（浙江省海鹽縣博才實驗學校）

幾何最值問題是中考中的熱點試題，頻繁出現(xiàn)在中考的選擇題、填空題或解答題的壓軸題位置，這類試題形式多樣、涉及面廣，常常讓學生無從下手，是學生不易突破的難點.雖然練習題中經(jīng)常出現(xiàn)這類題目，但是這部分知識的呈現(xiàn)比較零散，為此，筆者提煉了近幾年中考中求幾何最值的幾個重要的模型，結(jié)合2018年典型的中考試題進行精析，總結(jié)了這些題型的解題思路和模型選擇方法，供大家參考.

一、求幾何最值的模型

（一）四個基本的幾何模型

1.“垂線段最短”模型

若A為一定點，l為定直線，點P在l上運動，則點P動到哪里時AP最短？

如圖1，過點A作直線l的垂線段AP，可得此時AP最短.

圖1

這里根據(jù)“垂線段最短”可得，其模型特征為“直線外一定點+直線上一動點”.

2.“三角形三邊關(guān)系”模型

（1）如圖2，A，B是定點，P是動點，則點P運動到哪里時PA+PB最小？點P運動到哪里時PA-PB最大？

圖2

當點P在線段AB上時，PA+PB的值最小，且等于AB長；當點P在線段AB的延長線上時，PA-PB的值最大，且等于AB長.

①當點A，B，P不共線時，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”，可得PA+PB＞AB.故當點A，B，P共線，且點P在線段AB上時，PA+PB的值最??；

②當點A，B，P不共線時，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”，可得PA-PB＜AB.故當點A，B，P共線，且點P在線段AB的延長線上時，PA-PB的值最大.

在實際解題中，題目會設(shè)置對動點P的另外一個要求.例如，動點P在某定直線上運動等，于是即可確定點P的具體位置.

（2）如圖2，AP，BP是定長（設(shè)AP＞BP），A是定點，B是動點，則點B運動到哪里時AB最大？點B運動到哪里時AB最??？

當點B在線段AP的延長線上時，AB的值最大，且等于AP+BP長；當點B在線段AP上時，AB的值最小，且等于AP-BP長.

①當點A，B，P不共線時，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”，可得AB＜PA+PB.故當點A，B，P共線，且點B在線段AP的延長線上時，AB的值最大；

②當點A，B，P不共線時，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”，可得AB PA-PB.故當點A，B，P共線，且點B在線段AP上時，AB的值最小.

在實際問題中，題目會設(shè)置對點B和點P的另外一些要求，于是即可確定點P的具體位置，如后面的例4.

3.“將軍飲馬”模型

如圖3，將軍在軍營從點A出發(fā)，走到河邊飲馬，然后再到河岸l同側(cè)的B地開會，應該怎樣走才能使總路程最短？

圖3

圖4

如圖4，作其中一個定點A關(guān)于定直線l的對稱點A′，連接A′B與直線l交于點P，則點P即為將軍飲馬的地點，AP+PB為最短路線，其路程等于線段BA′的長.

此問題是利用軸對稱性質(zhì)求線段和的最小值的經(jīng)典模型，通過軸對稱變換，化同側(cè)為異側(cè)，實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”（此模型也可以推廣到“三折線”轉(zhuǎn)“直”），將多條線段首尾相連轉(zhuǎn)化到一條線段上，根據(jù)兩點之間線段最短得解.

4.“定點與圓上一動點距離的最值”模型

如圖5，P為一定點（圓外或圓內(nèi)），動點A在⊙O上，則點A分別到達哪里時，線段PA取得最小值和最大值？

圖5

如圖6，作直線OP，得到直線OP與⊙O的近交點A1和遠交點A2，易證不管點P在圓外還是圓內(nèi)，點P到圓上各點距離的最小值都為線段PA1的長，最大值都為線段PA2的長.

圖6

我們可以歸納得到以下結(jié)論：一定點到圓上各動點的連線中，該點到過該點和圓心的直線與圓的近交點距離最短，遠交點距離最長.此問題是和圓有關(guān)的求線段最值的經(jīng)典模型，模型運用時要注意：定點可以在圓內(nèi)，也可以在圓外，動點在圓（或?。┥线\動，所求的是定點與圓（或?。┥弦粍狱c距離最小值和最大值問題.

