梁星亮，龍斌，徐盼盼

（陜西科技大學(xué)文理學(xué)院，陜西西安710021）

半群及其S-系形成了半群的S-系理論，該理論已廣泛應(yīng)用于代數(shù)自動(dòng)機(jī)理論、數(shù)學(xué)語言學(xué)、密碼學(xué)等數(shù)學(xué)學(xué)科[1-2]。S-系理論的中心問題之一是研究半群S的同調(diào)分類。為了研究序幺半群的融合問題，F(xiàn)AKHRUDDIN[3]引入了S-系的序代數(shù)理論——序S-系理論(其中S是序幺半群)。SHI等[4]利用序同余給出了張量積的新定義，并給出了序同余類以及序關(guān)系的具體刻畫。隨后，基于文獻(xiàn)[5-9]，序S-系逐漸發(fā)展成為比較成熟的理論體系，并得到了廣泛應(yīng)用。

強(qiáng)平坦性質(zhì)是S-系范疇中重要的同調(diào)性質(zhì)之一，SHI[5]于2005年將該性質(zhì)推廣至序S-系范疇，給出序幺半群S的理想是強(qiáng)平坦的等價(jià)刻畫。ERSHAD等[6]進(jìn)一步研究了強(qiáng)平坦覆蓋，給出每一個(gè)序S-系有強(qiáng)平坦覆蓋的序幺半群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。受S-系范疇中同調(diào)理論的啟發(fā)，趙梅梅[7]在序S-系范疇中推廣了強(qiáng)平坦性質(zhì)，引入了弱拉回平坦性，并利用Rees商序S-系的這一性質(zhì)研究了序幺半群的同調(diào)分類問題。本文將進(jìn)一步研究弱拉回平坦序S-系，首先，刻畫序S-系的直積保持弱拉回平坦性質(zhì)的序幺半群類，其次，討論序S-系的弱拉回平坦性質(zhì)與條件(P)、投射性一致的序幺半群的結(jié)構(gòu)，最后，研究序S-系具有拉回平坦覆蓋的條件。通過序S-系的弱拉回平坦性質(zhì),刻畫了一些新的序幺半群的結(jié)構(gòu),推廣了已有結(jié)果。本研究是對(duì)序S-系理論在序半群中應(yīng)用的深化,對(duì)于揭示序S-系理論與S-系理論的區(qū)別與聯(lián)系，探索平坦性質(zhì)在序S-系中的應(yīng)用具有重要意義。

方便起見，首先給出文中所要用到的一些基本概念。假設(shè)S是序幺半群，1是其單位元。

設(shè)A是一個(gè)帶有偏序≤的非空集合。若存在映 射f:A×S→A，(a,s)?as，滿足對(duì)任意的a,a′∈A和s,t∈S，有

以及

則稱(A,f)為一個(gè)序右S-系，通常簡(jiǎn)記為AS。 類似地，可定義序左S-系SA。

設(shè)A,B是序右S-系，若對(duì)任意的a,a′∈A，s∈S，有

則稱映射f:A→B為從A到B的序S-同態(tài)。所有序右S-系以及序右S-系之間的同態(tài)構(gòu)成一個(gè)范疇，稱之為序右S-系范疇。在序右S-系范疇中，一簇右S-系{Ai|i∈I}的直積和余直積分別為卡氏積和不交并，分別記為和

若AS滿足條件：

則稱序S-系A(chǔ)S是強(qiáng)平坦的。

若AS滿足條件 (P)和條件 (E′)：

則稱序S-系A(chǔ)S是弱拉回平坦的。因?yàn)槊恳粋€(gè)滿足條件(E)的序S-系滿足條件(E′)，所以，每一個(gè)強(qiáng)平坦序S-系是弱拉回平坦的。但由文獻(xiàn)[8]中的定理1以及下面的推論1知，反之不然。

若對(duì)任意s,t∈P,存在p∈P,使得ps=pt(sp=tp),則稱序幺半群S的一個(gè)序子幺半群P是左(右)collapsible 的[8]。顯然，含有左(右)零元的序幺半群是左(右)collapsible的。若對(duì)任意s,t∈P,z∈S,當(dāng)sz=tz時(shí),存在p∈P使得ps=pt,則稱序幺半群S的一個(gè)序子幺半群P是弱左collapsible的。顯然，S的每一個(gè)左collapsible序子幺半群都是弱左collapsible的，反之不然。例如：正整數(shù)集N*關(guān)于數(shù)的乘法做成了一個(gè)序幺半群，其上的序關(guān)系為自然序。容易驗(yàn)證N*是弱左collapsible而非左collapsible。

