（廣東省中山市紀(jì)中三鑫雙語學(xué)校）

幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換是初中數(shù)學(xué)圖形變換部分的重要內(nèi)容，也是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.各地中考試題中除了考查旋轉(zhuǎn)的三要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度）和基本性質(zhì)（不變性）之外，也常常將其與三角形相似結(jié)合起來，對(duì)存在性問題的探索與最值問題的確定進(jìn)行綜合考查.

從最近兩年的中考試題來看，一種新的綜合——旋轉(zhuǎn)與滾動(dòng)的綜合也在各地中考試題中有所體現(xiàn)，并在一些地區(qū)呈上升趨勢(shì).下面我們以2017年部分中考試題為例，對(duì)滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)問題進(jìn)行分析，為九年級(jí)師生的中考復(fù)習(xí)提供參考.

類型一：在直線上的滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)

例1（浙江·衢州卷）如圖1，正三角形ABO的邊長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在第二象限，△ABO沿x軸正方向做無滑動(dòng)的翻滾，經(jīng)一次翻滾后得到△A1B1O，則翻滾3次后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是_____，翻滾2017次后AB中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為_____.

圖1

分析：作B3E⊥Ox于點(diǎn)E，易知觀察圖形可知，連續(xù)滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)三次為一個(gè)循環(huán).在一個(gè)循環(huán)內(nèi)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是由以點(diǎn)O為圓心，以為半徑，圓心角為120°的圓?。灰渣c(diǎn)B1為圓心，以1為半徑，圓心角為120°的圓??；以點(diǎn)A2為圓心，1為半徑，圓心角為120°的圓弧共同組成.由2017÷3=672…1，從而可求出翻滾2017次后AB中點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長(zhǎng).

解：如圖2，作B3E⊥Ox于點(diǎn)E，易知

因?yàn)?017÷3=672…1，

圖2

此題是將正三角形一邊放在x軸上，分別以三角形頂點(diǎn)為中心進(jìn)行滾動(dòng)旋轉(zhuǎn).考查旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)、軌跡、弧長(zhǎng)公式、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，以及規(guī)律性問題的解決方法，將推理、探索、歸納與計(jì)算自然融入題中.解答此題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用從特殊到一般的探究方法.

例2（廣西·南寧卷）如圖3，把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)P(1，2)在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針方向依次旋轉(zhuǎn)90°，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置，……，則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次后，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____.

圖3

分析：利用旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，首先求出點(diǎn)P1～P5的坐標(biāo)，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題.

解：第一次旋轉(zhuǎn)，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將正方形ABCO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P1的位置，可求得點(diǎn)P1的坐標(biāo)為P1(5，2).

同理，可得第二次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P2的坐標(biāo)為P2(8，1)；

第三次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P3的坐標(biāo)為P3(10，1)；

第四次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P4的坐標(biāo)為P4(13，2)；

第五次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P5的坐標(biāo)為P5(17，2).

發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的位置旋轉(zhuǎn)四次為一個(gè)循環(huán).

因?yàn)?017÷4=504…1，

所以點(diǎn)P2017的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P1相同為2，橫坐標(biāo)為5+12×504=6 053.

所以P2017(6 053，2).

故答案為(6 053，2).

這是一道以正方形為背景，以旋轉(zhuǎn)為主要變換的規(guī)律探究題.此題借助于平面直角坐標(biāo)系，分析正方形內(nèi)已知點(diǎn)隨正方形滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)變化，考查旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)及簡(jiǎn)單計(jì)算.與例2不同的是已知點(diǎn)不在圖形的邊上，而是在其內(nèi)部某一具體位置.雖然求解的問題不同，但是解題思路與方法沒有改變.

圖4

由題意，可得∠BAO=30°.

因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為B(0，1)，

在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)，OO2=OA+AB1+B1O2=2+

此題是將一個(gè)直角三角形放在特殊的直線上滾動(dòng)旋轉(zhuǎn).所考查的是圖形與坐標(biāo)的變化——一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征.由于是將直角三角形滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)，所以旋轉(zhuǎn)中心分別為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角分別為直角三角形的三個(gè)內(nèi)角或其補(bǔ)角，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向旋轉(zhuǎn).通過探索和分析，易于判斷其周期性.按周期性計(jì)算長(zhǎng)度就比較容易得出答案.規(guī)律性問題屬于中考?？碱}型.