實際上，很多問題中動點所在的圓并不直接給出，需要學生自己去構(gòu)造，所以在分析動點位置變化時，要抓住圖形中的不變量，如若發(fā)現(xiàn)動點到某定點的距離等于定長或者動點對定線段所成的張角是定角時，則要意識到此動點的運動軌跡是圓（或圓?。@會對求最值起到?jīng)Q定性的作用.補充說明：當定點P在圓上時，是這個模型的特殊情況，運用以上模型也可以得出直徑是圓中最長的弦，這個結(jié)論在求與圓相關(guān)的幾何最值問題時也會用到.

（二）函數(shù)模型

很多中考中的幾何最值問題需要運用代數(shù)知識求解，主要是通過建立函數(shù)模型來求解.建立函數(shù)模型求最值一般需要以下幾個步驟：（1）選擇自變量，確定自變量的取值范圍；（2）求得函數(shù)解析式；（3）在自變量取值范圍內(nèi)利用配方或函數(shù)圖象的最高點（或最低點），二次函數(shù)需結(jié)合頂點公式，求得函數(shù)的最大值（或最小值）.

有些幾何最值問題會先讓學生求出變量間的函數(shù)表達式，然后再讓學生求變量的最值，這類問題很明顯需要用函數(shù)模型解決，但是也有很多幾何最值問題并沒有給出求函數(shù)表達式的指令，對于此類問題，很多學生往往不知道應該選擇何種模型.在實際的解題中，如果求的是一條線段的最值或是幾條線段和（或差）的最值，那么首選是嘗試套用上述四個基本的幾何模型，但有時題目未必能夠直接套用幾何模型，那么可以先分析題目中和動點有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，特別是一些變化過程中的不變量，通過數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，將其化歸為以上四個基本的幾何模型，從而解決問題.若不能用幾何模型求解，則可以尋找其中隱藏的函數(shù)關(guān)系，然后構(gòu)建函數(shù)模型解決最值問題.

二、精析中考試題，破解幾何最值問題

中考中的幾何最值問題基本上可以借助以上的四個幾何模型和函數(shù)模型解決，下面結(jié)合幾道2018年典型的中考試題，側(cè)重分析求幾何最值問題的解題思路和模型選擇方法.

1.借助基本幾何模型

借助幾何模型解題時，不但要熟悉以上四個幾何模型及其成立的條件，還要對解決模型的根據(jù)進行深度理解，這樣才能在不同的問題背景中直接套用或化歸為這些模型，這樣就可以找到動點到達哪里時取得最值，從而得到結(jié)論.

例1（天津卷）如圖7，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，P為對角線BD上的一個動點，則下列線段的長等于AP+EP最小值的是（ ）.

圖7

（A）AB（B）DE（C）BD（D）AF

解析：此題在尋找點P到達哪里時可得AP+EP最小值時，發(fā)現(xiàn)其與“將軍飲馬”模型匹配，于是就可套用這個模型解決.

如圖8，作點E關(guān)于BD的對稱點E′（點E′在線段CD上），連接AE′，它與BD的交點即為要找的使PA+PE值最小的點P，PA+PE的最小值等于線段AE′的長，通過證明△ADE′≌△ABF即可得AF=AE′.

圖8

例2（四川·瀘州卷）在平面直角坐標系內(nèi)，以原點O為原心，1為半徑作圓，點P在直線上運動，過點P作該圓的一條切線，切點為點A，則PA的最小值為（ ）.

解析：如圖9，雖然點A是圓上動點，但點P也是動點，所以不能用“定點與圓上一動點距離的最值”模型.考慮到點A為切點，聯(lián)想到切線的性質(zhì)，故連接OA，OP，這樣就把線段PA放在了一個有一邊長為定值的直角三角形中，由勾股定理可以把線段PA長轉(zhuǎn)化為即可轉(zhuǎn)化為求OP的最小值.因為點O為定點，點P是直線CD上的動點，所以求線段OP的最小值可以應用“垂線段最短”模型.于是作OH⊥CD于點H，則當點P運動到點H的位置時，OP達到最小，然后利用面積法可計算出OH的值為，即OP的最小值為，從而求得PA的最小值為.

圖9

例3（山東·泰安卷）如圖10，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為(3，4)，點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA，PB與x軸分別交于A，B兩點，若點A，B關(guān)于原點O對稱，則AB的最小值為（ ）.

