（浙江省寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院）

一、問題的提出

什么是情境？裴亞光先生認為，情境就是為了實現(xiàn)教學目標而營造的特定背景，是數(shù)學學習、數(shù)學思維、數(shù)學活動得以產(chǎn)生的具體條件.《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）中指出，初中生要初步學會在具體的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運用數(shù)學知識和方法解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力.問題是數(shù)學的核心，情境是問題的載體.學生的已有認知準備與面臨的問題發(fā)生認知沖突就形成了問題情境.在教學中，如何關(guān)注知識的發(fā)生、發(fā)展過程，突出數(shù)學主線，凸顯數(shù)學的內(nèi)在邏輯聯(lián)系和思想方法，落實數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，是我們的當務(wù)之急.筆者以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》九年級上冊“3.1圓”（第1課時）的教學為例進行探索，談?wù)勛约涸谄綍r的教學過程中，以指向核心素養(yǎng)為目標，設(shè)置問題情境的一些做法與體會.

二、問題的設(shè)計——問題情境策略舉隅

1.趣味性問題情境策略——指向?qū)W生經(jīng)驗，經(jīng)歷思維抽象過程

章建躍教授在《數(shù)學教育心理學》一書中指出，學生獲得概念的能力，隨年齡、經(jīng)驗、智力而發(fā)展，研究表明，三者中經(jīng)驗的作用更大，豐富的經(jīng)驗背景是理解概念本質(zhì)的前提.因此，我們引導學生從自己的日常生活中積累有利于概念學習的經(jīng)驗，并激活這些經(jīng)驗，讓學生進行分析、比較，發(fā)現(xiàn)舊知的局限性，探索新知的合理性，直接指向數(shù)學抽象思維.

教學片斷1.

師：同學們，你們玩過套圈游戲嗎？套圈游戲就是把一個圓圈套到玩具上.如果幾位同學按如圖1所示的位置站列，你認為游戲公平嗎？

生1：不公平，因為他們距離玩具的遠近不同，有的遠，有的近.

師：那怎么站才公平？

生2：站成一個圓圈.

師：這個圓該怎么畫呢？

生3：以玩具為中心，用一根繩子的一頭套在玩具上，拉直繩子，另一頭旋轉(zhuǎn)一周，就能得到一個圓.

師：根據(jù)剛才的畫法，如果我們把拉直的繩子看成線段OP，在同一平面內(nèi)，線段OP繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，則另一端點P所經(jīng)過的封閉曲線叫做圓.固定的端點O叫做圓心，線段OP的長叫做半徑，通常用r表示，以O(shè)為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”.

師：以點A為圓心畫圓，可以畫幾個圓？以3 cm為半徑畫圓，可以畫幾個圓？

通過學生動手操作畫圖，得出等圓和同心圓的概念，并進一步明確了圓心和半徑是圓的兩個要素：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.

【設(shè)計意圖】興趣是最好的老師.以游戲為載體引入新課，能充分調(diào)動學生的知識儲備和學習積極性.從教育心理學角度來看，概念是思維的基本單位，概念增加了經(jīng)驗的意義.看到“圓”這個詞，學生的大腦中從一般的圓的表象抽象出平面圖形、封閉的、圓心到圓上各點的距離相等（定義）等.學生對概念的理解就從具體水平向抽象水平發(fā)展，從日常概念向科學概念發(fā)展.

2.探究性問題情境策略——指向數(shù)學直觀判斷，獲得“精致”過程

史寧中教授認為，數(shù)學知識的形成依賴于直觀，數(shù)學知識的確定依賴于推理.也就是說，在大多數(shù)情況下，數(shù)學的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的，所謂“看”，是一種直覺判斷，這種直覺判斷建立在長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)上.在教學中，我們要精心設(shè)置探究性問題，引導學生觀察和思考，使其在豐富的教學活動中積累直觀判斷的經(jīng)驗，“悟”出門道.

教學片斷2.

師：除了圓心、半徑，你還學過哪些有關(guān)圓的概念？

生4：圓的直徑、周長、面積.

師：很好，除此之外，這節(jié)課我們將對圓有一個新的認識.如圖2，在圓上任取兩點A，B，這兩點將圓分成了兩部分，我們把圓上任意兩點間的部分叫做圓弧.圖2中的兩條弧有什么不同？

圖2

生5：一條弧長，一條弧短.

師：如果點A固定不動，沿圓周移動點B，在點B移動的過程中，兩條弧會不會相等呢？點B移動到什么位置時兩條弧相等？

生6：當點B運動到點C，即AC恰好是圓的直徑時（如圖3），這兩條弧相等.

圖3

師：兩條弧相等時，這兩條弧都叫做半圓.我們把比半圓小的弧叫做劣弧，比半圓大的弧叫做優(yōu)弧.那么，是如何知道這兩條?。ò雸A）相等的呢？

生7：圓是軸對稱圖形，沿直徑AC折疊，直徑兩旁的部分能完全重合.