1 基本性質(zhì)

討論關(guān)于弱拉回平坦序S-系的一些基本性質(zhì)。首先，利用序S-系的強(qiáng)凸性質(zhì)給出了弱拉回平坦序S-系關(guān)于余直積封閉。

命題1設(shè)其中Ai是AS的強(qiáng)凸序S-子系，i∈I，則AS是弱拉回平坦的當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)Ai是弱拉回平坦的。

證明必要性。假設(shè)AS是弱拉回平坦序S-系。則AS滿足條件(P)和條件(E′)。下證Ai滿足條件 (P)和條件(E′)，i∈I。

設(shè)在Ai中 ，as≤a′s′，a,a′∈Ai,s,s′∈S，則as≤a′s′也在AS中成立。因?yàn)锳S滿足條件 (P)，所以存在a″∈A,u,v∈S使得a=a″u,a′=a″v,us≤vs′。由a∈Ai，必有a″∈Ai，否則存在某個(gè)j≠i，j∈I,使得a″∈Aj，從 而a=a″u∈Aj，矛盾。因此，Ai滿足條件(P)。類似地可證Ai滿足條件(E′),故Ai是弱拉回平坦的。

充分性。設(shè)每個(gè)Ai是弱拉回平坦的，i∈I。若as≤a′s′,a,a′∈Ai,s,s′∈S，則a,a′屬于AS的同一個(gè)強(qiáng)凸序S-子系A(chǔ)i,i∈I。否則，存在j∈I,i≠j，有a∈Ai,a′∈Aj，從而as∈Ai,a′s′∈Aj，由Aj的強(qiáng)凸性可知，as∈Aj，顯然矛盾，故a,a′∈Ai。又因?yàn)锳i滿足條件 (P)，所以存在a″∈Ai,u,v∈S，使得a=a″u,a′=a″v,us≤vs，而a″∈Ai?A，說 明AS滿足條件(P)。類似可證AS滿足條件(E′)。因此，AS是弱拉回平坦的。

下面的命題給出了弱拉回平坦性質(zhì)保持有向上極限，關(guān)于序S-系有向上極限的定義和相關(guān)性質(zhì)請(qǐng)參考文獻(xiàn)[9]。

命題2弱拉回平坦序右S-系的正向系統(tǒng)有向上極限是弱拉回平坦的。

證明假設(shè)(Ai,φi,j)是關(guān)于有向集I的弱拉回平坦序右S-系的正向系統(tǒng)，(A,αi)是其有向上極限。下證A滿足條件(P)和條件(E′)。

若a,a′∈A和s,s′∈S滿足as≤a′s′，則存在i,j∈I,ai∈Ai,aj∈Aj使得a=αi(ai),a′=αj(aj)。因?yàn)镮是有向集，所以存在k≥i,j，使得φi,k(ai)s≤φj,k(aj)s′在Ak中成立。又由于Ak滿足條件 (P)，所以存在a″∈Ak，u,v∈S，使得φi,k(ai)=a″u,φj,k(aj)=a″v,us≤vs′。從而αkφi,k(ai)=αk(a″)u，αkφj,k(aj)=αk(a″)v，即a=αi(ai)=αkφi,k(ai)。類似地，a′=αk(a″)v。因此，A滿足條件(P)。類似可證A滿足條件(E′)。故A是弱拉回平坦的。

在序S-系范疇中，強(qiáng)平坦性質(zhì)嚴(yán)格推出弱拉回平坦性質(zhì)，下面的命題給出了在右collapsible序幺半群條件下，此2性質(zhì)一致。

命題3設(shè)S是右collapsible序幺半群。則每一個(gè)弱拉回平坦的序S-系是強(qiáng)平坦的。

證明由定義容易證得，此略。

2 序幺半群的同調(diào)分類

主要利用序S-系的弱拉回平坦性質(zhì)研究序幺半群的同調(diào)分類問題。首先刻畫弱拉回平坦性質(zhì)從直積轉(zhuǎn)移到每個(gè)分量上的序幺半群的結(jié)構(gòu)。

