馬玉清 ，李 琳

(1.安徽工商職業(yè)學(xué)院信息工程學(xué)院，安徽 合肥 231131;2.上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院， 上海 200093)

0 引言

由于對(duì)分布式、網(wǎng)絡(luò)化和大規(guī)模系統(tǒng)的科學(xué)研究越來(lái)越深入和廣泛，分布式估計(jì)算法已經(jīng)成為非常有用的工具之一。事實(shí)上，由于一般傳感器網(wǎng)絡(luò)的功率、計(jì)算和通信能力有限，在不借助于集中式結(jié)構(gòu)的情況下，每個(gè)節(jié)點(diǎn)能夠估計(jì)一些信號(hào)的值是很重要的，例如，在監(jiān)測(cè)大規(guī)模系統(tǒng)時(shí)，這尤其明顯[1-3]。集中式解決方案需要數(shù)據(jù)融合中心，這種方法不但存在可擴(kuò)展性問(wèn)題，而且需要大量的能量和通信資源，更進(jìn)一步的不利因素是非魯棒性導(dǎo)致的故障；而分布式方法是可擴(kuò)展的，每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅使用本地信息，相鄰節(jié)點(diǎn)間的協(xié)作大大提高了估計(jì)質(zhì)量。

網(wǎng)絡(luò)內(nèi)(包括傳感器網(wǎng)絡(luò))分布式估計(jì)算法是在分布式自適應(yīng)濾波的背景下提出來(lái)的。在文獻(xiàn)[4]以及其所引用的文獻(xiàn)中，對(duì)于遞歸最小二乘和最小均方算法，提出了基于擴(kuò)散和增量自適應(yīng)解決方案。文獻(xiàn)[5]針對(duì)節(jié)點(diǎn)服從廣義系統(tǒng)模型的傳感器網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，提出了分布式估計(jì)和融合算法；并基于線(xiàn)性最小方差準(zhǔn)則導(dǎo)出了局部濾波估計(jì)器、一步預(yù)測(cè)估計(jì)器及其相應(yīng)的估計(jì)誤差互協(xié)方差矩陣；最后，基于矩陣加權(quán)線(xiàn)性最小方差最優(yōu)融合準(zhǔn)則，將局部估計(jì)值進(jìn)行加權(quán)融合，得到融合Kalman濾波器和一步預(yù)測(cè)估計(jì)器。仿真結(jié)果表明融和濾波器精度高于單傳感器局部濾波器。文獻(xiàn)[6]研究了分布式協(xié)同信息處理技術(shù)在自適應(yīng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用，并基于自適應(yīng)濾波算法，利用分布式策略進(jìn)行目標(biāo)參數(shù)協(xié)同估計(jì)，提出了一種無(wú)約束條件實(shí)時(shí)估計(jì)噪聲方差的方法，并根據(jù)不同的分布式LMS算法，提出了分布式偏差補(bǔ)償LMS算法。仿真結(jié)果表明，分布式偏差補(bǔ)償LMS算法能夠?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)。在文獻(xiàn)[7]中，針對(duì)受噪時(shí)變信號(hào)的分布式跟蹤提出了一種最小方差估計(jì)器。文獻(xiàn)[8]采用線(xiàn)性一致性算法對(duì)分布式估計(jì)和控制應(yīng)用進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9—10]基于卡爾曼濾波，提出了分布式狀態(tài)估計(jì)的一致性算法。這種方法將擴(kuò)散機(jī)制與分布式卡爾曼濾波[11]結(jié)合起來(lái)，將局部卡爾曼濾波器的估計(jì)值傳遞給相鄰節(jié)點(diǎn)，然后用擴(kuò)散策略求平均；在文獻(xiàn)[12—13]中，通過(guò)采用連續(xù)卡爾曼一致濾波算法，提出了一種用于協(xié)同目標(biāo)跟蹤的移動(dòng)傳感器網(wǎng)絡(luò)的分布式估計(jì)和移動(dòng)控制的體系結(jié)構(gòu)；在文獻(xiàn)[14]中，對(duì)時(shí)變信號(hào)的分布式平均計(jì)算進(jìn)行了分析，定義了一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題來(lái)計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)所使用的權(quán)值，以使估計(jì)值的最小均方偏差最小化。文獻(xiàn)[15]研究了多個(gè)條件約束的凸優(yōu)化子問(wèn)題的解決方案的分布式估計(jì)，構(gòu)造了一個(gè)最大似然估計(jì)器，采用乘數(shù)交替方向法并結(jié)合塊坐標(biāo)下降法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分解。文獻(xiàn)[16]提出了一種利用移動(dòng)水平估計(jì)概念的算法，假設(shè)所觀察到的過(guò)程具有線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性。分布式估計(jì)的另一種方法是基于非線(xiàn)性濾波，它采用自同步和耦合函數(shù)[17]，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)值是由一個(gè)合適的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)提供的，而這種系統(tǒng)是通過(guò)適當(dāng)?shù)撵o態(tài)耦合函數(shù)耦合到其他一些節(jié)點(diǎn)的。

