陳蓓

摘要：高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)研究，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評研究的重點。從國際數(shù)學(xué)課程視野、國際比較測試項目的角度，分析數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的要素。在此基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)進行分級分類：數(shù)學(xué)抽象（數(shù)學(xué)表征、抽象思考），邏輯推理（合情推理、演繹推理），數(shù)學(xué)建模（問題提出、模型建構(gòu)、解釋驗證），數(shù)學(xué)運算（運算法則、運算策略），直觀想象（幾何直觀、空間想象），數(shù)據(jù)分析（獲取數(shù)據(jù)、加工數(shù)據(jù)、解釋數(shù)據(jù)）。并分析每一級每一類評價指標(biāo)的具體內(nèi)涵，確保評價標(biāo)準的科學(xué)性和可行性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)國際數(shù)學(xué)課程國際比較測試項目

人作為社會公民，需要具備何種素養(yǎng)？對于此問題，教育部印發(fā)《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》這一文件，并發(fā)布《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》等研究成果，使“核心素養(yǎng)”一詞受到廣泛關(guān)注。將問題聚焦到具體學(xué)科，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)？《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。

高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)研究，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評研究的重點。本文在分析國內(nèi)外一些國家和地區(qū)的數(shù)學(xué)課程以及國際比較測試項目對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求的基礎(chǔ)上，初步構(gòu)建高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)的結(jié)構(gòu)，分析二級指標(biāo)的具體內(nèi)涵。

一、數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價的要素分析

（一）國際數(shù)學(xué)課程視野下的數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價要素分析

不同國家和地區(qū)在數(shù)學(xué)教育方面各有特點。學(xué)生在高中階段，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，獲得怎樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是我們要了解的問題。因此，從國際數(shù)學(xué)課程比較著手，分析數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價要素，為構(gòu)建數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價體系提供依據(jù)。首先通過表1，分析部分國家和地區(qū)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價要素。

1.問題解決是數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價的核心要素。

通過對這些國家和地區(qū)數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價要素的梳理，可以看出，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成是數(shù)學(xué)課程設(shè)計的主線;同時，問題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中心，它與其他各類要素互相遷移，共同促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展是基礎(chǔ)教育課程改革的深化，旨在鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，將其運用于現(xiàn)實世界。這才是數(shù)學(xué)學(xué)·數(shù)學(xué)信心習(xí)的意義之所在！數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價要素構(gòu)建的理念是培養(yǎng)社會發(fā)展和公民發(fā)展必需的素養(yǎng)。所以，幾乎所有國家和地區(qū)都將“問題解決”作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價的核心要素之一，強調(diào)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用;同時，通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的批判性、邏輯性思維能力，讓學(xué)生更好地分析和解決現(xiàn)實生活中的問題。

2.數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價要素的學(xué)科性和一般性。

表中國家和地區(qū)對數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價要素的分類，主要有以下兩種類型：

一類是學(xué)科素養(yǎng)評價要素，指數(shù)學(xué)知識、技能、思想、經(jīng)驗以及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現(xiàn)。如：和數(shù)與代數(shù)知識相關(guān)的數(shù)字計算、數(shù)學(xué)符號、測量估算等素養(yǎng)，和圖形與幾何知識相關(guān)的空間想象、推理論證等素養(yǎng)，和統(tǒng)計與概率知識相關(guān)的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，和綜合與實踐知識相關(guān)的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等。這一類評價要素不僅能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，而且對應(yīng)課程內(nèi)容的主線，聚焦于課程要求，與學(xué)業(yè)質(zhì)量評價相一致;是在學(xué)生數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中逐步形成的，帶有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。

另一類是一般意義上的素養(yǎng)評價要素，指學(xué)生在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)中，通過體驗、認識及內(nèi)化等過程，逐步形成相對穩(wěn)定的思考問題、解決問題的思維方法和價值觀。如：工具使用、信息交流、邏輯推理、創(chuàng)造、協(xié)調(diào)、溝通能力等素養(yǎng)。這一類素養(yǎng)評價要素是立足于數(shù)學(xué)教學(xué)，并且滲透跨學(xué)科主題的素養(yǎng);旨在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)之上的綜合素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生成為自信的學(xué)習(xí)者、積極的交流者、方法的締造者和成功的創(chuàng)造者。

