孫文兵

（邵陽(yáng)學(xué)院理學(xué)院,湖南邵陽(yáng)422000）

函數(shù)凸性在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、管理科學(xué)、工程和優(yōu)化等領(lǐng)域有非常重要的應(yīng)用。目前，很多學(xué)者展開(kāi)了對(duì)函數(shù)凸性推廣的研究。WEIR等[1-2]提出了預(yù)不變凸函數(shù)的定義：

定義 1設(shè)A?Rn，若存在一個(gè)向量函數(shù)η:Rn×Rn→Rn，對(duì)任意x,y∈A,0≤λ≤ 1,有

則稱A是不變凸集。

定義2設(shè)A?Rn是一個(gè)關(guān)于η:Rn×Rn→Rn的不變凸集。f:A→R是一個(gè)函數(shù)。若對(duì)任意x,y∈A,0≤λ≤ 1，有

則稱函數(shù)f是預(yù)不變凸的。

顯然，當(dāng)式(1)中，取η(x,y)=x-y時(shí)，f便是一個(gè)凸函數(shù)，因此凸函數(shù)是一個(gè)關(guān)于η(x,y)=x-y的預(yù)不變凸函數(shù)，而預(yù)不變凸函數(shù)是凸函數(shù)的一種推廣。關(guān)于預(yù)不變凸函數(shù)的性質(zhì)，可參閱文獻(xiàn)[3-4]。

Hermite-Hadamard不等式的推廣研究是與函數(shù)凸性緊密相關(guān)的，該不等式敘述如下:

令f:I?R→R是一個(gè)凸函數(shù)，其中a,b∈I，a＜b，則

如果f是凹的,則不等式反號(hào)。根據(jù)不同的凸性定義，涌現(xiàn)了許多Hermite-Hadamard不等式的新研究結(jié)果[5-8]。自提出預(yù)不變凸函數(shù)定義以來(lái)，相繼出現(xiàn)了Hermite-Hadamard不等式與預(yù)不變凸函數(shù)相關(guān)的研究[9-12]。NOOR[9]證明了關(guān)于預(yù)不變凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式。

定理1令f:K=[a,a+η(b,a)]→(0,∞)是區(qū)間K°上的一個(gè)預(yù)不變凸函數(shù)(K°是K的內(nèi)部)，a,b∈K°且a＜a+η(b,a)。則有

注1若η(x,y)=x-y,不等式(3)變成了不等式(2),即不等式(3)是經(jīng)典的Hermite-Hadamard不等式的推廣。

BARANI等[10]推廣了函數(shù)導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值是預(yù)不變凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型積分不等式，得到:

定理 2設(shè)A?R是一個(gè)關(guān)于θ:A×A→R的開(kāi)的不變凸集，f:A→R是一個(gè)可微函數(shù)。如果|f′|在A上是預(yù)不變凸的，那么對(duì)每一個(gè)a,b∈A且θ(b,a)≠ 0，有

定理3設(shè)A?R是一個(gè)關(guān)于θ:A×A→R的開(kāi)的不變凸集，f:A→R是一個(gè)可微函數(shù)。假設(shè)p∈R且p＞ 1，如果|f′|p/(p-1)在A上是預(yù)不變凸的，那么對(duì)每一個(gè)a,b∈A且θ(b,a)≠0，有

近年來(lái)，分形理論廣受關(guān)注，因?yàn)樵S多微積分方程描述的物理現(xiàn)象往往涉及一些連續(xù)不可微函數(shù)，而經(jīng)典微積分并不能處理這類函數(shù)，此類函數(shù)被稱為分形曲線。于是，越來(lái)越多的研究者將所研究的問(wèn)題推廣到分形空間。YANG等[13-14]系統(tǒng)闡述了一種分形集理論并定義了該空間中的分形微積分，稱為局部分?jǐn)?shù)階微積分。MO等[15-16]根據(jù)這一理論將函數(shù)經(jīng)典凸性和S-凸函性推廣到分形空間并證明了分形空間中的廣義Hermite-Hadamard不等式。

定義 3[15]設(shè)f:I?R→Rα，對(duì)任意x1,x2∈I且λ∈[0,1],若有

則稱f為定義在I上的廣義凸函數(shù)(不等號(hào)反向，則稱f為廣義凹函數(shù))。

定理 4[15]令f(x)∈I(α)x[a,b]為區(qū)間[a,b]上的一個(gè)廣義凸函數(shù)，a＜b，則

文獻(xiàn)[17]提出了分形空間Rα(0＜α≤1)中的廣義調(diào)和凸函數(shù)的定義，并證明了相關(guān)的Hermite-Hadamard型不等式。關(guān)于分形空間中積分不等式的一些新研究結(jié)果可參閱文獻(xiàn)[18-22]等。

