趙延龍

摘 ? 要：在圖形的教學(xué)中，不合理的學(xué)習(xí)活動設(shè)計會導(dǎo)致學(xué)生對圖形本質(zhì)特征的理解浮于表層，既不利于學(xué)生知識技能的形成，又阻礙其空間觀念的發(fā)展。以“用圓設(shè)計漂亮的圖案”一課為例，對“如何設(shè)計有效的學(xué)習(xí)活動發(fā)展學(xué)生的空間觀念”這一主題進(jìn)行課例研究，通過教師設(shè)計學(xué)習(xí)活動、上課、反思，再設(shè)計、再上課、再反思的完整過程，記錄了其走出困惑、做出改變的歷程，力圖設(shè)計具體的、有效的學(xué)習(xí)活動使學(xué)生能夠感悟理解圖形本質(zhì)特征，撬動學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);圖形教學(xué);學(xué)習(xí)活動;有效性;空間觀念

中圖分類號：G623.5 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）16-0041-04

一、課例研究的主題和內(nèi)容

“用圓設(shè)計漂亮的圖案”是人教版教材2011年修訂后新增的內(nèi)容，是在學(xué)生認(rèn)識了圓，理解了圓的特征，初步掌握了用圓規(guī)畫圓的基礎(chǔ)上安排的一個拓展練習(xí)活動。教材的編排思路是先以分解的步驟展示了如何利用圓的特征一步步畫出四個花瓣式的漂亮圖案。在此過程中需要學(xué)生學(xué)會確定某個圓或半圓的圓心和半徑，這也是圓心和半徑分別確定圓的位置和大小的最直接應(yīng)用。此外還需添加一些輔助線，體現(xiàn)了很強(qiáng)的綜合性。

教材為什么要新增這個內(nèi)容呢？本節(jié)課又有著什么教學(xué)價值呢？帶著這樣的思考進(jìn)行了第一次教學(xué)，筆者把教學(xué)目標(biāo)定為：能掌握熟練畫圓的技能，能欣賞到圖案的美。于是，設(shè)計了三個學(xué)習(xí)活動：活動一，欣賞圖案，觀察分析圖案是怎樣一步一步畫出來的;活動二，動手畫一畫，體會每一步畫法的道理;活動三，梳理畫圖步驟用規(guī)范的語言說一說。

學(xué)生已經(jīng)觀察過畫圖步驟并且也已完成動手操作的活動，表面看課堂上學(xué)生畫圖的積極性很高，畫出的每一幅圖案都很標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范，好像這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)完成了。但是再讓學(xué)生獨(dú)立畫這幅擦除輔助線的圖案時（圖1），77.5%的學(xué)生都不會畫了，問題出在哪了？筆者百思不得其解，是因為這個圖案太復(fù)雜了嗎？表面看這個圖形有點復(fù)雜，但是其中的每一個圓都直觀可見，相比于花瓣式的圖案簡單多了。學(xué)生經(jīng)過剛才的畫圖活動不是已經(jīng)熟練掌握了畫圓的技能了嗎？為什么面對新的圖案不會畫了呢？面對新的問題就不會解決了呢？這節(jié)課的價值僅僅只是讓學(xué)生掌握畫圓的技能就行了嗎？帶著這種思考筆者再次走進(jìn)教材，對“圓”這一單元的知識進(jìn)行了梳理，發(fā)現(xiàn)教材中無論是圓的認(rèn)識，還是對圓周長、圓面積的學(xué)習(xí)，都出現(xiàn)了復(fù)雜圖形的身影，在編寫意圖中出現(xiàn)最多的要求就是提高學(xué)生識圖能力和分析能力。那么提高學(xué)生的識圖能力和分析能力是本節(jié)課的教學(xué)價值嗎？

一道題的出現(xiàn)使筆者更加堅定了自己對這節(jié)課的認(rèn)識。已知圓的半徑是1米，你能求出正方形和圓之間陰影的面積嗎（圖2）？

全班65%的學(xué)生因為只知道圓的半徑，而不知道正方形的邊長，無法求出正方形的面積，所以無從下手，不知該怎么解答。當(dāng)看到可以連接正方形的對角線，把正方形看成兩個三角形時（圖3），才恍然大悟。