上述各種估計(jì)器很少針對(duì)傳感器網(wǎng)絡(luò)中受噪時(shí)變信號(hào)進(jìn)行跟蹤估計(jì)，或者存在估計(jì)值結(jié)果差等缺陷，對(duì)此，本文針對(duì)傳感器網(wǎng)絡(luò)中時(shí)變信號(hào)的跟蹤估計(jì)及這些估計(jì)器存在的不足，提出了新的分布式估計(jì)器。

1 問(wèn)題構(gòu)建及分析

1.1 問(wèn)題構(gòu)建

用diag(·)表示對(duì)角矩陣，即僅在對(duì)角線(xiàn)上有元素，用|·|表示求基數(shù)，用‖·‖表示求矩陣的譜范數(shù)。給定一個(gè)隨機(jī)變量x，用Ex表示它的數(shù)學(xué)期望，用1和I分別表示向量(1,…,1)T和單位矩陣。

考慮N1個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)，測(cè)量一個(gè)受加性噪聲影響的標(biāo)量信號(hào)d(t)得到：

ui(t)=d(t)+vi(t)i=1,…,N

(1)

式(1)中，vi(t)是零均值白噪聲。由全部變量構(gòu)成的向量可以寫(xiě)為：

u(t)=d(t)1+v(t)

(2)

假設(shè)v(t)的協(xié)方差矩陣Σ是對(duì)角的，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)和不失一般性，選取Σ=2I，但結(jié)果在更一般和實(shí)際情況下也成立，即

把通信網(wǎng)絡(luò)建模為一個(gè)無(wú)向圖G=(V,E)，其中Ni={jV：(j,i)E}{i}為節(jié)點(diǎn)iV的鄰居加上節(jié)點(diǎn)i本身的集合，假設(shè)沒(méi)有消息丟失。

每個(gè)節(jié)點(diǎn)i計(jì)算信號(hào)d(t)的一個(gè)估計(jì)值xi(t)，采用相鄰估計(jì)值和測(cè)量值的線(xiàn)性組合：

(3)

采用向量表示，上式變?yōu)椋?/p>

x(t)=K(t)x(t-1)+H(t)u(t)

(4)

式(4)中，K(t)和H(t)可以看作是帶有時(shí)變權(quán)值的2個(gè)圖的鄰接矩陣。算法用xj(0)=ui(0)(jNj)初始化。

估計(jì)誤差e(t)=x(t)-d(t)1可以計(jì)算為：

e(t)=K(t)e(t-1)+d(t)(K(t)+H(t)-I)1-
δ(t)K(t)1+H(t)v(t)

(5)

式(5)中，δ(t)=d(t)-d(t-1)。估計(jì)誤差動(dòng)態(tài)性關(guān)于隨機(jī)變量v(t)的期望值如下：

Ee(t)=K(t)Ee(t-1)+
d(t)(K(t)+H(t)-I)1-δ(t)K(t)1

(6)