推論1一元序S-系={θ}是弱拉回平坦的當(dāng)且僅當(dāng)S是弱右reversible和弱左collapsible序幺半群。

證明由文獻(xiàn)[7]中的推論1.1以及文獻(xiàn)[8]中的定理1直接可得。

定理1設(shè)S是序幺半群，則以下條件等價(jià)：

(1)對(duì)任意的一簇序右S-系若是弱拉回平坦的，則每一個(gè)Ai是弱拉回平坦的，i∈I；

(2)一元序S-系是弱拉回平坦的；

(3)S是弱右reversible和弱左collapsible序幺半群。

證 明(1)?(2)。 因?yàn)槿绻鸄S是弱拉回平坦的，那么ΘS也是弱拉回平坦的。

(2)?(3)。由推論1可得。

(3)?(1)。假設(shè)對(duì)任意的一簇序右S-系是弱拉回平坦的。則AS滿足條件 (P) 和條件(E′)。設(shè)ais≤a′it，ai，a′i∈Ai，s,t∈S，因?yàn)镾是弱右reversible序幺半群，所以存在u1,v1∈S使得u1s≤v1t。考慮固定元素aj∈Aj,j≠i，令

則(cj)Is≤(dj)It。又由于AS滿足條件(P)，所以存在(a″j)I∈A，u,v∈S，使得 (cj)I=(a″)j Iu，(dj)I=(a″j)Iv，us≤vt。顯然ai=a″iu,a′i=a″iv，因此Ai滿足條件(P)。類似可證Ai滿足條件(E′)。

自然地，下面考慮弱拉回平坦序S-系關(guān)于直積封閉的序幺半群的結(jié)構(gòu)。

定理2對(duì)于任意的序幺半群S，以下敘述等價(jià)：

(1)對(duì)任意的一簇弱拉回平坦序S-系是弱拉回平坦的；

(2)對(duì)每一個(gè)非空集I，SI是弱拉回平坦的；

(3)對(duì)任意的a,b∈S，非空集L(a,b)={(u,v)∈S×S|ua≤vb}是一個(gè)循環(huán)序左S-系，且非空集l(a,b)={s∈S|sa≤sb}滿足：若存在z∈S使得(a,b)∈ρz，則l(a,b)是S的一個(gè)主左理想。

證明(1)?(2)顯然。

(2)?(3)。假設(shè)對(duì)每一個(gè)非空集I，SI是弱拉回平坦的，則SI滿足條件(P)和條件(E′)。由文獻(xiàn)[10]中的定理3.3，對(duì)任意的a,b∈S，非空集L(a,b)是一個(gè)循環(huán)序左S-系?，F(xiàn)假設(shè)存在z∈S，使得(a,b)∈ρz，并且用集合I來標(biāo)記l(a,b)，即其中的第i個(gè)分量是si。則≤且az=bz。由于SI滿足條件(E′)，所以存在ˉ∈SI,u∈S使得ˉ=,ua≤ub。于是u∈l(a,b),si=ziu，其中zi是ˉ的第i個(gè)分量，說明l(a,b)是S的一個(gè)主左理想。

(3)?(1)。假設(shè)Ai(i∈I)是弱拉回平坦序S-系。由文獻(xiàn)[10]中的定理 3.3 知滿足條件(P)。下證滿足條件 (E′)。

假設(shè) (xi)Ia≤ (xi)Ib,az=bz，(xi)I∈a,b,z∈S。則對(duì)每一個(gè)i∈I，xia≤xib,az=bz。因 為 每 一 個(gè)Ai滿足條件(E′)，所以存在zi∈Ai,ui∈S，使得xi=ziui,uia≤uib。顯然l(a,b)≠?，且(a,b)∈ρz。根據(jù)假設(shè)條件，對(duì)每一個(gè)i∈I，存在u∈l(a,b)，使得ui∈Su。因此，ua≤ub，且存在wi∈S，使得ui=wiu。從而有(xi)I=(ziui)Iu，故滿足條件 (E′)。