這道題引發(fā)了筆者的思考：由只能看成一個正方形到可以看成兩個三角形這之間的思維斷層到底是什么呢？這不就是學(xué)生觀察、分析復(fù)雜圖形特征時聯(lián)系能力的缺失嗎？這種能力的缺失正是學(xué)生的空間觀念沒有得到相應(yīng)發(fā)展的具體體現(xiàn)。而發(fā)展學(xué)生的空間觀念不正是“用圓設(shè)計漂亮的圖案”一課所要承載的教學(xué)價值嗎？

而“空間觀念”恰恰是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）》中需要培養(yǎng)的十大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，同時也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。學(xué)生本身生活在現(xiàn)實空間，引導(dǎo)他們熟悉、探索、知曉這一空間有益于他們更好地生活、學(xué)習(xí)與實踐，同時空間觀念也是創(chuàng)新能力培養(yǎng)的基本要素，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神有著十分重要的影響。

所以筆者選擇了“用圓設(shè)計漂亮的圖案”這一課來進(jìn)行如何設(shè)計有效的學(xué)習(xí)活動發(fā)展學(xué)生的空間觀念的研究。

二、課例研究過程

（一）對無效學(xué)習(xí)活動設(shè)計的反思

在第一次教學(xué)中筆者設(shè)計的學(xué)習(xí)活動只是讓學(xué)生按照教材的步驟畫出圖形來，雖然學(xué)生掌握了畫圓的技能，也欣賞了美麗的圖案，但是未能有效地培養(yǎng)他們對復(fù)雜圖形進(jìn)行分析的能力。學(xué)生不會分析圖形，面對新的圖形，當(dāng)然無從下手了，幾何與圖形的教學(xué)中所承擔(dān)對學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)就更不可能在這樣的學(xué)習(xí)活動中落實。設(shè)計怎樣的學(xué)習(xí)活動才能提高學(xué)生分析復(fù)雜圖形的能力呢？通過查找資料，從范希爾夫婦的幾何思維發(fā)展理論得到啟示。該理論揭示了小學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展，既是循序漸進(jìn)的，又是不連續(xù)的，即學(xué)習(xí)進(jìn)程中有跳躍。

在學(xué)生剛剛掌握了用圓規(guī)畫圓的情況下，就讓學(xué)生畫出如此復(fù)雜的花瓣圖案，并且還要添加輔助線，這對大部分學(xué)生來說無疑是具有較大困難的。那可不可以為學(xué)生設(shè)計低水平的畫圖活動作為鋪墊來自支撐起學(xué)生這種分析能力的提升呢？為此筆者又進(jìn)行了第二次教學(xué)。

（二）帶著思考再出發(fā)

活動一：按要求畫圖

1.你能以線段AB為直徑畫一個圓嗎？

A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B

2.你能畫一個這樣的圖形嗎？

這一活動是在第一次教學(xué)后新增的鋪墊活動，第一個畫圖內(nèi)容主要是讓學(xué)生掌握已知直徑怎樣畫圓，第二個畫圖內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生較直觀的復(fù)雜圖形，培養(yǎng)學(xué)生初步的分析能力，這一活動旨在鋪墊相關(guān)的技能和分析意識，為學(xué)生畫出更復(fù)雜的花瓣圖形做支撐。

活動二：獨(dú)立嘗試畫圖

此活動由第一次教學(xué)時的“觀察教材畫圖步驟進(jìn)行畫圖”改為“獨(dú)立嘗試畫圖”。給學(xué)生創(chuàng)造獨(dú)立觀察分析的空間，在探索中提高對復(fù)雜圖形的分析能力。

