高百俊，張佳，朱振揚(yáng)

（1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)分院，新疆伊寧835000；2.西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637009；3.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225000）

0 引 言

本文所涉及的群均為有限群，群G的極大子群M記作M＜ ·G，Sn(An)表示n次對(duì)稱群(交代群)。未交代的概念和符號(hào)可參見文獻(xiàn)[1]。

近十幾年來，關(guān)于群G的p-超可解性研究已經(jīng)取得了一系列成果[2-4]，從這些成果中不難發(fā)現(xiàn)，群的p-可解性是研究其p-超可解性的充分條件之一。MONAKHOV等[5]提出了MP-可補(bǔ)子群的概念，考慮群階的極小素因子和二極小素因子，并對(duì)群的p-超可解性進(jìn)行了研究。GAO等[6]從群合成因子的角度，利用G的M5-可補(bǔ)子群的性質(zhì)，在去除“群是5-可解的”這一前提條件下對(duì)MONAKHOV等[5]的結(jié)論做了進(jìn)一步探討。MIAO等[7]給出了弱M-可補(bǔ)子群的概念，對(duì)G的超可解性進(jìn)行了探討。在以上研究工作的基礎(chǔ)上，筆者將主要考慮|G|的素因子5和7，利用給定階的弱M-可補(bǔ)子群的性質(zhì)，對(duì)群的合成因子結(jié)構(gòu)進(jìn)行探究。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[7]設(shè)G是群，H≤G。若?B≤G使得：(1)G=HB，(2)若H1/HG＜ ·H/HG，則H1B=BH1＜G，其中HG為包含在H中的G的極大正規(guī)子群，則稱子群H在G中是弱M-可補(bǔ)的。

定義2[8]設(shè)G是群，H≤G。若?B≤G，使得G=HB，且對(duì)?H1＜ ·H，有H1B＜G，則稱子群H在G中是M-可補(bǔ)的。子群B稱為H在G中的一個(gè)M-補(bǔ)。

引理1[5]設(shè)G是群，則

(1)設(shè)H≤M≤G，若H在G中弱M-可補(bǔ)，則H在M中弱M-可補(bǔ)。

(2)令N?G且N≤H。H在G中弱M-可補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng)H/N在G/N中弱M-可補(bǔ)。

引理2[5]設(shè)H為群G的一個(gè)弱M-可補(bǔ)子群，B為H在G中的弱M-補(bǔ)。若H1＜ ·H且HG≤H1，使得|H:H1|=p，則|G:H1B|=p。

引理3[1]設(shè)G是群，H≤G。若|G:H|=n，則|G:HG|為(n!，|G|)的因子。

引理4[9](Tate定理) 令P是G的一個(gè)Sylowp-子群，N為G的一個(gè)正規(guī)子群。如果N∩P≤Φ(P)，那么N是p-冪零的。

引理5[1](Frattini論斷)若N?G，P∈Sylp（N）,則G=NG(P)N。

引理6[10]設(shè)P∈Sylp(G)，且P是循環(huán)的。若P的某一個(gè)非平凡子群正規(guī)于G，則G是p-超可解的。

引理7[10]設(shè)P∈Sylp(G)，d是p的方冪且2＜d＜|P|。若P的每一個(gè)d階子群H都滿足H?G，則G是p-超可解的。

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)G是群，P是G的一個(gè)Sylow5-子群。若P在G中是弱M-可補(bǔ)的，則G的合成因子H/K滿足下列3種情形之一：

(1)H/K是5階循環(huán)群；(2)H/K是5′-群 ；(3)H/KA5。

證明因?yàn)镻在G中是弱M-可補(bǔ)的，所以存在B≤G，使得G=PB，且對(duì)于P的滿足P1/PG＜·P/PG的極大子群P1，都有P1B=BP1＜G。

情形1PG≠1。由引理1(2)知，G/PG的合成因子滿足定理結(jié)論且PG是可解群，進(jìn)而G的合成因子滿足定理結(jié)論。特別地，若P?G，則PG=P。于是G/P為 5′-群，即群列P?G的合成因子為 5′-群且P是可解群，因此，G的合成因子滿足定理結(jié)論。