接下來考慮利用循環(huán)序S-系的弱拉回平坦性質(zhì)刻畫序幺半群的結(jié)構(gòu)。

引理1設(shè)ρ是序幺半群S上的序右同余，循環(huán)序右S-系S/ρ是弱拉回平坦的當(dāng)且僅當(dāng)S/ρ滿足條件 (P)，且

證明充分性。根據(jù)弱拉回平坦的定義，只需證S/ρ滿足條件 (E′)。假設(shè) [x]s≤ [x]s′,sz=s′z,則 [xs] ≤ [xs′],xsz=xs′z。 由假設(shè)條件知，存在u∈S，使得uρ1,uxs≤uxs′。 從而 [x]=[1]x=[u]x=[1]ux,(ux)s≤ (ux)s′。 故S/ρ滿足條件(E′)。

必要性 。假設(shè)s,s′,z∈S,[s]≤ [s′],sz=s′z。由條件(E′)知 , 存在x,u′∈S使得 [1]=[x]u′,u′s≤u′s′。令u=xu′，則uρ1,us≤us′。

引理2設(shè)ρ是序幺半群S上的序同余，若循環(huán)序S-系S/ρ是弱拉回平坦的，則R=[1]ρ是S的一個(gè)弱右reversible和弱左collapsible序子幺半群。

證明 因?yàn)槿趵仄教剐騍-系滿足條件(P)，所以由文獻(xiàn)[6]中的引理1.3知，R=[1]ρ是S的弱右reversible 序子幺半群?，F(xiàn)假設(shè)sz=s′z，s,s′∈R,z∈S，則有sρs′，由引理 7，存在u∈S使得uρ1,us≤us′。顯然u∈R, 即R=[1]ρ是S的弱左collapsible序子幺半群。

根據(jù)弱拉回平坦序S-系的定義，每一個(gè)弱拉回平坦序S-系均滿足條件(P)，反之不然。下面的定理給出了對(duì)于循環(huán)序S-系，條件(P)與弱拉回平坦性質(zhì)一致的序幺半群的刻畫。

定理3對(duì)任意的序幺半群S，以下條件等價(jià)：

(1)所有滿足條件(P)的循環(huán)序S-系是弱拉回平坦的；

(2)S的每一個(gè)凸的弱右reversible序子幺半群P滿足條件(C)：對(duì)任意的u,v∈P，若uz≤vz,z∈S，則存在w∈P，使得wu=wv。

證明(1)?(2)。假設(shè)P是S的一個(gè)凸的弱右reversible序子幺半群，且ρ=θ(P×P)。由文獻(xiàn)[6]中的引理2.1，S/ρ滿足條件(P)。根據(jù)假設(shè)條件，S/ρ是弱拉回平坦的，由引理8知，[1]ρ是S的弱左collapsible序子幺半群，從而[1]ρ滿足條件(C)。

下證P滿足條件(C)。設(shè)s,t∈P和z∈S滿足sz≤tz。因?yàn)镻?[1]ρ，所以存在r∈[1]ρ，使得rs=rt。 由于rρ1，所以存在u1,v1,w1∈P使 得u1≤v1r≤w1。由P的凸性可知，v1r∈P，從而有(v1r)s=(v1r)t。因此P滿足條件(C)。

(2)? (1)。設(shè)S/ρ滿足條件 (P)，且P=[1]ρ。則P是一個(gè)弱右reversible序左單式子幺半群。故P是一個(gè)凸的弱右reversible序子幺半群。根據(jù)假設(shè)條件，P滿足條件(C)?，F(xiàn)假設(shè)[s]≤[t],sz=tz。因?yàn)镾/ρ滿足條件(P)，所以存在u,v∈P，使得us≤vt，從而u(sz)≤v(tz)。進(jìn)一步，由于P滿足條件 (C)，所以存在r∈P，使得ru=rv。因此，(ru)s≤(rv)t=(ru)t，故S/ρ是弱拉回平坦的。