師：在同圓和等圓中，我們把能夠完全重合的弧叫做等弧.

師：如圖4，連接AB兩點得到一條線段，我們把連接圓上任意兩點的線段叫做“弦”.當點A固定不動，點B沿圓周移動的過程中，觀察弦AB的長度，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

圖4

生：當AB為直徑時，弦AB最長.

師：通過剛才的操作，大家能說說直徑和弦的關(guān)系嗎？

生：直徑是最長的弦，但弦不一定是直徑.

【設(shè)計意圖】學生在學習某個概念時，可能會利用自身的生活經(jīng)驗對所學概念進行拓展延伸，有時甚至會做出某種推論，這個過程被心理學家稱為“精致”，精致的實質(zhì)是對數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延進行詳細的加工.與圓有關(guān)的概念很多，教師要在課堂上充分挖掘其內(nèi)在的必然聯(lián)系，從弧入手，通過連接得到弦，并以此為主線，將看似雜亂無章的概念有機地串聯(lián)起來，將運動觀念、極限思想和特殊與一般的轉(zhuǎn)化融入其中，使靜態(tài)的內(nèi)容變得靈活生動.

3.思辨性問題情境策略——指向理性思維，對話概括和表達能力

理性思維是在數(shù)學學習過程中，通過觀察、體驗、經(jīng)歷及內(nèi)化等過程逐步形成理性的思考問題、分析問題、解決問題的思維方法和價值觀，是數(shù)學核心素養(yǎng)的靈魂所在.在初中數(shù)學教學中，根據(jù)教學內(nèi)容設(shè)置合理的思辨性問題，有助于學生明晰知識內(nèi)涵，完善認知結(jié)構(gòu)，促進數(shù)學理性思維的有效形成.

教學片斷3.

師：為什么站在圓上進行套圈游戲就公平了呢？

生8：因為他們到圓心的距離都相等，都等于半徑.

師：如果點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，當點在圓上時，d=r.

問題1：如圖5，同學甲站在圖中點A處，同學乙、丙兩人也想來參加比賽，他們分別站在圖中的點P，Q處，如果你是甲同學，你會有什么看法？

圖5

學生經(jīng)過思考得出這樣游戲不公平，丙更占優(yōu)勢，因為乙到圓心的距離大于半徑，丙到圓心的距離小于半徑，即點在圓外→d＞r，點在圓內(nèi)→d＜r.

問題2：后來學生丁也來參加游戲，他站在圖中的點M處，但是地上的線已經(jīng)模糊了，問同學丁怎樣才能知道自己恰好站在圓上呢？

學生小組交流后得出當點M到圓心的距離等于半徑時，同學丁恰好站在圓上，即d=r→點在圓上，另外，d＞r→點在圓外，d＜r→點在圓內(nèi).

師：好，也就是說由點與圓的位置關(guān)系能得到d與r的數(shù)量關(guān)系.反過來，又可以由d與r的數(shù)量關(guān)系來刻畫點與圓的位置關(guān)系.

【設(shè)計意圖】緊扣情境引入主題，適時進行追問，引導學生總結(jié)、歸納出用點到圓心的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系來刻畫點和圓的位置關(guān)系.通過游戲的方式設(shè)置問題情境，既符合知識的邏輯順序和學生的認知規(guī)律，也使得學生在輕松愉悅的環(huán)境中加深了對知識的理解，教學環(huán)節(jié)更加自然順暢，水到渠成.

4.實際性問題情境策略——指向數(shù)學模型的建立，深加工應(yīng)用與拓展

數(shù)學建模是指對現(xiàn)實生活問題、科學問題或數(shù)學問題建立數(shù)學模型.數(shù)學建模是一種數(shù)學的思考方法，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的強有力的數(shù)學手段，不僅可以幫助學生發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑，而且能夠優(yōu)化問題的解決過程，為數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)與形成提供有效的思路.

教學片斷4.

問題3：如圖6，在A地正北80 m的B處有一幢民房，正西100 m的C處有一變電設(shè)施，在BC的中點D處是一古建筑.因施工需要，必須在A處進行一次爆破.為使民房、變電設(shè)施、古建筑都不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

圖6

問題4：BC是一條街道，為了保障街上行人的安全，問爆破影響面的半徑應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)？

【設(shè)計意圖】以實際問題為載體，初步構(gòu)建數(shù)學模型，引導學生利用點到圓心的距離d與半徑r的大小比較，來判斷點與圓的位置關(guān)系.培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的語言表達世界，增強學生的數(shù)學應(yīng)用意識，從而促進學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模能力的發(fā)展.

