閆東明

（浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，浙江杭州310018）

0 引 言

一個(gè)具有A和B2種組元的復(fù)合物質(zhì)稱(chēng)為二元體，如溶液合金、聚合物等。當(dāng)二元體冷卻到一定溫度后可能發(fā)生相分離，即原來(lái)濃度均勻分布的A和B出現(xiàn)不均勻分布。為了研究二元體合金系統(tǒng)在三相點(diǎn)處的相分離現(xiàn)象，CAHN等[1]導(dǎo)出了如下形式的Cahn-Hilliard/Allen-Cahn偏微分方程組（記為CH/AC)：

其中，未知函數(shù)u是一個(gè)守恒量，表示一種組元的濃度，v是一個(gè)序參數(shù)。此外，h是一個(gè)代表晶格間距的正參數(shù)，α代表相圖中的系統(tǒng)位置。Δ是拉普拉斯算子，Ω?Rn(1≤n≤3)是有界區(qū)域,并且式(1)是一個(gè)包含 Cahn-Hillard方程和Allen-Cahn方程的耦合系統(tǒng)。顯然，當(dāng)u=1/2時(shí)式(1)退化為Allen-Cahn方程；當(dāng)v=0時(shí)式(1)退化為Cahn-Hillard方程。對(duì)于Allen-Cahn方程以及Cahn-Hillard方程，無(wú)論是適定性還是穩(wěn)定性，學(xué)者們均做了廣泛研究[2-7,12-13]。特別是MA等[12-13]對(duì)Cahn-Hillard方程的分歧做了深入研究，得到了Cahn-Hillard方程有吸引子分歧存在的結(jié)果。

對(duì)二元體合金相分離現(xiàn)象的CH/AC模型研究已取得一些進(jìn)展。BROCHET等[8]得到了CH/AC系統(tǒng)最大吸引子的存在性。NOVICK-COHEN[9]研究了CH/AC系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為。GOKIELI等[10]研究了約束條件下的 CH/AC系統(tǒng)，獲得了CH/AC系統(tǒng)全局吸引子的存在性，并證明了初始值ω-極限集的任何元素均為CH/AC系統(tǒng)相應(yīng)靜態(tài)問(wèn)題的解。GOKIELI等[11]給出了一種求解CH/AC系統(tǒng)的數(shù)值方法，并給出了CH/AC系統(tǒng)相應(yīng)靜態(tài)問(wèn)題解的數(shù)值模擬圖像，這些數(shù)值模擬結(jié)果為理解和研究二元體合金相分離現(xiàn)象提供了直觀認(rèn)識(shí)。對(duì)于具有更一般非線性項(xiàng)的CH/AC系統(tǒng)，即具有梯度流結(jié)構(gòu)的演化方程，閆東明[14]給出了一些適定性和穩(wěn)定性的結(jié)果。

對(duì)CH/AC系統(tǒng)的理論和數(shù)值研究均取得了重要進(jìn)展。然而，這些研究對(duì)諸如二元體何時(shí)發(fā)生相分離、影響二元體相分離的因素有哪些等問(wèn)題均未給出很好的回答。本文試圖通過(guò)對(duì)CH/AC系統(tǒng)靜態(tài)分歧的研究，就上述問(wèn)題給出一些回答。

研究如下問(wèn)題：

其中，h,α＞0如式(1)所示，Δ是拉普拉斯算子，Ω?Rn(1≤n≤3)是有界區(qū)域。研究當(dāng)參數(shù)λ變化時(shí)的分歧情況。

運(yùn)用非線性分歧理論以及零指標(biāo)Fredholm算子的相關(guān)性質(zhì)，證明了二元體相分離模型的靜態(tài)方程(2)當(dāng)參數(shù)λ超過(guò)某個(gè)臨界值時(shí)有分歧發(fā)生，即該方程從平凡解(u,v)=(1/2,0)分歧出非平凡解，意味著2種物質(zhì)的均勻分布狀態(tài)失去穩(wěn)定，達(dá)到另一種非均勻分布的平衡態(tài)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的二元體有相分離現(xiàn)象發(fā)生。另外，得到的臨界值與代表晶格間距的正參數(shù)h與該模型線性問(wèn)題第一特征值有關(guān)，意味著影響二元體相分離現(xiàn)象發(fā)生的主要因素有晶格間距以及二元體所在的區(qū)域大小及其形狀。更進(jìn)一步的分析表明，晶格間距越小或者二元體所在區(qū)域直徑越大，二元體越容易發(fā)生相分離現(xiàn)象。

