姜文敏

摘要：學(xué)生在計(jì)算三角形面積時(shí)經(jīng)常會(huì)忘記除以2。如何減少這樣的錯(cuò)誤？教學(xué)《三角形的面積計(jì)算》一課，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)合理猜想，獲得初始認(rèn)知;經(jīng)歷操作過(guò)程，增加感性經(jīng)驗(yàn);分析歸納推理，探索計(jì)算公式;變化萬(wàn)千形象，推演計(jì)算真知。

關(guān)鍵詞：三角形的面積計(jì)算 猜想 操作 歸納 變式

“為什么這些學(xué)生會(huì)在計(jì)算三角形面積時(shí)忘記除以2？其中還有一些平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)比較好的學(xué)生！我教學(xué)時(shí)也用兩個(gè)三角形去拼了，也讓每一個(gè)學(xué)生都默寫計(jì)算公式了，可是一測(cè)試，還是有七八個(gè)學(xué)生忘記除以2?！币陨鲜且晃磺嗄杲處熢谠嚲矸治鰰r(shí)所抱怨的一些話語(yǔ)。粗聽(tīng)之下，確實(shí)沒(méi)錯(cuò)，該教的都教了，該背的都背了，該練的都練了，那肯定是學(xué)生方面出了問(wèn)題。但是細(xì)細(xì)思之，如何把握平面圖形計(jì)算的教學(xué)？如何讓學(xué)生真正地理解計(jì)算方法？對(duì)于這些，我們也許做得還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

下面，筆者以《三角形的面積計(jì)算》一課的幾個(gè)教學(xué)片段為例，闡述如何讓學(xué)生真正掌握三角形的面積計(jì)算，把握知識(shí)、方法的本質(zhì)，提升思維的穩(wěn)固性。

一、展開(kāi)合理猜想，獲得初始認(rèn)知

絕大部分定理都是從猜想開(kāi)始的，并且學(xué)生對(duì)要學(xué)的新知并不是一無(wú)所知。教師可讓學(xué)生根據(jù)自己的已有知識(shí)（前概念），結(jié)合自己的理解進(jìn)行大膽猜想，邁出走進(jìn)知識(shí)殿堂的第一步。

【片段1】

師（出示平行四邊形圖）這個(gè)平行四邊形的面積怎樣計(jì)算？

生平行四邊形的面積=底×高。

師（出示與平行四邊形等底、等高的三角形）這個(gè)三角形的面積如何計(jì)算呢？大膽猜測(cè)一下。

生底×高。

師將三角形的面積和平行四邊形的面積大小比一比，它們能一樣進(jìn)行計(jì)算嗎？

生底×高÷2。

師“底×高”算的是什么？為什么剛好要“÷2”？這些正是這節(jié)課同學(xué)們要通過(guò)自己的實(shí)踐去探索的三角形面積計(jì)算問(wèn)題。

二、經(jīng)歷操作過(guò)程，增加感性經(jīng)驗(yàn)

“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行?！痹谄矫鎴D形計(jì)算教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生形成自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。具體到三角形面積計(jì)算的教學(xué)，要讓學(xué)生經(jīng)歷三角形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，還原推導(dǎo)的原始操作，經(jīng)歷知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”過(guò)程。

【片段2】

教師提供9個(gè)三角形，其中有3對(duì)是全等三角形，分別是銳角、直角、鈍角三角形;還有3個(gè)是干擾圖形，分別和3組全等三角形相似，但不完全一樣（如圖1）。學(xué)生動(dòng)手拼平行四邊形時(shí)，基本上都能用全等的三角形拼出平行四邊形，個(gè)別小組把干擾的三角形通過(guò)剪的方式也拼成了平行四邊形。

這樣設(shè)計(jì)的目的是讓學(xué)生在動(dòng)手操作的過(guò)程中明白“只有完全一樣的三角形才能拼成平行四邊形”。學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手操作，用兩個(gè)完全一樣的三角形拼出了平行四邊形，這樣獲得的感性認(rèn)識(shí)特別深刻。同時(shí)，干擾圖形的出現(xiàn)也讓學(xué)生加深了對(duì)“兩個(gè)完全一樣的三角形”這一前提條件的認(rèn)識(shí)。