（二）國際比較測試項目中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價要素分析

1.PISA（國際學(xué)生評估項目）中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價要素。

PISA（The Programme International Student Assessment）即國際學(xué)生評估項目，由OECD（經(jīng)濟合作與發(fā)展組織）統(tǒng)籌，主要以15歲中學(xué)生為對象，測評他們現(xiàn)實生活和終身學(xué)習(xí)所必需的知識、技能等基本要素。PISA的測試（評價）領(lǐng)域為閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)等，測試主項為數(shù)學(xué)素養(yǎng)，測評框架分為內(nèi)容、過程和情境。

（1）PISA的四個內(nèi)容領(lǐng)域。

PISA圍繞四個領(lǐng)域考查數(shù)學(xué)內(nèi)容。第一，空間與形狀，包括空間與形狀的現(xiàn)象及關(guān)系，主要涉及幾何課程。第二，變換與關(guān)系，包括各種變化的數(shù)學(xué)表現(xiàn)以及各種變量間的關(guān)系等。第三，數(shù)量，涉及數(shù)字現(xiàn)象、數(shù)量關(guān)系及模式。第四，不確定性和數(shù)據(jù)處理，涉及概率與統(tǒng)計的現(xiàn)象與關(guān)系。

（2）PISA的四個情境維度。

PISA圍繞四個維度設(shè)置問題情境：個人生活、社會性、職業(yè)和科學(xué)性。包括自然、社會、個體生活的文化背景以及職業(yè)生活、與親友的社會生活等。在PISA中，各類情境或嵌入具體的數(shù)學(xué)問題中，或成為激發(fā)數(shù)學(xué)問題的外在情境。

（3）PISA的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要素。

PISA包含表達（數(shù)學(xué)化表示情境）、運用（運用數(shù)學(xué)概念、事實、程序和原理）、評估（解釋、應(yīng)用和評價數(shù)學(xué)結(jié)果）三種數(shù)學(xué)過程以及七種數(shù)學(xué)基本能力（即數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本要素，見下頁表2）。其中，交流素養(yǎng)居于所有數(shù)學(xué)素養(yǎng)基本要素之首。

2.TIMSS（國際數(shù)學(xué)和科學(xué)評測趨勢）中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價要素。

TIMSS（Trends in International Mathematics and Science Study）是由國際教育成就評價協(xié)會（IEA）組織的國際教育測試（評價）活動，目標(biāo)對象主要是4年級和8年級學(xué)生。TIMSS中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)指數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)態(tài)度與社會能力的綜合。

（1）TIMSS的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要素。

TIMSS針對數(shù)學(xué)素養(yǎng)設(shè)計了三大內(nèi)容：第一，數(shù)學(xué)知識與技能，包括數(shù)與數(shù)感、測量與單位、幾何、比例、函數(shù)、方程、概率、統(tǒng)計、數(shù)據(jù)分析、證明等;第二，數(shù)學(xué)行為與社會技能，包括日常方法的掌握、應(yīng)用問題的解決、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)交流等;第三，數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，包括傳授合理的數(shù)學(xué)知識、傳授基本的服務(wù)與職業(yè)的知識、喚醒對數(shù)學(xué)的興趣、傳授適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)觀念等。

（2）TIMSS的試題設(shè)計層次。

TIMSS的試題按照如下方案來設(shè)計：一是數(shù)學(xué)知識，包括數(shù)與數(shù)感、函數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)分析、概率與統(tǒng)計等;二是預(yù)期的數(shù)學(xué)行為，包括應(yīng)用問題的解決、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)交流等;三是教學(xué)目標(biāo)，包括傳授合理的數(shù)學(xué)知識、傳授適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)觀念、激發(fā)對數(shù)學(xué)的興趣等。

3.國際比較測試項目對高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的啟示。

PISA與TIMSS作為國際上十分有影響力的兩個國際比較測試項目，在評價數(shù)學(xué)素養(yǎng)時，都注重真實情境在問題創(chuàng)設(shè)中的使用;并且采用問卷形式的過程性評價，在注重問題解決的同時，也關(guān)注基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握。但是，PISA以數(shù)學(xué)素養(yǎng)基本要素來分類，更注重數(shù)學(xué)素養(yǎng)的評價;TIMSS以數(shù)學(xué)來內(nèi)容分類，將素養(yǎng)貫穿其中，更注重數(shù)學(xué)知識的評價。