5.螺旋式問題情境策略——指向數(shù)學邏輯推理，感悟隱性的思想方法

《標準》指出，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學學習過程中.推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式.推理一般包括合情推理和演繹推理.雖然數(shù)學學習并不是純粹的邏輯過程，但是邏輯推理是公認的數(shù)學核心素養(yǎng)之一.章建躍教授曾說，推理是數(shù)學的命根子.通過多角度的螺旋式問題探究，可以加深學生對知識內(nèi)涵的了解，進而幫助其鞏固所學知識.

教學片斷5.

問題5：如圖7，四邊形ABCD為矩形，對角線AC，BD交于點O.則A，B，C，D四點在以點O為圓心的同一個圓上嗎？

圖7

圖8

問題6：如圖8，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，O為AC的中點.則A，B，C，D四點在以點O為圓心的同一個圓上嗎？

問題7：如圖9，讓同學站列在三角形的三個頂點處進行搶凳子游戲，凳子放在何處游戲公平？

圖9

【設(shè)計意圖】通過層層遞進的問題串，由淺入深，螺旋上升，幫助學生進一步鞏固了所學的知識，同時也將本節(jié)課的知識進一步升華.通過多途徑、多角度螺旋上升的問題，深入挖掘題目之間的本質(zhì)內(nèi)涵和聯(lián)系，有助于學生實現(xiàn)自我突破和邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展.

三、問題的解決——基于課例的幾點思考

課堂教學是核心素養(yǎng)落地的重要陣地.問題情境作為課堂教學的重要支點，它承擔了激發(fā)學生學習興趣、引發(fā)認知沖突、開放啟迪思維等重要作用.現(xiàn)代理念的教學倡導這樣的模式：問題情境—建立模型—解決模型—回歸問題—調(diào)整優(yōu)化—應(yīng)用拓展.從中不難看出，問題情境是教學的必要環(huán)節(jié)，是課堂教學的驅(qū)動力所在.在數(shù)學教學中創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，筆者認為有如下一些基本策略.

1.構(gòu)建生活化的問題情境，為培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)接力

數(shù)學學習離不開生活.構(gòu)建生活化的問題情境就是從學生的生活經(jīng)驗和已有的知識出發(fā)，構(gòu)建與學生生活緊密聯(lián)系的、符合知識需要的問題情境，使學生置身于實際生活中去發(fā)現(xiàn)問題，然后用數(shù)學的眼光觀察生活，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實問題，進而用數(shù)學的方法解決問題.讓學生在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程中，增強“用數(shù)學”的意識，提高“用數(shù)學”的能力，體驗“用數(shù)學”的樂趣，從而發(fā)展核心素養(yǎng).

2.創(chuàng)建多元化的問題情境，為培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)發(fā)力

陳鶴琴先生在他倡導的“活教育”理念中提出“大自然、大社會都是活教材”.因此，為了激發(fā)學生的積極參與，喚醒學生思考的內(nèi)在動力，除了把數(shù)學問題生活化以外，我們還可以借助其他手段，激發(fā)學生的求知欲，促使學生愿學、樂學，實現(xiàn)最佳的學習效果.例如，我們熟悉的變式教學，就是在統(tǒng)一的問題情境下，多角度改變學生的認知條件，讓學生多層次理解問題的本質(zhì)，達到舉一反三、觸類旁通的效果.

3.搭建階梯性的問題情境，為培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)添力

階梯性的問題設(shè)置就是把某個較為復(fù)雜的問題分解為若干個相互獨立，但又循序漸進、難度逐漸增加的問題串，通過設(shè)置一系列有針對性的問題串，啟發(fā)學生思維、突破教學難點，進而促進學生不斷達成探究目標的一種有效方法.在問題串的設(shè)計過程中，根據(jù)學生已有的生活經(jīng)驗和知識水平，創(chuàng)設(shè)彼此關(guān)聯(lián)、由易到難、富有層次性的問題情境，激活學生的思維，培養(yǎng)其科學探究的能力.

4.營造開放性的問題情境，為培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)助力

開放式問題是一種探索性的問題，探索性問題的設(shè)置能夠引導學生依托所學知識多角度去思考與解答問題.數(shù)學探究和數(shù)學建模是新課程中的一大亮點，尤其是各種數(shù)學探究活動，在整個教學體系中，貫穿于教學活動的始終.教師在教學中通過對開放式問題情境的創(chuàng)設(shè)，引導學生主動去探究不同的策略，努力去求解目標問題，促進學生打開思路，提高自身的探究能力與創(chuàng)造能力，深化數(shù)學思維.

總之，數(shù)學教學要掌握學生的思維之道、心理之門，善于選擇合適的問題情境創(chuàng)設(shè)策略，創(chuàng)設(shè)基于核心素養(yǎng)、形式多樣、內(nèi)涵豐富的問題情境，培養(yǎng)學生的問題意識，讓學生不斷經(jīng)歷情境、問題及問題解決的過程，提高學生的綜合能力，使核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處.