情形2PG=1。在這種情形下，P在G中是M-可補(bǔ)的，于是?B≤G使得G=PB，且對(duì)?Pi＜·P都有PiB≤G。由引理2可知，|G:PiB|=5。令δ={Pi|?Pi＜ ·P}。 如果存在某個(gè)Pi∈δ，使得(PiB)G=1，那么由引理3知，G同構(gòu)嵌入S5。由S5的子群結(jié)構(gòu)知，|G|=5，10，60或120，即G的合成因子滿足定理結(jié)論。如果?Pi∈δ，都有(PiB)G≠ 1，那么 (1)若?Pi∈δ，使得P(PiB)G＜G，則由引理1(1)易知，P(PiB)G的合成因子滿足定理結(jié)論。因?yàn)?PiB)G?P(PiB)G，所以群列1?(PiB)G的合成因子滿足定理結(jié)論。又由引理3可知，G/(PiB)G同構(gòu)嵌入S5，所以G的合成因子滿足定理結(jié)論。(2)若對(duì) ?Pi∈δ，都有G=P(PiB)G，則G/(PiB)G=P(PiB)G/(PiB)GP/P∩(PiB)G同構(gòu)嵌入S5，即|G/(PiB)G|=5。又|G:PiB|=5，由|G:(PiB)G|=|G:PiB|·|PiB: |(PiB)G易知(PiB)G=PiB且G/PiB為5階循環(huán)群。由此可得G/∩(PiB)同構(gòu)于C5×…×C5的一個(gè)子群且為可解群，于是G/∩(PiB)滿足定理結(jié)論。若∩(PiB)=1，則G的合成因子滿足定理結(jié)論。若∩(PiB)≠ 1，則由引理4知，∩(PiB)為5-冪零，進(jìn)而G的合成因子滿足定理結(jié)論。

證畢。

定理 2設(shè)G是群，P是G的一個(gè)Sylow5-子群。若存在P的一個(gè)子群D滿足1＜D≤P，使得P的每一個(gè)階為|D|的子群H在G中是弱M-可補(bǔ)的，那么G的合成因子H/K滿足下列3種情形之一：

(1)H/K是5階循環(huán)群；(2)H/K是 5′-群；(3)H/KA5。

證明如果D=P，那么，由定理1可得證。下面假設(shè)1＜D＜P。分3種情形證明。

情形1P有一個(gè)真子群H滿足|H|=|D|，使得1＜HG＜H。

由引理1(2)知，G/HG的合成因子滿足定理結(jié)論且HG是可解群，進(jìn)而G的合成因子滿足定理結(jié)論。

情形2P有一個(gè)真子群H滿足|H|=|D|，使得HG=1。

在此情形下，H在G中是M-可補(bǔ)的，即?B≤G，使得G=HB，且對(duì) ?Hi＜ ·H，有HiB＜G。由引理 2，可得|G:HiB|=5。令δ={Hi|?Hi＜ ·H}，若?H1∈δ，使得 (H1B)G=1，則由引理3知，GG/(H1B)G同構(gòu)嵌入S5，于是G的Sylow5-子群的階為5，得到D=P，矛盾。因此，對(duì) ?Hi∈δ，有(HiB)G≠ 1。由引理5得G=(HiB)GNG(Pi)，其中Pi∈Syl5((HiB)G)。(1)若NG(Pi)＜G，則由引理1(1)知，(HiB)G的合成因子滿足定理結(jié)論，又G/(HiB)G同構(gòu)嵌入S5，所以G的合成因子也滿足定理結(jié)論。(2)若NG(Pi)=G，則Pi?G。如果P是循環(huán)的，則1 ≠Pi?G(若Pi=1，則P=D)。由引理6可知，G是5-超可解的，則G的合成因子也滿足定理結(jié)論。如果P非循環(huán)，則?Pj＜·P且Pj≠Pi。 若NG(Pj)＜G，通過與前面類似的證明，可得G的合成因子也滿足定理結(jié)論。若NG(Pj)=G，則Pj?G。于是P=PjPi?G，從而G/P是5-可解的，進(jìn)而G是5-可解的，因此G的合成因子也滿足定理結(jié)論。

情形3P的每一個(gè)階為|D|的真子群H，均滿足HG=H，即H?G。

由引理7可知，G是5-超可解的，則G的合成因子也滿足定理結(jié)論。

證畢。

定理 3設(shè)G是群，P是G的一個(gè)Sylow7-子群。若P在G中是弱M-可補(bǔ)的，則G的合成因子H/K滿足下列4種情形之一：

(1)H/K是7階循環(huán)群；(2)H/K是7′-群；(3)H/KA7；（4）H/KPSL(2,7)。

證明分以下2種情形：

情形1PG≠1。因?yàn)镻在G中是弱M-可補(bǔ)的，所以由引理1(2)知，G/PG的合成因子滿足定理結(jié)論，進(jìn)而G的合成因子滿足定理結(jié)論。特別地，當(dāng)P?G時(shí)，即PG=P，則G/P為 7′-群 ，由此可知P?G的合成因子為7′-群且P是可解群，因此G的合成因子滿足定理結(jié)論。