1 預(yù)備知識(shí)及引理

本文工作空間如下：

首先，考慮式(2)在平凡解(u,v)=(1/2,0)處的線性特征值問(wèn)題，即

的特征值和特征函數(shù)。

令ρk和ek是

的特征值和特征函數(shù)，則有

時(shí)，式(4)的特征值和特征函數(shù)為

其中，

對(duì)于線性特征值問(wèn)題(3)，有以下引理：

引理1若線性特征值問(wèn)題(3)的特征值為(λ)(j=1,2,k=1,2,…)，則(λ)是 實(shí) 的 ，且滿(mǎn)足

其中λ0=h2ρ1+3/2。 并且，特征值(λ)對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為

其中ek如式(4)所示。

注1由線性穩(wěn)定性理論，引理1意味著當(dāng)λ＜h2ρ1+3/2時(shí)，式(1)的平衡態(tài)(u,v)=(1/2,0)是穩(wěn)定的，即對(duì)初始值的任何小擾動(dòng),系統(tǒng) (1)隨時(shí)間的演化最終回到平衡態(tài)(u,v)=(1/2,0)，此時(shí)二元體仍然處于2種物質(zhì)均勻分布的狀態(tài)；當(dāng)λ＞h2ρ1+3/2時(shí)，式 (1)的平衡態(tài)(u,v)=(1/2,0)是不穩(wěn)定的，即對(duì)初始值的任何小擾動(dòng)，系統(tǒng)(1)隨時(shí)間的演化到達(dá)異于(u,v)=(1/2,0)的另一個(gè)平衡態(tài)，該平衡態(tài)是靜態(tài)方程(2)的非平凡解，此時(shí)二元體有相分離現(xiàn)象發(fā)生。

證明設(shè)μ是式(3)的特征值，且其對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為(u1,u2)。由 Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)，存在 {an}和{bn}，使得

將式(8)代入式(3)，方程兩邊乘以ek，并在區(qū)域Ω上積分，可得

令Mk(λ)矩陣為

則式(9)等價(jià)于：

因此 ，式 (3)的特征值μ:=(λ)(j=1,2,k=1,2,…)由矩陣Mk(λ)的特征值給出，即

其對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為

由式(10)易得引理其他結(jié)論。引理1證畢。

下面給出一個(gè)關(guān)于參數(shù)化非線性算子方程解集結(jié)構(gòu)的結(jié)果。此結(jié)果是本文將要用到的主要研究工具。

假設(shè)X1,X0為Banach空間。令F:X1×R→X0為非線性可微映射，考慮抽象方程

在參數(shù)λ變化時(shí)的分歧。以下用N(L)和R(L)分別表示線性算子L的核空間和值域空間；FU表示F關(guān)于U的 Fréchet偏導(dǎo),FλU表示F關(guān)于U和λ的Fréchet混合偏導(dǎo)。

引理2[15]令V是X1×R的連通開(kāi)子集，(U0,λ)∈V，F(xiàn):V→X0是連續(xù)可微映射。假設(shè)以下條件成立：

（i）F(U0,λ)=0, (U0,λ)∈V。

（ii）FλU(U,λ)存在，且在 (U0,λ0)關(guān)于 (U,λ)連續(xù)。

（iii）FU(U0,λ0)是零指標(biāo) Fredholm 算子，且dimN(FU(U0,λ0))=1。

（iv）FλU(U0,λ0)[ω0]?R(FU(U0,λ0)), 其 中ω0∈X0，且N(FU(U0,λ0))=span{ω0}。

令Z是span{ω0}在X0中的補(bǔ)空間。則存在開(kāi)區(qū)間I1=(-ε,ε)以及連續(xù)函λ:I1→R,h:I1→Z,使得λ(0)=λ0,h(0)=0,如果對(duì)s∈I1有

則F(U(s),λ(s))=0,并且在(U0,λ0)附近F-1{0}由曲線U=U0和Γ={(U(s),λ(s)):s∈I1}組成。

2 主要結(jié)果及證明

本節(jié)將運(yùn)用引理2進(jìn)一步研究當(dāng)參數(shù)λ變化時(shí)的式(2)的分歧情況。

定理 1假設(shè)式(5)中的ρ1是簡(jiǎn)單的，其對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為e1。則方程(2)在(u,v,λ)=(1/2,0,h2ρ1+3/2)附近有唯一的單參數(shù)非平凡解簇：

即存在ε以及從 (-ε,ε)到X1×R的C∞函數(shù)s? (U(s),λ(s))滿(mǎn)足

其中h1(0)=h2(0)=0。

注2當(dāng)二元體所在區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)方體時(shí)，即當(dāng)