活動三：引導(dǎo)學(xué)生共同分析圖案的構(gòu)成

以學(xué)生在獨(dú)立畫圖時產(chǎn)生的問題為線索，師生在共同解決問題的過程中完成對圖形的分析，提升學(xué)生分析問題的能力。

活動四：分享梳理畫圖過程

學(xué)生以規(guī)范的語言梳理畫圖的步驟，鞏固對圖形構(gòu)成的認(rèn)知，提高學(xué)生對復(fù)雜圖形的整體分析意識。

通過課例組成員對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的觀察，課上出現(xiàn)了不少問題，這些問題促使著筆者再次對第二次教學(xué)進(jìn)行反思：

活動一的設(shè)計是為了幫著學(xué)生建立分析復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，但是鋪墊來鋪墊去，并沒有為學(xué)生畫出復(fù)雜的花瓣圖形起到強(qiáng)有力的支持作用，反而因為花費(fèi)了較長的時間，導(dǎo)致后面的活動沒有足夠的時間讓學(xué)生來嘗試分析梳理。

筆者所設(shè)計的過多鋪墊性的學(xué)習(xí)活動剝奪了學(xué)生完整經(jīng)歷嘗試解決、暴露困難、戰(zhàn)勝困難這一認(rèn)知過程。課例組經(jīng)過討論，決定為學(xué)生設(shè)置獨(dú)立畫圖這一大活動，大活動中再設(shè)置階段性的小目標(biāo)，學(xué)生在完成小目標(biāo)的過程中，體驗嘗試、暴露困難、戰(zhàn)勝困難這一完整的認(rèn)知過程。

（三）把準(zhǔn)學(xué)情再上路

課例組隨機(jī)抽取了六年級某班12個學(xué)生進(jìn)行了一次模擬前測，并安排了相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動。

1.獨(dú)立嘗試。要求：先仔細(xì)觀察花瓣圖案，再想一想應(yīng)該怎么畫，你在畫哪一步的時候卡住了，并把遇到的困難記下來。

觀察實況：學(xué)生能夠積極主動地嘗試畫一畫、試一試，認(rèn)真地進(jìn)行分析。

2.分享困難。要求：把自己在嘗試畫圖中遇到的困難分享給大家。

觀察實況：學(xué)生能分享自己在畫圖過程中遇到的困難。通過交流，發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)最多的問題是不能確定花瓣半圓圖案圓心的位置和半徑的大小。

3.解決困難。要求：找到半圓的圓心、半徑，并畫圖。

觀察實況：在明確花瓣圖案是由四個半圓組成的，只要找到半圓圓心的位置和半徑的大小就能畫出圖案這一任務(wù)后，學(xué)生通過動手操作能夠確定圓心位置和半徑大小從而解決問題。

4.交流分享。要求：同桌之間交流說一說你分析這個圖案的過程，并分享梳理畫圖的步驟。

觀察實況：學(xué)生在討論和交流中不僅可以解決自己遇到的疑問，梳理分析的思路，更能在分享中產(chǎn)生思維的碰撞，提高自己幾何語言的表達(dá)能力。

最后，12位學(xué)生都會畫圖了。

這次模擬前測給了筆者很大的信心，從而深刻地認(rèn)識到：沒有鋪墊，有效的學(xué)習(xí)活動設(shè)計也可以讓學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)，只要為他們架構(gòu)起有效的學(xué)習(xí)活動，學(xué)生完全有能力完成。于是筆者進(jìn)行了第三次教學(xué)。

（四）信心滿滿再實踐

出示情景圖（圖4）：你能畫出廣場上的圖案嗎？

在這一大空間背景下設(shè)計了三個連續(xù)的小活動：活動一，自主嘗試畫圖;活動二，聚焦解決問題;活動三，交流分享。

設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)繪制廣場圖案情景，讓學(xué)生完整經(jīng)歷嘗試解決、暴露困難、戰(zhàn)勝困難這一心路歷程，從本質(zhì)上體會圓的特征，深刻認(rèn)識“圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大小”。提高學(xué)生對復(fù)雜圖形的分析能力，發(fā)展學(xué)生空間觀念。

課堂觀察：在活動一自主嘗試畫圖中，可以看到學(xué)生積極地動手嘗試畫圖，他們會遇到很多挑戰(zhàn)，并且記錄了各種各樣的問題。在活動二聚焦解決問題環(huán)節(jié)，雖然學(xué)生遇到的問題各不相同，但通過梳理，所有的問題都會聚焦在半圓的圓心和半徑如何確定這一根本性問題上。