從以上三道例題來看，其都是將基本圖形放在特殊的直線（坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸或特殊的正比例函數(shù)）上滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)，正因?yàn)檫@些“特殊”的存在，隱含著較多的已知條件，便于進(jìn)行各種計(jì)算.同時(shí)，這些圖形在連續(xù)滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)之后，都是呈周期性變化的，因此規(guī)律問題的特征分析和解法也得到了較好的考查.

類型二：在多邊形內(nèi)部沿邊滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)

例4（河北卷）已知正方形MNOK和正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)均為1，把正方形放在正六邊形中，使邊OK與邊AB重合，如圖5所示.按下列步驟操作：將正方形在正六邊形中繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊KM與邊BC重合，完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊MN與邊CD重合，完成第二次旋轉(zhuǎn)；……在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)B，M之間的距離可能是（ ）.

圖5

（A）1.4 （B）1.1 （C）0.8 （D）0.5

分析：旋轉(zhuǎn)作圖，以正六邊形和正方形為背景.正六邊形每個(gè)內(nèi)角是120°，正方形都是繞著正六邊形頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30°，先把正方形每次旋轉(zhuǎn)后的圖形畫出來，然后找到點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后的位置以及對(duì)應(yīng)的軌跡，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線都是一段弧長(zhǎng).

解：點(diǎn)B固定不動(dòng)，在每次旋轉(zhuǎn)過程前后重點(diǎn)考查點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡.

在第一次（如圖6）和第二次旋轉(zhuǎn)（如圖7）過程中，點(diǎn)B，M之間的距離d=1；

第三次旋轉(zhuǎn)（如圖8）過程中，點(diǎn)B，M之間的距離滿足

第四次旋轉(zhuǎn)（如圖9）過程中，點(diǎn)B，M之間的距離滿足

第五次旋轉(zhuǎn)（如圖10）過程中，點(diǎn)B，M之間的距離滿足

第六次旋轉(zhuǎn)（如圖11）過程中，點(diǎn)B，M之間的距離d=1.

故選C.

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

涉及旋轉(zhuǎn)的問題，首先要弄清旋轉(zhuǎn)的三個(gè)基本要素，畫出旋轉(zhuǎn)前后的圖形，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行分析與計(jì)算.解決這類問題的難點(diǎn)在于要畫出變化后的圖形，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中的規(guī)律.這類題型考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的體驗(yàn).

類型三：在多邊形外部沿邊滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)

例5（廣西·玉林卷）如圖12，大小不同的兩個(gè)磁塊，其截面都是等邊三角形，小三角形邊長(zhǎng)是大三角形邊長(zhǎng)的一半，點(diǎn)O是小三角形的內(nèi)心，現(xiàn)將小三角形沿著大三角形的邊緣順時(shí)針滾動(dòng)，當(dāng)由①位置滾動(dòng)到④位置時(shí)，線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度是（ ）.

圖12

（A）240° （B）360°

（C）480° （D）540°

解析1：先把小三角形沿著大三角形滾動(dòng)的情況畫出來（如圖13），繞著小三角形的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°，第二次繞著大三角形的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)240°，第三次繞著小三角形的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°.旋轉(zhuǎn)的度數(shù)其實(shí)就是線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，即240°+120°+120°=480°.

圖13

解析2：三角形的內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，如圖13，第一次AO順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了120°，第二次AO順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了240°，第三次AO順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了120°，線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度是120°+240°+120°=480°.

此題難度不大，但容易讓學(xué)生不理解的是線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，但在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)O也在旋轉(zhuǎn).其實(shí)如果我們把旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)分析、理解透了，問題就很容易解決.因?yàn)樵谛D(zhuǎn)的過程中，被旋轉(zhuǎn)的對(duì)象整體或部分旋轉(zhuǎn)角度是相同的，旋轉(zhuǎn)方向是相同的.所以，只要抓住一個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行求解即可.