（A）3

（B）4

（C）6

（D）8

圖10

解析：如圖11，考慮到點O是直角三角形斜邊上的中點，聯(lián)想到直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，故連接OP，得到AB=2OP，那么求AB的最小值轉(zhuǎn)化為求2OP的最小值.這里點O為定點，點P在⊙M上運動，故可以應用“定點與圓上一動點距離的最值”模型尋找使OP取得最小值的點P的位置.因此，連接OM與⊙M的交點就是要找的點P，易得OP最小值為OM-PM=5-2=3.所以AB的最小值為2OP=6.

圖11

例4（江蘇·南通卷）如圖12，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，O是BC中點，將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)得△A′B′C′，則在旋轉(zhuǎn)過程中A，C′兩點間的最大距離是_____.

圖12

解析1：如圖13，先連接AC′，找不變的量，發(fā)現(xiàn)線段OC′的長度不變，若再連接OA，那么就把AC′放在一個兩邊長度為定值的三角形中，于是此題就可以應用“三角形三邊關(guān)系”模型，可得AC′＜OA+OC′.故當點A，O，C′共線，且點C′動到線段AO的延長線上時，AC′的值最大且等于OA+OC′，計算得其值為此題也可以求A，C′兩點間的最小距離，應用“三角形三邊關(guān)系”模型得AC′＞OA-OC′.故當點C′動到線段AO上時，AC′的值最小且等于OA-OC′，計算得其值為

圖13

圖14

解析2：因為動點C′到點O的距離是定長，那么點C′的運動軌跡是以點O為圓心，2為半徑的圓（如圖14），于是可將問題化歸為“定點與圓上一動點距離的最值”模型，因此連接AO并延長，得與⊙O的近交點E和遠交點D，則當動點C′在點D處時，A，C′兩點間距離最大.添加了輔助圓后，易知當動點C′在點E處時，A，C′兩點間距離最小.

2.借助函數(shù)模型

（1）求直線l的函數(shù)表達式和tan∠BAO的值；

（2）如圖15（2），連接CE，當CE=EF時.

①求證：△OCE∽△OEA；

②求點E的坐標；

（3）當點C在線段OA上運動時，求OE·EF的最大值.

圖15

解析：求OE·EF的最大值，是求兩個變量的積的最值，和四個基本幾何模型都不匹配，故嘗試借助函數(shù)模型來求解.構(gòu)建函數(shù)模型的關(guān)鍵是選擇合適的自變量，由于點C在線段OA上運動，圓的半徑隨之改變，從而導致線段OE，EF的長度也隨之改變，所以選擇圓的半徑r為自變量.尋找OE·EF和r的函數(shù)表達式是此題的難點，發(fā)現(xiàn)EF很難用r的代數(shù)式表示，于是可嘗試把OE·EF進行整體轉(zhuǎn)化，由相似三角形對應線段成比例得到乘積式在相似中經(jīng)常用到，故考慮構(gòu)造相似三角形.

圖16

此題是借助函數(shù)模型求最值的中考壓軸題，選擇合適的自變量很關(guān)鍵，難點在于需要添加輔助線構(gòu)造相似三角形才能找出隱含的二次函數(shù)式，難度很大，但也是壓軸題的常態(tài).值得注意的是，中考壓軸題中的幾何最值問題在尋找函數(shù)表達式時常常會用到勾股定理或相似三角形的性質(zhì)，這個對于尋求函數(shù)表達式很有方向指引作用.

三、結(jié)束語

幾何最值問題涉及的知識點很多，常與三角形、四邊形、圓、軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、直角坐標系、方程、不等式及函數(shù)等知識聯(lián)系在一起，涉及的數(shù)學思想方法也很多，其中函數(shù)思想、模型思想、化歸思想尤為突出，因此備受命題者的青睞.分析近幾年中考試卷中的幾何最值問題，可以發(fā)現(xiàn)借助基本幾何模型來求解的試題，一般放在填空題和選擇題的壓軸題位置上，而解答題的幾何最值壓軸題大概率是借助二次函數(shù)模型求最值.

幾何最值問題是中考的難點之一，這不僅需要學生夯實與求最值有關(guān)的知識并熟練基本模型的建構(gòu)，善于從復雜的、陌生的圖形中分離或構(gòu)造出基本模型，還要求學生對解題思路和模型選擇的方法多反思、多總結(jié)，只有這樣，才能靈活應對幾何最值問題.