假設(shè)1 假設(shè)(K(t)+H(t))1=1。

假設(shè)1是保證集中式估計(jì)誤差的收斂性的，是由Speranzon等得出的[7]，而且在本文的情況下也同樣成立。另外，如果H(t)1=1，則估計(jì)誤差的期望值收斂到0，因而估計(jì)誤差是無(wú)偏的；否則，如果d(t)是慢時(shí)變的(也就是δ(t)是有界的)，那么‖Ee(t)‖在原點(diǎn)的鄰域上也趨于有界值。這樣，如果考慮第i個(gè)節(jié)點(diǎn)，則估計(jì)誤差的期望值可以以分布式方式計(jì)算如下：

(7)

式(7)中,εi(t)為收集節(jié)點(diǎn)i上的可用估計(jì)誤差，并根據(jù)它們的指標(biāo)排序：

εi=(ei1,…,eiMi)Ti1<…

(8)

(9)

(10)

式(10)中，0≤ρi≤1，P1=Eei(t)是估計(jì)誤差的偏差項(xiàng)，P2=E(ei(t)-Eei(t))2是估計(jì)誤差的方差項(xiàng)。這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)每個(gè)節(jié)點(diǎn)i以分布式方式求解。把它重寫(xiě)為：

(11)

式(11)中，

(12)

命題1.1：對(duì)于一個(gè)給定的正定矩陣Θi(t)，該最優(yōu)化問(wèn)題的解為：

(13)

(14)

證明：因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題是凸的，且Slater條件成立，則Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件對(duì)于最優(yōu)化是充分必要條件：

(15)

(16)

只需求解由KKT條件所確定的方程組，就可以得到閉形式的解。

1.2 帕累托參數(shù)的選取

(17)

值得注意的是，如果將Pareto參數(shù)設(shè)置為ρi=1，結(jié)果表明只有偏差被最小化，而最優(yōu)成本函數(shù)為：

(18)

如果將Pareto參數(shù)設(shè)置為ρi=0，結(jié)果表明方差被最小化，最優(yōu)成本函數(shù)為：

(19)

顯然，帕累托參數(shù)可以基于所需的特點(diǎn)來(lái)設(shè)置。下一節(jié)將表明如何通過(guò)適當(dāng)設(shè)置這個(gè)參數(shù)來(lái)確定偏差的界限。

1.3 偏差上限分析

通過(guò)定義下列全局約束條件，就可以確定偏差界限：

γmax(K(t))≤f(Δ,γ)

(20)

式(20)中，γmax(K(t))表示矩陣K(t)的最大奇異值，γ表示信噪比，Δ是信號(hào)導(dǎo)數(shù)的上界，且：

(21)

當(dāng)下列局部約束條件成立時(shí)，這個(gè)全局約束條件就成立：

‖κi‖2≤ψi

(22)

式(22)中，ψi0是一個(gè)合適的常數(shù)標(biāo)量，可以進(jìn)行局部計(jì)算[7]。這個(gè)新的約束條件確保估計(jì)誤差的穩(wěn)定性，即使它在一般情況下得到一個(gè)與集中式解不同的分布式解。考慮到偏差界限，問(wèn)題(11)可以重新構(gòu)建如下：

(23)

(24)

式(24)中最后兩個(gè)條件是從拉格朗日算子得到的：

(25)

通過(guò)將這兩個(gè)KKT條件與第二個(gè)條件相結(jié)合，就得到最優(yōu)值：

(26)

(27)

(28)

而且通過(guò)選取

(29)

第四個(gè)KKT條件就是滿(mǎn)足的。可以看到，通過(guò)設(shè)置一個(gè)合適的帕累托參數(shù)ρi值，并保持式(13)和式(14)的結(jié)果，就可以對(duì)偏差確定一個(gè)合適的界限。

2 估計(jì)器及分布式估計(jì)算法

2.1 估計(jì)器結(jié)構(gòu)

現(xiàn)在來(lái)分析如何實(shí)現(xiàn)估計(jì)器。本文考慮信號(hào)是分量方向準(zhǔn)平穩(wěn)的。由于式(4)的時(shí)變線(xiàn)性系統(tǒng)是一致有界輸入-有界輸出穩(wěn)定的，則x(t)也是準(zhǔn)平穩(wěn)的，因此均值Eεi=mεi(t)和協(xié)方差矩陣Γi(t)可以從樣本進(jìn)行估計(jì)如下：