類型四：利用對(duì)稱性繞中心滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)180°，本質(zhì)就是中心對(duì)稱.在旋轉(zhuǎn)中心變化的情況下，旋轉(zhuǎn)軌跡為圓周.

例6（湖北·天門卷）如圖14，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1，1)，B(0，-2)，C(1，0)，點(diǎn)P(0，2 )繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P4，……，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)P2017的坐標(biāo)為_____.

圖14

分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)180°實(shí)質(zhì)為中心對(duì)稱的特征，將點(diǎn)P分別繞A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)作圖，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋找規(guī)律后即可解決問題.

發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)6次為一個(gè)循環(huán).

因?yàn)?017÷6=336…1.

所以點(diǎn)P2017的坐標(biāo)與點(diǎn)P1的坐標(biāo)相同，

即P2017(-2，0).

故答案為(-2，0).

此題考查的第一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是中心對(duì)稱，學(xué)生要會(huì)找對(duì)稱點(diǎn)，若點(diǎn)P1坐標(biāo)找錯(cuò)，后面的規(guī)律就難以發(fā)現(xiàn)，所以首先要會(huì)作中心對(duì)稱圖形.考查的第二個(gè)知識(shí)點(diǎn)是找規(guī)律.常規(guī)找規(guī)律題目的循環(huán)節(jié)是2～3個(gè)，但此題是6次為一個(gè)循環(huán)節(jié)，學(xué)生通?？梢哉业近c(diǎn)P3，P4的坐標(biāo)，但根據(jù)平常做題，發(fā)現(xiàn)前面四個(gè)點(diǎn)沒有規(guī)律，就沒有思路往下做.所以，對(duì)于規(guī)律題，如果循環(huán)節(jié)沒有在2～3個(gè)出現(xiàn)，提醒學(xué)生要根據(jù)題意多找?guī)讉€(gè)點(diǎn)或者多算幾個(gè)數(shù)，再進(jìn)行觀察.

滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)作為考查幾何圖形旋轉(zhuǎn)變換的新題型，從以上四個(gè)類型的題目來看，體現(xiàn)出如下幾個(gè)特點(diǎn).

（1）能較全面地考查旋轉(zhuǎn)的基本要素和基本性質(zhì).盡管滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心在變化，旋轉(zhuǎn)角度在變化，但是在每一次旋轉(zhuǎn)的局部過程中，仍然能考查學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)三要素和旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)的理解和掌握程度.

（2）此類試題基本上都是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，雖然分值不高，計(jì)算量不大，但是多屬于選擇題或填空題中的壓軸題，對(duì)學(xué)生圖形分析、解決問題的能力要求較高.

（3）此類試題規(guī)律性明顯，突出考查周期的知識(shí).周期性問題既能考查學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納的能力，也可以為學(xué)生進(jìn)入高年級(jí)的學(xué)習(xí)奠定重要的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，因此歷來都被命題者所青睞.

（4）滾動(dòng)旋轉(zhuǎn)問題的操作性很強(qiáng).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在關(guān)于目標(biāo)的要求中明確指出：參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在具體情境中初步認(rèn)識(shí)對(duì)象的特征，獲得一些經(jīng)驗(yàn)；通過觀察、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)對(duì)象的某些特征或與其他對(duì)象的區(qū)別與聯(lián)系.數(shù)學(xué)操作性問題正好可以讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).

在各地中考試題中，旋轉(zhuǎn)本身容易出綜合題.結(jié)合滾動(dòng)的知識(shí)內(nèi)容之后，方法就容易掌握，難度自然降低.特別是初中階段一些非常重要的基本圖形.例如，正三角形、直角三角形、正方形等.將其作為主要基本圖形放入題目中，讓學(xué)生讀題、解題都有一種似曾相識(shí)的感覺.雖然解題門坎設(shè)置不高，但是對(duì)知識(shí)與能力的考查要求并沒有降低，符合當(dāng)下的命題理念.教師在指導(dǎo)學(xué)生備考復(fù)習(xí)時(shí)，可以借助全國(guó)各地區(qū)的中考試題，對(duì)其進(jìn)行改編，讓學(xué)生在創(chuàng)新的試題中提高解題能力.