在YANG提出的分形集理論以及局部分?jǐn)?shù)階微積分理論基礎(chǔ)上，本文提出了分形空間上廣義預(yù)不變凸函數(shù)的定義，并建立了與廣義預(yù)不變凸函數(shù)相關(guān)的Hermite-Hadamard型積分不等式。文中所得推廣了文獻(xiàn)[9-10]中的一些結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

根據(jù)YANG的分形集理論，令Rα(0＜α≤1)為分形實(shí)線的α型集合，是一個(gè)維數(shù)為α維的分形集，其運(yùn)算律規(guī)定義如下[13]:

若aα,bα,cα∈Rα，則

(a)aα+bα∈Rα，aαbα∈Rα，

(b)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α，

(c)aα+(bα+cα)=(a+b)α+cα，

(d)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α，

(e)aα(bαcα)=(aαbα)cα，

(f)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα，

(g)aα+0α=0α+aα=aα且aα1α=1αaα=aα，

(h)|aα|-|bα|≤ |aα+bα|≤ |aα|+|bα|，

(I)(a-b)α=aα-bα。

引理1[13]

局部分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和局部分?jǐn)?shù)階積分的定義可參閱文獻(xiàn)[13]，文獻(xiàn)[15-22]中也有介紹，此處只介紹下文將要用到的幾個(gè)記號(hào):

(1)f(x)在區(qū)間[a,b]上局部分?jǐn)?shù)階連續(xù)，記為f(x)∈Cα[a,b]；

(2)f(x)在區(qū)間[a,b]上α階局部分?jǐn)?shù)階可導(dǎo)，記為f(x)∈Dα[a,b]；

(3)對(duì)f(x)在區(qū)間[a,b]上α階局部分?jǐn)?shù)階積分 ，記 為aI(α)bf(x)。 若 對(duì) 任 意x∈[a,b]，有aI(α)xf(x)存在，則記為f(x)∈I(α)x[a,b]。

引理2[13]

（1） 若f(x)=g(α)(x)∈Cα[a，b]，則

（2） 若f(x)，g(x)∈Dα[a，b]，且f(α)(x),g(α)(x)∈Cα[a，b]，則

引理3[13]

引理4[13](廣義H?lder不等式)令，則

2 主要結(jié)果

下面給出分形空間Rα(0＜α≤1)中廣義預(yù)不變凸函數(shù)的定義。

定義4設(shè)A?Rn是一個(gè)關(guān)于η:Rn×Rn→Rn的不變凸集。f:A→Rα是一個(gè)函數(shù)。若對(duì)任意x,y∈A,0≤λ≤ 1，有

則稱函數(shù)f是關(guān)于η的廣義預(yù)不變凸函數(shù)。函數(shù)f是廣義預(yù)不變凹函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)-f是廣義預(yù)不變凸函數(shù)。

注 2在式(8)中，當(dāng)η(x,y)=x-y時(shí)，f便是一個(gè)廣義凸函數(shù)(定義3)，因此廣義凸函數(shù)是一個(gè)關(guān)于η(x,y)=x-y的廣義預(yù)不變凸函數(shù)，而廣義預(yù)不變凸函數(shù)就是廣義凸函數(shù)的推廣。

下面關(guān)于雙重函數(shù)η(·,·)的討論中，需要給出以下假設(shè)[4]:

條件C令I(lǐng)?R是一個(gè)不變凸集，對(duì)任意的x,y∈I,t∈[0,1]，雙重函數(shù)η(·, ·)滿足

注 3對(duì)每個(gè)x,y∈I,t1,t2∈[0,1]，由條件C，有η(y+t2η(x,y),y+t1η(x,y))=(t2-t1)η(x,y)。

定理5(廣義預(yù)不變凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式)令f:K=[a,a+η(b,a)]→Rα(α∈(0,1])，是區(qū)間K°上的一個(gè)廣義預(yù)不變凸函數(shù)(K°是K的內(nèi)部)且a,b∈K°，a＜a+η(b,a)。若f(x)∈I(α)x[a,a+η(b,a)]，雙 重 函 數(shù)η(·, ·)滿 足條件C，則

證明由f:K=[a,a+η(b,a)]→Rα是區(qū)間K°上的一個(gè)廣義預(yù)不變凸函數(shù)，在不等式(8)中，取λ=則對(duì)所有的x,y∈K°，有