下面的定理給出了循環(huán)序S-系投射性與弱拉回平坦性一致的序幺半群的刻畫。

定理4設(shè)S是一個(gè)含有右零元的序幺半群，則以下條件等價(jià)：

(1)所有的弱拉回平坦循環(huán)序右S-系S/ρ是投射的；

(2)所有的強(qiáng)平坦循環(huán)序右S-系S/ρ是投射的；

(3)S的每一個(gè)凸的左collapsible序子幺半群含有一個(gè)左零元；

(4)S的每一個(gè)凸的弱右reversible和弱左collapsible序子幺半群含有一個(gè)左零元。

證明(1)?(2)。由命題3可得。

(2)?(3)。即文獻(xiàn)[6]中的命題2.4。

(3)?(4)。因?yàn)镾是一個(gè)含有右零元的序幺半群，所以S的每一個(gè)弱左collapsible序子幺半群都是左collapsible的。而每一個(gè)左collapsible序子幺半群又是弱右reversible的，因此，結(jié)論成立。

為了刻畫循環(huán)序S-系具有弱拉回平坦覆蓋的序幺半群的結(jié)構(gòu)，需給出

引理3設(shè)P?S是弱右reversible序子幺半群，且ρ=θ(P×P)，則

(1)P? [1]ρ；

(2)[s]≤[t]當(dāng)且僅當(dāng)存在u,v∈P使得us≤vt；

(3)S/ρ滿足條件(P)；

(4)設(shè)S是一個(gè)含有右零元的序幺半群。若P是S的一個(gè)弱左collapsible序子幺半群，則S/ρ是弱拉回平坦的。

證明(1) ～(3)即為文獻(xiàn)[6]中的引理2.1。

由命題3以及文獻(xiàn)[6]中的引理2.2即可得(4)。

定理5設(shè)S是一個(gè)含有右零元的序幺半群，則以下條件等價(jià)：

(1)循環(huán)序右S-系S/ρ具有弱拉回平坦覆蓋；

(2)循環(huán)序右S-系S/ρ具有強(qiáng)平坦覆蓋；

(3)[1]ρ包含一個(gè)左collapsible序子幺半群R，使得對(duì)任意的u∈[1]ρ，uS∩R≠；

(4)[1]ρ包含一個(gè)弱右reversible和弱左collapsible序子幺半群R，使得對(duì)任意的u∈[1]ρ,uS∩R≠。

證明(1)?(2)。由命題3可得。

(2)?(3)。即文獻(xiàn)[6]中的命題3.4。

(3)?(4)。因?yàn)镾是一個(gè)含有右零元的序幺半群，所以S的每一個(gè)弱左collapsible序子幺半群都是左collapsible的。而每一個(gè)左collapsible序子幺半群又是弱右reversible的，因此，結(jié)論成立。

(4)?(1)。由引理3以及文獻(xiàn)[6]中的引理3.1和推理3.3可得。

推論2設(shè)S是一個(gè)含有右零元的序幺半群，則一元序S-系ΘS具有弱拉回平坦覆蓋當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)弱右reversible和弱左collapsible序子幺半群R?S，使得對(duì)任意的u∈S，存在s∈S，滿足us∈R。

最后給出一元序S-系具有條件(P)覆蓋與強(qiáng)平坦覆蓋的序幺半群的等價(jià)刻畫。

推論3一元序S-系ΘS具有條件(P)覆蓋當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)弱右reversible序子幺半群R?S，使得對(duì)任意的u∈S，存在s∈S，滿足us∈R。

證明由文獻(xiàn)[6]中的命題3.4可得。

推論4一元序S-系ΘS具有強(qiáng)平坦覆蓋當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)左collapsible序子幺半群R?S，使得對(duì)任意的u∈S，存在s∈S，滿足us∈R。

證明由文獻(xiàn)[6]中的命題3.5可得。

3 小 結(jié)

在S-系范疇中利用弱拉回平坦性質(zhì)刻畫了序幺半群的結(jié)構(gòu)。主要研究了弱拉回平坦性質(zhì)關(guān)于直積封閉的序幺半群類，刻畫了弱拉回平坦性質(zhì)與條件(P)、投射性一致的序幺半群的結(jié)構(gòu)，給出了循環(huán)序S-系具有弱拉回平坦覆蓋以及一元序S-系具有條件(P)覆蓋和強(qiáng)平坦覆蓋的序幺半群的結(jié)構(gòu)。特別地，在本文主要結(jié)論中，若將序S-系的偏序和序幺半群的偏序取為平凡序，就可以得到S-系理論的諸多經(jīng)典結(jié)果，如本文中定理3的平凡序形式即為文獻(xiàn)[11]中的定理10。