(30)

(31)

(32)

式(32)中，向量xi(t-1)=[xi1(t-1),…,xiMi(t-1)]T(其中{i1,…,iMi}∈Ni)收集估計(jì)值，ui(t)=[ui1(t),…,uiMi(t)]T收集相鄰測(cè)量值。

(33)

式(32)的解為：

(34)

(35)

圖1所示為本文提出的估計(jì)器實(shí)現(xiàn)框圖。

2.2 分布式估計(jì)算法

算法1 傳感器網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i的估計(jì)算法偽代碼

1.t=0

5.計(jì)算ρi

7.xi(0)=ui(0)

8.while|ψi(t)-ψi(t-1)|≥10-10do

9.Mi=|Ni|

10.t=t+1

11.收集估計(jì)值xi(t-1)=[xi1(t-1),…,xiMi(t-1)]T,且{i1,…,iMi}∈Ni

12.收集測(cè)量值ui(t)=[xi1(t),…,xiMi(t)]T，且{i1,…,iMi}∈Ni

13.計(jì)算ρi

16.xi(t)=κi(t)Txi(t-1)+ηi(t)Tui(t)

25.end while

2.3 計(jì)算復(fù)雜度分析

3 估計(jì)器性能仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文提出的分布式估計(jì)器EP的有效性，我們與下列4種估計(jì)器進(jìn)行比較：

1)E1：K=H=(I-L)/2，其中L是與無(wú)向圖圖G相關(guān)聯(lián)的拉普拉斯矩陣；

2)E2：K=0且H=[ηij]，如果節(jié)點(diǎn)i和j之間通信，ηij=1/Mi，否則，ηij=0，這將得到測(cè)量值的平均值；

3)E3：K=[κij]，這里，κii=1/2Mi，如果節(jié)點(diǎn)i和j之間通信，κij=1/Mi，否則，κij=0，而H=[ηij]且ηii=1/2Mi，其他ηij=0。這將得到先前的估計(jì)值和節(jié)點(diǎn)的單個(gè)測(cè)量值的平均值；

4)E4：K=H且如果節(jié)點(diǎn)i和j之間通信，且i=j。這將得到先前的測(cè)量值和全部局部測(cè)量值的平均值。

圖2所示為一組跟蹤測(cè)試信號(hào)d1(t),d2(t),d3(t),d4(t)和d5(t)，這組信號(hào)有不同的頻率，把它們作為基準(zhǔn)估計(jì)。假設(shè)已知這些信號(hào)Δ的一個(gè)上界，把Δ設(shè)置為比每個(gè)信號(hào)的實(shí)際值大10%，并選擇平均信噪比為γ=1。

下面來(lái)分析G35上的分布式估計(jì)器得到的信號(hào)跟蹤估計(jì)仿真結(jié)果。圖3所示為對(duì)于d2(t)全部節(jié)點(diǎn)得到的仿真結(jié)果。

顯然，從圖3(a)可見(jiàn)，要跟蹤估計(jì)的測(cè)量值是相當(dāng)嘈雜的，受噪聲影響很大。從圖3(b)—3(f)可見(jiàn)，全部估計(jì)器E1,…,E4和本文提出的分布式估計(jì)器EP都能夠跟蹤信號(hào)，但它們的跟蹤估計(jì)質(zhì)量有很大的差別。很明顯，E1和E2的質(zhì)量最差，而本文提出的分布式估計(jì)器EP有最好的性能。E1,…,E4之間的相對(duì)性能差別很明顯，如E2簡(jiǎn)單地采取測(cè)量值求平均，而E4是對(duì)測(cè)量值和估計(jì)值求平均，所以E4是優(yōu)于E2的，而通過(guò)適當(dāng)?shù)剡x取帕累托參數(shù)，本文所提出的分布式估計(jì)器EP得到了最好的跟蹤估計(jì)性能。