至于由一個(gè)三角形剪拼成平行四邊形，進(jìn)而推導(dǎo)出三角形面積公式的方法，本課不多做說(shuō)明，只點(diǎn)到為止，埋下伏筆。

三、分析歸納推理，探索計(jì)算公式

美國(guó)教育家布魯納指出：教學(xué)不是帶領(lǐng)學(xué)生銘記已有的結(jié)果，而是教他們?nèi)绾螀⑴c知識(shí)獲取的過(guò)程。因此，三角形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程應(yīng)該是學(xué)生在動(dòng)手操作以后，根據(jù)自己操作的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行觀察、比較，然后分析、推理的過(guò)程。

【片段3】

師（出示表1）請(qǐng)把你們剛剛動(dòng)手拼的三角形和所組成的平行四邊形的條件都填進(jìn)表中。

師你是怎樣填寫的？為什么平行四邊形的高是5厘米，三角形的高也是5厘米？為什么平行四邊形的底是6厘米，三角形的底也是6厘米？小組討論、比較一下。你有什么發(fā)現(xiàn)？

生三角形的底相當(dāng)于平行四邊形的底，三角形的高相當(dāng)于平行四邊形的高;三角形的面積是平行四邊形面積的一半。

師三角形的面積為什么是平行四邊形面積的一半呢？

（教師追問(wèn)幾個(gè)學(xué)生，直到學(xué)生答出“兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，每個(gè)三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半”。）

師由此，我們可以怎樣計(jì)算三角形的面積呢？

生三角形的面積=底×高÷2。

師“底×高”算的是什么？為什么要“÷2”？

生“底×高”算的是兩個(gè)完全一樣的三角形拼成的平行四邊形的面積。“÷2”是因?yàn)槠叫兴倪呅问怯蓛蓚€(gè)完全一樣的三角形拼成的，每個(gè)三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半。

師所以我們計(jì)算三角形的面積只要知道什么條件即可？

生底和高。

考慮到學(xué)生的實(shí)際情況，這里教師通過(guò)設(shè)問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理。對(duì)于三角形的面積公式，一定要通過(guò)反復(fù)的追問(wèn)，使學(xué)生明確“底×高”求的是什么，為什么要“÷2”。這對(duì)于學(xué)生理解和掌握三角形的面積計(jì)算方法很重要。對(duì)這樣的學(xué)習(xí)成果，學(xué)生理解得透徹、掌握得扎實(shí)，便能在以后的學(xué)習(xí)中熟練運(yùn)用，不犯或少犯錯(cuò)誤。

四、變化萬(wàn)千形象，推演計(jì)算真知

“題有千變，貴在有根?！边@是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)先生談到數(shù)學(xué)解題時(shí)說(shuō)過(guò)的一句名言。教學(xué)《三角形的面積計(jì)算》時(shí)，就應(yīng)該以“三角形的面積計(jì)算”為根，出現(xiàn)多種變式題目，讓學(xué)生能在眾多變化的復(fù)雜環(huán)境中選擇正確的解題方法。

變化的題目多種多樣，可以改變?nèi)切蔚念愋?，多出現(xiàn)鈍角、直角三角形;改變?nèi)切螖[放的位置，使底和高出現(xiàn)在三角形的上方;增加底和高進(jìn)行干擾，如出現(xiàn)2個(gè)底和1個(gè)高;放在實(shí)際的生產(chǎn)、生活中，如有一塊三角形的土地，求一共收獲多少千克蘿卜，或者求每平方米有多少棵白菜;逆向練習(xí)，如“已知三角形的面積是20平方厘米，底是5厘米，則高是多少厘米？”，特別是在學(xué)生列出算式20×2÷5后，追問(wèn)學(xué)生“20×2”求的是什么，為什么要先“×2”……

參考文獻(xiàn)：

[1] 郭庶，王瑞霖.弗萊登塔爾再創(chuàng)造理論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出的挑戰(zhàn)[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015（5）.

[2]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]王林.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究與實(shí)踐[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

[4]潘紅娟.是一種思想，更是一種策略——“三角形的面積練習(xí)”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2016（Z3）.