情形2PG=1。在這種情形下，P在G中是M-可補(bǔ)的，于是由引理2可知，?B≤G，使得

令δ={Pi|Pi＜ ·P}，若存在某個(gè)Pi∈δ，使得(PiB)G=1，由引理 3知，G同構(gòu)嵌入S7，由S7的子群結(jié)構(gòu)可知，G的合成因子滿足定理結(jié)論。若對(duì)?Pi∈δ，有(PiB)G≠ 1，則考慮(1)若 ?Pi∈δ，使得P(PiB)G＜G，則由引理1(2)知，P(PiB)G的合成因子滿足定理結(jié)論。因?yàn)?PiB)G?P(PiB)G，所以1?(PiB)G的合成因子滿足定理結(jié)論。又因?yàn)镚/(PiB)G同構(gòu)嵌入S7，所以G的合成因子滿足定理結(jié)論。(2)若對(duì) ?Pi∈δ，有G=P(PiB)G，則有其中(PiB)G的7-部分是P的極大子群，即又因?yàn)?PiB)G≤PiB，所以(PiB)G=PiB且G/PiB為7階循環(huán)群。由此可得G/∩(PiB)同構(gòu)嵌入于C7×…×C7且為可解群，于是G/∩(PiB)的合成因子滿足定理結(jié)論。若∩(PiB)=1，則G的合成因子滿足定理結(jié)論。若∩(PiB)≠ 1，則由引理4知，∩(PiB)為7-冪零，進(jìn)而G的合成因子滿足定理結(jié)論。

證畢。

定理 4設(shè)G是群，P是G的一個(gè)Sylow7-子群。若存在P的一個(gè)子群D滿足1＜D≤P，使得P的每一個(gè)階為|D|的子群H在G中是弱M-可補(bǔ)的，則G的合成因子H/K滿足下列4種情形之一：

(1)H/K是7階循環(huán)群；(2)H/K是7′-群 ；(3)H/KA7；(4)H/KPSL(2,7)。

證明如果D=P，由定理3可知結(jié)論成立。下面考慮1＜D＜P，分以下3種情形：

情形1P有一個(gè)真子群H滿足|H|=|D|，使得1＜HG＜H。

由引理1(2)及HG的可解性知，G的合成因子滿足定理結(jié)論。

情形2P有一個(gè)真子群H滿足|H|=|D|，使得HG=1。

在這種情形下，H在G中是M-可補(bǔ)的，即?B≤G，使得G=HB，且對(duì) ?Hi＜ ·H，有HiB＜G。由引理 2可得|G:HiB|=7。令δ={Hi|?Hi＜·H}。若?H1∈δ，使得 (H1B)G=1，則由引理3可得G同構(gòu)嵌入S7，即G的Sylow7-子群的階為7，得到D=P，矛盾。因此，對(duì)?Hi∈δ，有(HiB)G≠ 1。由引理4得G=(HiB)GNG(Pi)，其 中Pi∈Syl7((HiB)G)。若NG(Pi)＜G，則由引理1(1)知，(HiB)G滿足定理結(jié)論，又G/(H1B)G同構(gòu)嵌入S7，所以G的合成因子也滿足定理結(jié)論。若NG(Pi)=G，則Pi?G。如果P是循環(huán)的，則1 ≠Pi?G(若Pi=1，則P=D)。由引理 6可知，G是7-超可解的，因此G的合成因子滿足定理結(jié)論。如果P是非循環(huán)的，則?Pj＜·P且Pj≠Pi。若NG(Pj)＜G，與前面類似的證明，得G的合成因子也滿足定理結(jié)論。若NG(Pj)=G，則Pj?G。于是P=PjPi?G，從而G/P是7-可解的，進(jìn)而G也是7-可解的，因此G的合成因子也滿足定理結(jié)論。

情形3P的每一個(gè)階為|D|的真子群H，均滿足HG=H，即H?G。

由引理7可知，G是7-超可解的，則G的合成因子也滿足定理結(jié)論。

證畢。