（1）高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的理念。

國際比較測試項目的素養(yǎng)評價理念，是讓學(xué)生面向未來生活、形成終身學(xué)習(xí)的能力。PISA不僅在理念上緊跟時代所賦予素養(yǎng)的歷史使命，還在實踐層面通過對評價框架的獨特設(shè)計使這一具有時代特征的素養(yǎng)盡可能地呈現(xiàn)出來。所以，高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價，應(yīng)充分考量知識觀、學(xué)生觀和教育質(zhì)量觀，契合課程改革的需要，采用多元的評價主體、過程性的評價視角、多樣的評價方式，更加關(guān)注學(xué)生發(fā)展所需的核心素養(yǎng)。

（2）構(gòu)建數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)體系的原則。

國際評價項目強調(diào)素養(yǎng)的多元性、主體性和情境性，對每一個測試指標(biāo)進行了更為全面的內(nèi)容設(shè)計，重視個人在素養(yǎng)中的主體能動性，結(jié)合素養(yǎng)所處的情境來開展評價。所以，構(gòu)建數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)體系時，應(yīng)明確指標(biāo)內(nèi)涵，用可操作化的語言來表述評價指標(biāo)，注重指標(biāo)的可接受性和科學(xué)性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點。

（3）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價試題的特征。

高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價既要有核心內(nèi)容和要求，又要有鮮明的時代特征和高中學(xué)段數(shù)學(xué)學(xué)科的特點。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價試題需要具有如下特征：首先，評價試題的內(nèi)容應(yīng)指向?qū)W生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并且這樣一種素養(yǎng)是可以通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)獲得的;其次，評價試題要能對學(xué)生素養(yǎng)水平進行判斷，對學(xué)生是否具備適應(yīng)當(dāng)前及未來社會的素養(yǎng)進行評價;最后，評價試題應(yīng)契合高中數(shù)學(xué)教育的實際，貼合我國數(shù)學(xué)教育文化背景，且與未來社會發(fā)展所需要的素養(yǎng)接軌。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的指標(biāo)研究

基于對國際數(shù)學(xué)課程視野、國際比較測試項目中數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價要素的分析，進一步探究高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的具體指標(biāo)。有學(xué)者采用實證研究的方式，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素進行了分析。例如，喻平采用大樣本問卷，統(tǒng)計得出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的兩種分類：其一是數(shù)學(xué)抽象、運算能力、推理能力、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格的八成分分類;其二是數(shù)學(xué)抽象、運算能力、推理能力、建模與數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格的七成分分類。

要建立數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價指標(biāo)體系，一個重要的工作是構(gòu)建每一個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的二級指標(biāo)?；狙芯克悸啡缦拢簩ⅰ墩n標(biāo)》中的6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析）作為評價的一級指標(biāo)，然后分解出二級指標(biāo)。有些二級指標(biāo)是一級指標(biāo)的部分有代表性的形成階段，例如數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的二級指標(biāo);有些二級指標(biāo)則是一級指標(biāo)的部分有代表性的成分，例如邏輯推理素養(yǎng)的二級指標(biāo)。雖然二級指標(biāo)不能涵蓋一級指標(biāo)的所有內(nèi)容，但是從可測評的角度出發(fā)，均可將其作為主要評價指標(biāo)。

（一）數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本概念，指抽取出同類數(shù)學(xué)對象中共同的本質(zhì)屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程。具體而言，數(shù)學(xué)抽象指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、法則、命題等的思維過程。數(shù)學(xué)抽象大體上分為三個階段：簡約階段、符號階段和普適階段。數(shù)學(xué)抽象包括四個過程：弱抽象、強抽象、構(gòu)象化抽象和公理化抽象。數(shù)學(xué)抽象在教學(xué)上的應(yīng)用分為四個層次：實物層面抽象、半符號層面抽象、符號層面抽象和形式化層面抽象。對上面的觀點進行綜合思考，可將數(shù)學(xué)表征、抽象思考作為數(shù)學(xué)抽象的二級指標(biāo)（如表3）。

（二）邏輯推理

邏輯推理是指從定義、事實和確定的命題、規(guī)則出發(fā)，嚴格符合邏輯法則的推理方式。包括四個思維過程：發(fā)現(xiàn)、提出、驗證和表達數(shù)學(xué)命題。主要有以下三類：歸納推理、類比推理和演繹推理。歸納推理和演繹推理反映了人們認識事物的兩條思維途徑，前者是從個別到一般，后者是從一般到個別。歸納推理與類比推理合稱為合情推理，這就把數(shù)學(xué)推理分為演繹推理和合情推理兩類，可將這兩個類別作為數(shù)學(xué)推理的二級指標(biāo)（如表4）。

