相交性以及強(qiáng)互補(bǔ)性之間的聯(lián)系；利用已建立的刻畫結(jié)果，得到兩連續(xù)廣義框架之和保持框架性質(zhì)的算子刻畫。第4節(jié),給出了結(jié)論。

1 預(yù)備知識

本節(jié)主要給出一些記號、概念及基本性質(zhì)[4,9,12-13]。U,V,K為復(fù)可分Hilbert空間；(Ω,μ)為一個含有正測度μ的測度空間為V的閉子空間列；L(U,Vω)為U到Vω所有有界線性算子的集合；IU為U上的恒等算子。

定義1若滿足條件：

(i)對任意的f∈U,ω→Vωf強(qiáng)可測；

(ii)存在常數(shù)0＜A≤B＜∞，對任意的f∈U，有

A,B分別為連續(xù)廣義框架的下界和上界；則稱序列為U關(guān)于Vω的連續(xù)廣義框架，若式(1)僅有右半不等式成立，則稱為U關(guān)于的連續(xù)廣義 Bessel序列；若A=B，則稱為U關(guān)于的緊連續(xù)廣 義框架；若A=B=1，則稱為U關(guān)于的 Parseval連續(xù)廣義框架。

在其上定義內(nèi)積

為連續(xù)廣義框架算子。在不易混淆的情況下，分別簡稱為合成算子、分析算子和框架算子。S為線性有界、自伴、正的可逆算子。

定義 2假設(shè)和均為U的連續(xù)廣義框架，

(i)若Range∩Range={0}且Range+Range為的閉子空間，則Λ和Γ不相交。

(ii)若Range⊥Range,則Λ和Γ強(qiáng)不相交。

(iii)若Range∩Range={0},則Λ和Γ弱不相交。

(iv)若Range⊕Range=則 Λ 和Γ強(qiáng)互補(bǔ)。

定義3設(shè)T,Q∈L(U,K)，則算子直和T⊕Q∈L(U⊕U,K)定義為

2 連續(xù)廣義框架與預(yù)框架算子

首先給出連續(xù)廣義Riesz基與標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念。

定義4設(shè)Λω∈L(U,Vω),ω∈Ω,

(ii)對任意f∈U,ω→Vωf是強(qiáng)可測的是廣義完備的；存在2個正常數(shù)A,B，對任意可測子集 Ω1? Ω，gω∈Vω,ω∈Ω1，有

(iii)若對任意的f∈U,ω→Vωf是強(qiáng)可測的并且有等式：

則稱{Λω}ω∈Ω為U關(guān)于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基。

注1任意連續(xù)廣義框架都是廣義完備的；任意連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基是Parseval連續(xù)廣義框架；任意連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基都是界為1的連續(xù)廣義Riesz基；如果{Λω∈L(U,Vω)}ω∈Ω是廣義完備的,等價于

引 理 1[12]設(shè){Λω∈L(U,Vω)}ω∈Ω是U關(guān)于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義Bessel序列當(dāng)且僅當(dāng)算子

有意義且有界。

定 理 1設(shè) {Θω∈L(U,Vω)}ω∈Ω為U關(guān) 于的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基。是U的連續(xù)廣義Bessel序列當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一的有界算子T:U→U滿足Λω=ΘωT*, ω∈Ω。

證明必要性。由于為U關(guān)于的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基，對任意的f∈U，有若是U的連續(xù)廣義Bessel序列，由引理1，則算子

是有意義的且在U上有界。由連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義，對任意的g∈Vω,ω1∈Ω，有

下證唯一性。假設(shè)存在T1,T2∈L(U)，滿足

則對任意的f∈U，gω∈V?，有

也即

充分性。設(shè)Λω=ΘωT*, ω∈Ω，對任意的f∈U，有

定義5定理1中所定義的算子T稱為的連續(xù)廣義預(yù)框架算子，在不易混淆的情況下簡稱預(yù)框架算子。

定理 2設(shè)為U關(guān)于的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基。為U的連續(xù)廣義Bessel序列，T和S分別為預(yù)框架算子和框架算子。則S=TT*。