圖2 數(shù)值仿真中采用的跟蹤測(cè)試信號(hào)Fig.2 Tracking test signal used in numerical simulation

圖3 不同估計(jì)器對(duì)于信號(hào)d2(t)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的N=35個(gè)跟蹤實(shí)現(xiàn)Fig.3 Implementation of N=35 tracking at each node for each estimator and for the signal d2(t)

為了研究本文提出的分布式估計(jì)器EP的估值性能，我們考慮每個(gè)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)值的均方誤差(Mean Square Error,MSE)。由于每個(gè)估計(jì)器都有一個(gè)初始過(guò)渡階段，仿真中計(jì)算出了70步后的均方誤差，并將網(wǎng)絡(luò)的全部節(jié)點(diǎn)上的均方誤差求平均值，把得到的平均值表示為MSE。定義一個(gè)估值性能改進(jìn)因子μi，即采用本文提出的分布式估計(jì)器EP的估值性能MSE(EP)與其他4種估計(jì)器E1,…,E4的估值性能MSE(Ei)定義為：

(36)

表1所示為G25和G35關(guān)于全部跟蹤測(cè)試信號(hào)d1(t),d2(t),d3(t),d4(t)和d5(t)得到的MSE和μi。從表1可見(jiàn)，本文提出的分布式估計(jì)器EP在全部情況下的估值性能都優(yōu)于其他4種估計(jì)器。具體來(lái)說(shuō)，EP的估值性能至少提高了15%，最高高達(dá)85%；而E1較差的性能，主要是E1對(duì)節(jié)點(diǎn)的本地估計(jì)值和測(cè)量值的權(quán)值通常比從其鄰居接收的估計(jì)值和測(cè)量值的權(quán)值要大，因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)是同質(zhì)的，所以性能較差；還可看到，當(dāng)跟蹤測(cè)試信號(hào)頻率較高時(shí)，EP的性能改善不算太明顯，其原因在于，EP估計(jì)器總是試圖保持最低的偏差，但是以付出更高的估計(jì)誤差的方差為代價(jià)的。

表1 不同估計(jì)器的估值性能MSE和改進(jìn)因子

續(xù)表

d3(t),Δ=0.040估計(jì)器類(lèi)型N=25N=35MSEμiMSEμiE1:基于拉普拉斯矩陣E2:對(duì)u求平均E3:對(duì)x和ui求平均E4:對(duì)x和u求平均EP:本文提出的估計(jì)器0.4420.6620.3300.3670.22449.0%65.8%31.5%38.4%0.4570.5720.3910.3150.18659.4%67.6%52.5%41.2%d4(t),Δ=0.033估計(jì)器類(lèi)型N=25N=35MSEμiMSEμiE1:基于拉普拉斯矩陣E2:對(duì)u求平均E3:對(duì)x和ui求平均E4:對(duì)x和u求平均EP:本文提出的估計(jì)器0.4440.6630.2400.3700.17061.8%74.3%28.8%53.8%0.4470.5640.2560.3080.15066.4%73.4%41.3%51.2%d5(t),Δ=0.000估計(jì)器類(lèi)型N=25N=35MSEμiMSEμiE1:基于拉普拉斯矩陣E2:對(duì)u求平均E3:對(duì)x和ui求平均E4:對(duì)x和u求平均EP:本文提出的估計(jì)器0.4360.6560.1950.3580.11473.9%83.8%41.6%68.2%0.4460.5600.1500.3050.08081.0%85.0%44.0%72.0%

4 結(jié)論

本文提出了一種新的用于跟蹤傳感器網(wǎng)絡(luò)中未知噪聲時(shí)變信號(hào)的分布式估計(jì)器。該估計(jì)器采用帕累托優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)濾波器系數(shù)進(jìn)行局部更新，以使估計(jì)誤差的方差和偏差最小化；提出的分布式估計(jì)器相比于現(xiàn)有的分布式跟蹤估計(jì)器，能更好地跟蹤傳感器網(wǎng)絡(luò)中由噪聲所損壞的未知時(shí)變信號(hào)，并能得到更好的估值結(jié)果。