（三）數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是根據(jù)相關(guān)的理論和方法來建立數(shù)學(xué)模型，并通過數(shù)學(xué)語言描述的方式來建立模型的一種方法。數(shù)學(xué)建模的過程一般包括以下幾個步驟：模型準備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應(yīng)用。對上述七個階段進行整合，可將問題提出、模型構(gòu)建、解釋驗證作為數(shù)學(xué)建模的二級指標(biāo)（如表5）。

（四）數(shù)學(xué)運算

數(shù)學(xué)運算包括根據(jù)概念、公式、法則等，尋求并設(shè)計合理的對數(shù)、式等的正確運算和變形;尋找簡捷的運算途徑;根據(jù)要求對數(shù)

據(jù)進行估計，分析條件，并進行正確運算。數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本能力，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的發(fā)展，主要分為以下三個階段：了解和理解運算、掌握和應(yīng)用運算、綜合和靈活運算。因此，可以構(gòu)建數(shù)學(xué)運算的二級指標(biāo)（如表6）。

（五）直觀想象

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化。而幾何直觀主要是指利用圖形解決數(shù)學(xué)問題，包括對圖形的認識、把握圖形之間的關(guān)系等;空間想象主要是指對空間幾何體進行觀察、分析、認知。幾何直觀與空間想象都是幾何領(lǐng)域?qū)W習(xí)的必備素養(yǎng)，也都是邏輯性較強的素養(yǎng)：學(xué)生需要架構(gòu)實物與其相應(yīng)圖形之間的邏輯關(guān)系。幾何直觀與空間想象是各有側(cè)重的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也是各具指向的數(shù)學(xué)素養(yǎng)：幾何直觀重在“看”，空間想象重在“想”;幾何直觀重“直覺”，空間想象重“創(chuàng)造”。因此，可以構(gòu)建直觀想象的二級指標(biāo)（如表7）。

（六）數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程。數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生獲取有價值的信息，能夠增強學(xué)生用數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，能夠形成通過數(shù)據(jù)認識事物的思維品質(zhì)。數(shù)據(jù)分析的過程主要包括：收集、整理、理解、處理、獲得、解釋數(shù)據(jù)，并形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識。因此，可以構(gòu)建數(shù)據(jù)分析的二級指標(biāo)（如表8）。

三、研究反思

為什么要進行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價一級指標(biāo)、二級指標(biāo)的分類呢？主要有以下幾點原因：其一，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準修訂組提出的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，很多學(xué)者對其評價指標(biāo)的理解各有異同，無論哪種分類，都較難概括數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具體內(nèi)容的全貌，那么，對其二級評價指標(biāo)的分類，既可以較好地解讀一級指標(biāo)，又能夠補充一級指標(biāo)沒有凸顯的內(nèi)容;其二，從國際數(shù)學(xué)課程、國際比較測試項目對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的評價來看，評價指標(biāo)的分類均深入至二級指標(biāo)，甚至三級指標(biāo)層面，有利于評價的可操作性;其三，二級指標(biāo)是一級指標(biāo)的分類或者是一級指標(biāo)發(fā)展的過程性指標(biāo)，所以兩者評價的指向具有一致性。

值得說明的是，對于核心素養(yǎng)，我們更多地理解為一個整合了知識、技能、情感、態(tài)度與價值觀等元素的集合體概念。因此，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價指標(biāo)中，這里所列出的二級評價指標(biāo)并不能夠全部涵蓋相關(guān)一級指標(biāo)的所有內(nèi)涵。例如：推理分為合情推理和演繹推理兩類，其中合情推理分為歸納和類比兩類;在數(shù)學(xué)運算中，除了考慮運算法則、運算策略之外，還有運算速度、運算精確性等。在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)體系中，僅選擇占主體部分的二級指標(biāo)作為評價內(nèi)容。當(dāng)然，所有二級指標(biāo)的集合并不能等于一級指標(biāo)。并且，對高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)的理論研究，還需要通過實證研究，去驗證并調(diào)整該指標(biāo)體系。

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、測評與發(fā)展研究”（編號：Cc/2016/01/27）、江蘇省教育廳“基于測試分析的跟進式改革重大研究項目”中“義務(wù)教育學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力研究”（編號：2015jyktzd02）和全國教育規(guī)劃中小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究重大招標(biāo)課題“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程整體設(shè)計”（編號：GOA107001）的階段性研究成果。參考文獻：

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