證 明由于Λω=ΘωT*,ω∈Ω，對任意的f∈U，有

引理2［13］設(shè)T:U→K為有界滿射算子，存在有界算子T?:K→U，使得

則稱T?為T的偽逆。

定 理 3設(shè)為U關(guān) 于的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基為U的連續(xù)廣義Bessel序列，T為的預(yù)框架算子。則

證明(i)必要性。若為U的連續(xù)廣義框架，則框架算子S是可逆的，注意到S=TT*，所以T是到上的。

充分性。若T是到上的，由定理1可知是U的連續(xù)廣義Bessel序列，僅需證明存在框架的下界。 由于T是到上的，由引理1，TT?=IU，因此(T?)*T*=IU，對任意的f∈U，有

則可得

由(i)知，T是到上的。下證T為單射。 設(shè)f∈kerT，注意到T=TΛ及TΛ是一對一的，則，因此所以有f=0,可知T是可逆的。另一方面，設(shè)T是可逆算子，若Λωf=ΘωT*f=0, ω ∈Ω，由于是廣義完備的，則有T*f=0。注意到T是可逆的，所以f=0，于是得是廣義完備的。

下證不等式(3)成立。對任意可測子集Ω1? Ω，gω∈Vω,ω∈Ω1，有

由于

可知TT*=IU，因此T是酉算子。另一方面，設(shè)T是酉算子，對于任意，有

引理 3［14］(i)設(shè)T,Q∈L(U)，且Q為到上算子，則TQ是到上算子當(dāng)且僅當(dāng)T是到上算子。

(ii)設(shè)T,Q∈L(U)，且Q為余等距算子，則TQ是余等距算子當(dāng)且僅當(dāng)T是余等距算子。

(iii)設(shè)T,Q∈L(U)，且Q為可逆算子，則TQ是可逆算子當(dāng)且僅當(dāng)T是可逆算子。

(iv)設(shè)T,Q∈L(U)，且Q為酉算子，則TQ是酉算子當(dāng)且僅當(dāng)T是酉算子。

借助定理3與引理2，有以下結(jié)果，詳細(xì)證明留給感興趣的讀者。

定 理 4設(shè)為U關(guān) 于

注2定理4是建立在U關(guān)于的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基條件下，一般情形時，(i)的結(jié)論也成立。

定理 5設(shè)為U的連續(xù)廣義框架，則是U的連續(xù)廣義框架當(dāng)且僅當(dāng)T是到上算子。

證明必要性。若為U的連續(xù)廣義框架，設(shè)A1,B1為的框架界，則對任意的f∈U，有

由上式，若T*f=0，則f=0，也即T*是一對一的。若T*fn→g(n→∞ )，則{fn}收斂，也即存在g0∈U滿足fn→g0(n→∞ )。因此T*fn→T*g0(n→∞ )，所以g=T*g0，由此可知g∈rangeT*，所以T*有閉值域，因此T有閉值域。注意到

從而可知T是到上算子。

充分性。若T是到上算子，A,B是的框架界，則對任意的f∈U，有

由引理 2，TT?=IU，因此(T?)*T*=IU，對任意的f∈U，有

3 不相交性與預(yù)框架算子

本節(jié)主要研究連續(xù)廣義框架的預(yù)框架算子與不相交性、強(qiáng)不相交性及強(qiáng)互補(bǔ)性之間的關(guān)系，首先給出引理。

引理 4［15］設(shè)和分別為U和K關(guān)于的連續(xù)廣義框架。則

(i)Λ和Γ是強(qiáng)不相交的當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆算子T∈L(U)和Q∈L(K)滿足和都是Parseval連續(xù)廣義框架。

定 理 6設(shè)為U關(guān) 于的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基。 若和均為U的 Parseval連續(xù)廣義框架，T1，T2分別為它們的預(yù)框架算子。則和是強(qiáng)不相交的當(dāng)且僅當(dāng)T2=0。

