（湖北省武漢市第一初級中學(xué)）

2017年湖北省武漢市中考試題第24題是以拋物線為背景的綜合題，此題的第（2）小題研究了兩條直線的位置關(guān)系，直線與拋物線的結(jié)合渾然天成，蘊含著數(shù)學(xué)的自然之美.本文將對此題做以拓展，得出一個與拋物線相關(guān)的幾何性質(zhì)，并將該性質(zhì)應(yīng)用于數(shù)學(xué)題目的編寫中.

一、試題呈現(xiàn)

題 目已知點A(-1，1)，B(4，6 )在拋物線y＝ax2＋bx上.

（1）求拋物線的解析式.

（2）如圖1，點F的坐標為(0，m)(m＞2)，直線AF交拋物線于另一點G，過點G作x軸的垂線，垂足為點H，設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點E，連接FH，AE.求證：FH∥AE.

（3）略.

圖1

二、分析與解答

第（1）小題中，拋物線解析式中的兩個基本量a和b，由條件中兩個已知點確定，考查學(xué)生求函數(shù)解析式的最核心、最基本的技能——待定系數(shù)法.

解：因為點A(-1，1)，B(4，6 )在拋物線y＝ax2＋bx上，

在第（2）小題中，點E是拋物線與x軸的交點，屬于拋物線上重要的特殊點之一，AE是定直線；點F是y軸上的動點，它的運動使得直線AF繞點A旋轉(zhuǎn)，直線AF的旋轉(zhuǎn)改變了它與拋物線交點G的位置，而點H則是動點G在x軸上的正投影，點F和點H的共同運動決定了直線FH的運動方式.

從結(jié)論看，直線AF的旋轉(zhuǎn)運動通過拋物線這個橋梁的過渡，轉(zhuǎn)變成了直線HF的平移運動，讓人聯(lián)想到機器中機械零件之間巧妙的聯(lián)動，十分神奇、有趣.

上文描述的圖形的變換可以用數(shù)和符號來描述，圖形中的點與線之間的各種聯(lián)動反映在數(shù)與式上就是代數(shù)式的運算.詳細的過程可以描述成如圖2所示的思維導(dǎo)圖.

圖2

證明：如圖3，過點A作AN⊥Ox于點N，

設(shè)直線AF的解析式為y=kx+m.

所以∠FHO=∠AEN.

所以FH∥AE.

圖3

三、更一般的結(jié)論

結(jié)論：如圖4，A，C為拋物線y=ax2+bx+c上任意兩點，點B為直線AC上異于點A，C的任意一點，過點B作拋物線對稱軸的平行線交拋物線于點E，過點E作BE的垂線交拋物線于點D，過點C作DE的垂線，垂足為點F，則AD∥BF.

圖4

顯然，上述第（2）小題只是這個結(jié)論的一個特例.

不失一般性，我們只證明點B在A，C之間的情形.分兩種情況.

情況1：AC∥DE.

如圖5，過點A作AH⊥DF于點H，由拋物線的對稱性，容易得到HD=EF.所以AB平行且等于DF.所以四邊形ABDF為平行四邊形.所以結(jié)論成立.

圖5

（2）AC與DE相交于點P.

如圖6，過點A作AH⊥DF于點H.

設(shè)點A，B，C的坐標分別為A(x1，y1) ，C(x2，y2)，B(x3，y3)，直線DE的解析式為y=m.

則可設(shè)點E，D，P，F(xiàn)，H的坐標分別為E(x3，m)，D(x4，m)，P(x5，m)，F(xiàn)(x2，m)，H(x1，m).

則可證明AD∥BF成立.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+p.

聯(lián)立拋物線方程與直線AC的方程，得

聯(lián)立拋物線方程與直線DE的方程，得

聯(lián)立直線AC與直線DE的方程，得

圖6

四、編擬相關(guān)練習(xí)題

利用上述結(jié)論，我們可以結(jié)合一些具體的、特殊的圖形來編擬練習(xí)題，作為訓(xùn)練學(xué)生思維的材料.

（1）求拋物線的解析式；

（2）B為y軸正半軸上的一個動點，直線AB交拋物線于點C，過點C作CF⊥Ox于點F，求證：BF∥AO.

圖7

此題將點B放在拋物線的對稱軸上，利用坐標軸的特殊地位，將結(jié)論中的點D，E整合成坐標原點，使問題特殊化.

我們關(guān)注到在點B運動的過程中，∠BFC=30°的結(jié)論不變，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合幾何圖形，我們有比較廣闊的編題空間.

練習(xí)2：如圖8，拋物線y=-x2+3x與x軸相交于點D，直線y=(3-m)x+m2與y軸相交于點B，與拋物線有公共點A.

（1）求證：直線AB與拋物線只有唯一的公共點；

（2）過點A作AF⊥Ox于點F，求證：AD∥BF.

圖8

此題將點B放在y軸上，同樣巧妙地利用了坐標軸.將直線AB與拋物線相切，公共點重合，將結(jié)論中的AH和CF整合成AF，使問題特殊化.

我們關(guān)注到此題中△OBF∽△FAD，在此基礎(chǔ)上也會有較廣闊的編題空間.

以上兩個例子是從不同角度將上述結(jié)論特殊化，例證了上述結(jié)論用于編題的可行性，同時也為我們遍擬相關(guān)題目提供了一些思路.

近年來，幾乎全國所有地區(qū)中考試卷的最后一道試題都是以拋物線為背景的綜合題，其中蘊含了大量的幾何因素.但仔細研讀，發(fā)現(xiàn)在很多綜合題中，幾何部分是硬植入進去的，把拋物線的背景移除，不影響解題.如何將幾何圖形融入拋物線之中，使綜合題渾然一體，是值得研究的課題.