解決問題過程中，為了排除復(fù)雜圖案對學(xué)生的干擾，讓他們只關(guān)注其中的一個半圓，怎樣確定圓心和半徑呢？在活動三交流分享中，同桌先交流分析過程，然后梳理畫圖步驟并分享，在全班分享互動過程中，可以看出學(xué)生每一步是怎么畫的，為什么要這么畫，產(chǎn)生更清晰理性的認(rèn)識。

通過觀察學(xué)生畫出的一幅幅漂亮的圖案，能看到每一位學(xué)生思維分析的軌跡，每一幅圖案都滲透著學(xué)生分析圖案時的邏輯美。雖然每一幅圖案都是一樣的，但每一幅圖案都記載著不同的思考過程，每一幅圖案都在訴說著學(xué)生分析復(fù)雜圖案能力的提高。

有效的學(xué)習(xí)活動可以激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生原來對圓的本質(zhì)特征理解比較膚淺。經(jīng)過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，他們才真正體會到“圓心決定位置，半徑?jīng)Q定圓的大小”這句話并不是說起來那么簡單。在活動中，他們才真正認(rèn)識了圓的本質(zhì)特征，對復(fù)雜圖形的分析能力也隨之提高了，空間觀念的發(fā)展也在活動中得到切實的落實。

三、課例研究結(jié)論

經(jīng)過幾輪的探索和實踐，這次課例研究讓筆者收獲頗豐，應(yīng)該設(shè)計怎樣的學(xué)習(xí)活動撬動小學(xué)生空間觀念的發(fā)展呢？

（一）設(shè)計有效學(xué)習(xí)活動的前提是教師對教材的精準(zhǔn)把握

教師是活動設(shè)計的主導(dǎo)者，而教材又是教師設(shè)計活動的主要依據(jù)。教師對教材的精準(zhǔn)把握是設(shè)計有效教學(xué)活動的基石。如果教師在理解教材時，忽略了要培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、要發(fā)展學(xué)生空間觀念這一教學(xué)目標(biāo)，有效的活動設(shè)計就無從談起。就如筆者第一次教學(xué)時，只注重對學(xué)生畫圓技能的培養(yǎng)，根本談不上發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

（二）學(xué)習(xí)活動的設(shè)計應(yīng)遵循學(xué)生幾何思維發(fā)展的規(guī)律

學(xué)生幾何思維發(fā)展的規(guī)律是客觀存在的，學(xué)習(xí)活動的設(shè)計要遵循學(xué)生思維發(fā)展的水平。立足于學(xué)生已有的對圖形的認(rèn)知，設(shè)置恰當(dāng)?shù)奶荻瓤臻g，讓學(xué)生經(jīng)過一定的努力可以實現(xiàn)目標(biāo)。在活動中讓他們經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、勇敢面對問題、積極解決問題、直到戰(zhàn)勝問題這一有價值的體驗過程，從而發(fā)展他們的空間觀念。

（三）學(xué)習(xí)活動的設(shè)計要立足解決核心問題

任何學(xué)習(xí)活動都有一定的目標(biāo)指向性，而目標(biāo)的確立要指向?qū)W生在發(fā)展空間觀念時真正存在的問題。例如學(xué)生在畫花瓣圖案的時候，遇到的真正問題是無法找到半圓的圓心和半徑，這就需要設(shè)計活動讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并聚焦到這一問題上，讓學(xué)生解決這一問題。

（四）學(xué)習(xí)活動的設(shè)計要敢于讓學(xué)生跨越障礙

在活動設(shè)計時不要只關(guān)注學(xué)生基礎(chǔ)知識是否掌握牢固，從而給學(xué)生鋪墊過多，以至于最后反而起到了負(fù)面作用。要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)障礙，勇敢面對并且跨越障礙，經(jīng)歷完整的過程，在過程中提高對復(fù)雜圖形的分析能力，在過程中真正發(fā)展學(xué)生的空間觀念。