證明必要性。若和是強(qiáng)不相交 的 。 由引理4(i)，是U⊕U的Parseval連續(xù)廣義框架；注意到T1，T2分別為和的預(yù)框架算子，可知 Λω= Θω，Γω= Θω，ω∈Ω；再由定理 3知，T1，T2均為余等距算子；于是，對任意的f,g∈U，有

充分性。若T2=0，對任意f,g∈U，有

定理7設(shè)為U關(guān) 于的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基。若和均為U的連續(xù)廣義框架，T1，T2分別為它們的預(yù)框架算子。若T2=0，則和是不相交的。

證明注意到T1，T2分別為和的預(yù)框架算子，由定理3知，T1，T2均為到上算子。再由引理2知，T1，T2分別存在偽逆算子T?1，T?2，滿足T1T?1=IU和T2T?2=IU。由此得到(T?1)*(T1)*=IU和(T?2)*(T2)*=IU。因此，對任意的f∈U，有

所以

類似可得

又因為T2=0，用類似于定理6中充分性的證明過程，可得

因為

又因為

{Λω⊕Γω}ω∈Ω是U⊕U的連續(xù)廣義框架，由引理 4知，{Λω}ω∈Ω和{Γω}ω∈Ω不相交。

定 理 8設(shè)為U關(guān) 于的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基。若和均為U的 Parseval連續(xù)廣義框架，T1，T2分別為它們的預(yù)框架算子。若和是強(qiáng)互補(bǔ)對，則T2=0，1+2=IU。

證明若和是強(qiáng)互補(bǔ)對，由引理 4 知和是 強(qiáng) 不 相交的，并且是U⊕K關(guān)于的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基。再由定理6知，T2=0。因為為U關(guān)于的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基。對任意的有

而

下述定理討論預(yù)框架算子與連續(xù)廣義框架和之間的關(guān)系。

定理 9設(shè)和均為U的連續(xù)廣義框架，T1，T2分別為其預(yù)框架算子。若T2=0，則是U的連續(xù)廣義框架。更多地，若和均為U的 Parseval連續(xù)廣義框架且T2=0，則為U的界為2的緊連續(xù)廣義框架。

證明若和均為U的連續(xù)廣義框架，T1，T2分別為其預(yù)框架算子。則對任意的ω∈Ω，有

依據(jù)定理3，僅須證明T1+T2是到上算子。由T2=0知，

又因為T1T*1是可逆的，所以對任意h∈U，存在f=T*1(T1T*1)-1h∈U，滿足

所以T1+T2是到上算子。

定理10設(shè)和均為U的連續(xù)廣義框架，T1，T2分別為其預(yù)框架算子。滿足T2T*1=0，M,N∈L(U)，若M,N其中之一是到上的，則{ΛωM*+ ΓωN*}ω∈Ω為U的連續(xù)廣義框架。

證明若和均為U的連續(xù)廣義框架，T1，T2分別為其預(yù)框架算子，則對任意的ω∈Ω，有

其中，{Θω∈L(U,Vω)}ω∈Ω為U關(guān)于{Vω}ω∈Ω的連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基。

因此，MT1+NT2是到上算子。若N是到上的，類似可證。

4 結(jié) 論

對于給定連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基的Hilbert空間U，給出了連續(xù)廣義預(yù)框架算子的概念，利用連續(xù)廣義預(yù)框架算子，刻畫了連續(xù)廣義框架、Parseval連續(xù)廣義框架、連續(xù)廣義Riesz基及連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基(定理3)；利用算子方法，構(gòu)造了新的連續(xù)廣義框架、Parseval連續(xù)廣義框架、連續(xù)廣義Riesz基及連續(xù)廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基，并給出了相應(yīng)的算子刻畫(定理4)；分別建立了強(qiáng)不相交性、不相交性以及強(qiáng)互補(bǔ)對與連續(xù)廣義預(yù)框架算子之間的聯(lián)系(定理6與定理8)；最后，應(yīng)用已建立的刻畫結(jié)果，給出了兩連續(xù)廣義框架之和保持框架性質(zhì)的算子刻畫(定理9與定理10)。