時(shí)，由式(7)易見(jiàn)第一特征值ρ1是簡(jiǎn)單的，條件是自動(dòng)滿(mǎn)足的，這意味著ρ1的簡(jiǎn)單條件在實(shí)驗(yàn)中易被實(shí)現(xiàn)。

注3線性穩(wěn)定性分析指出：當(dāng)λ＞h2ρ1+3/2時(shí)，式(2)有非平凡解存在的可能性。定理1進(jìn)一步說(shuō)明式(2)的確有非平凡解存在，并且還給出了該非平凡解的具體表達(dá)式式(12)。當(dāng)Ω為一維區(qū)間時(shí)，由非平凡解的具體表達(dá)式得到的二元體物質(zhì)分布的圖像和文獻(xiàn)[11]數(shù)值模擬得到的圖像是一致的。這意味著定理1很好地回答了二元體什么時(shí)候發(fā)生相分離的問(wèn)題，并且還給出了二元體相分離后的具體狀態(tài)。

注4條件λ＞h2ρ1+3/2中涉及的值h與晶格間距有關(guān)，而ρ1與二元體所在的區(qū)域大小及其形狀有關(guān)，且與區(qū)域直徑成反比。由此可知，影響二元體相分離的主要因素為晶格間距和二元體所在的區(qū)域。進(jìn)一步，由定理1以及條件λ＞h2ρ1+3/2知，h越小，式(2)越容易發(fā)生分歧，ρ1越小，式(2)越容易發(fā)生分歧，這意味著晶格間距越小或者二元體所在區(qū)域直徑越大，二元體越容易發(fā)生相分離。

證明定義非線性映射F:X1×R→X0×R：

則式(2)等價(jià)于

顯然，F(xiàn)(1/2,0,λ)=0，并且F是連續(xù)可微的，即滿(mǎn)足引理2中條件(i)。下面分2步驗(yàn)證引理2中其他條件成立。

第1步證明FU(1/2,0,h2ρ1+3/2)是零指標(biāo)的Fredholm算子，并且

其中U=(u,v)。

直接計(jì)算可得

定義算子B,C:X1→X0×R：

則有

易見(jiàn)C:X1→X0×R是線性緊算子。由緊擾動(dòng)不會(huì)改變Fredholm算子指標(biāo)的事實(shí)，以下只需證明B:X1→X0×R是零指標(biāo)的Fredholm算子。

易證B:X1→X×{0}是零指標(biāo)的Fredholm算子。事實(shí)上，令D,E:X1→X×{0}為：

則有

易見(jiàn)D:X1→X×{0}是可逆算子，其逆為D-1:X×{0}→X1。式(16)兩邊同乘D-1，可得

顯然

是恒等算子。由橢圓算子的正則性估計(jì)以及Sobolev空間緊嵌入定理，有

從而ED-1,D-1E都是線性緊算子。恒等算子與緊算子的和是Fredholm算子，所以由式(17)和 (18)，可推出BD-1,D-1B都是Fredholm算子，從而有

顯然有

由式(19)和 (20)，得

因此，B:X1→X×{0}是Fredholm算子。又B的共軛B*=B，由Fredholm算子指標(biāo)的性質(zhì)，有

這意味著B(niǎo):X1→X×{0}是零指標(biāo)Fredholm算子。由此可得

其中W是X×{0}的一個(gè)閉子集，且滿(mǎn)足

從而有

又B:X1→X0×R。所以有

其中，

因此，

所以有

由式(23）～（25)，可推出R(B)在X0×R中的余維數(shù)滿(mǎn)足:

這意味著B(niǎo):X1→X0×R是零指標(biāo)Fredholm算子。從而，由C的緊性以及式 (15)，推出FU(1/2,0,h2ρ1+3/2)是零指標(biāo)的Fredholm算子。另外，由ρ1簡(jiǎn)單的假設(shè)條件以及引理1，可推出

從而

因此，引理2中條件(iii)被滿(mǎn)足。

第2步證明

筆者稱(chēng)R(FU(1/2,0,h2ρ1+3/2))具有以下特征：

事實(shí)上，若

則存在(φ1,ψ1)∈X1，使得

定義L:X1→X0：

則L*=L。 由式(26)和(29)，有

從而有

由此可知，若

則有

這意味著

定義了X0×R中的一個(gè)余維為1的集合。另一方面，由FU(1/2,0,h2ρ1+3/2)是零指標(biāo)的 Fredholm算子以及式(27)，有

因此，由式(32)和(33)，可推出式(28)成立。

易見(jiàn)

而由式(5)，有

因此

即引理2中條件(ii)和(iv)被滿(mǎn)足。

綜上，引理2的所有條件均被滿(mǎn)足。定理1的結(jié)論可由引理2推出。定理證畢。