令x=a+tη(b,a),y=a+(1-t)η(b,a), 并代入上式，可得

由條件C的注3，有

于是由上式可得

上式兩邊對(duì)t在[0,1]上局部分?jǐn)?shù)階積分，可得

由引理3和引理1，有

另一方面，

由于f是一個(gè)廣義預(yù)不變凸函數(shù)，令x=a+tη(b,a),t∈[0,1]，由式(11),有

由式(10)和(12),可知定理成立。證畢。

注4 定理 5中，取α=1，則由不等式 (9)可得不等式(3)。

推論 1定理 5中，取η(b,a)=b-a且a＜b，有以下類似于定理4的局部分?jǐn)?shù)階積分不等式：

注5推論1中，取α=1，則由不等式 (13)也可得到經(jīng)典的Hermite-Hadamard不等式(2)。

引理 5令I(lǐng)?R是關(guān)于η:I×I→R的一個(gè)開(kāi)的不變凸集，a,b∈I,η(b,a)≠ 0。如果f:I→Rα(α∈(0,1])使 得f∈Dα(I)且f(α)(x)在η- 路 徑Pav,v=a+η(b,a)上局部分?jǐn)?shù)階可積，則

其中，η-路徑Pav:={z|z=a+tη(b,a),t∈[0,1]}是連接a與v=a+η(b,a)之間的路徑[10]。

證明設(shè)a,b∈I，因?yàn)镮是關(guān)于η的不變凸集，對(duì)每一個(gè)t∈[0,1]，有a+tη(b,a)∈I。由局部分?jǐn)?shù)階分部積分,可得

其中用到換元x=a+tη(b,a)。證畢。

定理 6令I(lǐng)?R是關(guān)于η:I×I→R的一個(gè)開(kāi) 的 不 變 凸 集。如果f:I→Rα(α∈(0,1])使得f∈Dα(I) 且f(α)∈Cα[a,a+η(b,a)]， 其中a,b∈I,a＜a+η(b,a)；|f(α)| 在區(qū)間 [a,a+η(b,a)]上是廣義預(yù)不變凸函數(shù)。則對(duì)所有的x∈[a,a+η(b,a)]，有

證明設(shè)a,b∈I，因?yàn)镮是關(guān)于η的不變凸集，對(duì)每一個(gè)t∈[0,1]，有a+tη(b,a)∈I。式(14)兩邊取模，由 |f(α)|在區(qū)間[a,a+η(b,a)]上是廣義預(yù)不變凸函數(shù)，則有

由分形集中元素運(yùn)算律(I)以及引理3，有

同理可得

將式(18)、(19)代入式(17)，可得式 (16)，定理得證。

注 6定理6中，取α=1，則由不等式(16)可得到定理2中的不等式(4)。

推論2定理6中 ，取η(b,a)=b-a且a＜b，則有

定理 7令I(lǐng)?R是關(guān)于η:I×I→R的一個(gè)開(kāi)的不變凸集 。 如果f:I→Rα(α∈(0,1])使 得f∈Dα(I)且f(α)∈Cα[a,a+η(b,a)]，其中a，b∈I在區(qū)間[a,a+η(b,a)]上是廣義預(yù)不變凸函數(shù)，其中p＞1。則對(duì)所有的x∈[a,a+η(b,a)]，有

證明設(shè)a,b∈I，等式(14)兩邊取模，由廣義H?lder不等式，有

由引理3，計(jì)算可得

將式 (23)、(24)代入式(22)，可得不等式(21)，定理得證。

注7定理7中，取α=1，則由不等式 (21)可得定理3中的不等式(5)。

推論3定理7中，取η(b,a)=b-a且a＜b，則有

定理 8令I(lǐng)?R是關(guān)于η:I×I→R的一個(gè)開(kāi)的不變凸集。如果f:I→Rα(α∈(0,1])使得f∈Dα(I)且f(α)∈Cα[a,a+η(b,a)]， 其中a,b∈I,a＜a+η(b,a)；|f(α)|q在區(qū)間[a,a+η(b,a)]上是廣義預(yù)不變凸函數(shù)，其中q≥1。則對(duì)所有的x∈[a,a+η(b,a)]，有

證明設(shè)a,b∈I，式(14)兩邊取模,由廣義冪均不等式[23]以及 |f(α)|q在區(qū)間 [a,a+η(b,a)]上是廣義預(yù)不變凸函數(shù),可得

由引理3，經(jīng)計(jì)算可得

將式(18)、(19)、(28)代入式(27)，可得不等式(26)，定理得證。

注 8定理8中，取q=1，則由不等式(26)可得到定理6中的不等式(16)，因此定理8又是定理6的推廣。

推論4定理 8中，取η(b,a)=b-a且a＜b，則有

推論5定理 8中，取α=1，則由不等式(26)，有

注 9推論5中，取q=1，則由不等式(30)可得到定理2中的不等式(4)。