李賓 周露

[摘 ?要] 中國學(xué)生的核心素養(yǎng)以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，其中表現(xiàn)之一是學(xué)會學(xué)習(xí)，因此對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更應(yīng)該以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會思考，發(fā)展學(xué)生的思考力為目標(biāo). 文章以一節(jié)“平行四邊形”習(xí)題課為例，發(fā)現(xiàn)通過課本一道習(xí)題的不斷變式，起于課本、變于課本、生長于課本、發(fā)展于課本，對學(xué)生思考力的發(fā)展有很大的提升.

[關(guān)鍵詞] 中國學(xué)生;核心素養(yǎng);核心競爭力;思考力

教科書編者在編寫教材時，會根據(jù)學(xué)生年齡結(jié)構(gòu)的特征及學(xué)生對現(xiàn)有知識的儲備，將知識點按照由淺入深、由易到難、由簡單到復(fù)雜的螺旋上升的形式呈現(xiàn). 因此，抓住教材中的典型習(xí)題，深入思考、適度變式探究，對調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的作用，同時教師的專業(yè)素養(yǎng)也能得到發(fā)展.

以一節(jié)“平行四邊形”的習(xí)題課為例，對于一節(jié)幾何習(xí)題課的教學(xué)，作為教師不能就題解題，應(yīng)該關(guān)注所選的題型要鞏固所學(xué)知識，更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生思維的生長. 筆者在本節(jié)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)題型的不斷演變對學(xué)生思考力的培養(yǎng)和提升有很大的作用.

播下思維的“種”——原型題

“思維的種子”指數(shù)學(xué)中的基本知識點、基本模型、基本問題，或是指一個問題的基本細節(jié)、部分或步驟等;換言之，“種子”指基本知識點或問題起始點，它是問題的根.

已知：AB=DC，AD=BC.

求證：△ABC≌△CDA.

本題是課本的一道基礎(chǔ)題，是學(xué)生思維的起點，是對全等三角形判定的考察，絕大部分的學(xué)生對這個證明是沒有問題的，設(shè)置本題的目的一方面是要調(diào)動學(xué)生的積極性與自信心，另一方面是提出基本問題為后面的探究做鋪墊，從效果上來看還是非常好的，每一位學(xué)生都能積極參與進來.

發(fā)出思維的“芽”——變結(jié)論

“思維的芽”指在數(shù)學(xué)基本問題的基礎(chǔ)上進行演變發(fā)展，問題有層次，但跳躍性不大，學(xué)生能夠夠得著，容易想到，學(xué)生的思維正以小坡度慢慢生長.

已知：AB=DC，AD=BC.

求證：AB∥DC，AD∥BC.

本題在前一題的基礎(chǔ)上變了結(jié)論，條件沒有變;結(jié)論在原有的基礎(chǔ)上再遞進了一步，培養(yǎng)學(xué)生在解決幾何問題時不僅僅證出結(jié)論即可，而是要讓學(xué)生養(yǎng)成一種思考的習(xí)慣，“在這個結(jié)論的基礎(chǔ)上我還能夠得到哪些新的結(jié)論？”“如果將條件再變一個還會有哪些新的結(jié)論？”長期通過這種生長性學(xué)習(xí)，學(xué)生很容易想到由“全等”得到“角等”，進而得出“線平行”. 通過習(xí)題的改編發(fā)展學(xué)生的思考力，問題的層層推進，同時又保持適當(dāng)?shù)木嚯x，學(xué)生既不能輕易得手，又不覺得無計可施，使探究更具操作性. 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)該是以思維活動為核心的學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師的重要任務(wù)就是培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的探究欲望，尋求問題的發(fā)展和解決的過程.

抽出思維的“枝”——變圖（課本P24，練習(xí)2）

“思維的枝”是指問題各部分或相關(guān)聯(lián)問題之間的功能、作用及其相互關(guān)系等，它是一種聯(lián)系，一種內(nèi)在思維的脈絡(luò).

已知：AB=DC，AD=BC.

求證：AB∥DC，AD∥BC.

本題是在上一題的基礎(chǔ)上進行了“變圖”生長至課本P24的練習(xí)2，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)圖能力. 從目標(biāo)結(jié)論出發(fā)，要證“線平行”就要找“角相等”，從而想到全等，再來構(gòu)造出兩個三角形. 有了前面兩題的鋪墊，學(xué)生很容易想到作輔助線“連接AC”（或者“連接BD”），將本問題轉(zhuǎn)化成上一個問題來解決. 本題通過變圖發(fā)展學(xué)生的歸納思維能力，幫助學(xué)生的視角由整體走向局部，能夠?qū)D形進行分析和思考，提升學(xué)生的思維水平.

長出思維的“樹”——逆命題考察（補充習(xí)題P08，題1）

“思維的樹”指通過由淺入深、由易到難、由簡單到復(fù)雜、由正向到逆向不斷地以螺旋上升的方式呈現(xiàn)出來的完整的思維結(jié)構(gòu);問題的縱向設(shè)計與拓展，橫向關(guān)聯(lián)與變式，可以將簡單問題延伸拓展作為復(fù)雜問題的基礎(chǔ)，也可將復(fù)雜問題進行分解或轉(zhuǎn)化為基本的、一些部分或步驟來分析與解決，進而形成思維的正向與逆向雙向關(guān)聯(lián).

已知：AB∥DC，AD∥BC.

求證：AB=DC，AD=BC.

條件與結(jié)論互換，建立原命題的逆命題，是幾何教學(xué)中最為常見的一種變式方法. 本題是上一個命題的逆命題，在前三個問題的基礎(chǔ)上，學(xué)生容易想到做輔助線“連接AC”將圖形分割成兩個三角形，由“線平行”得到“角相等”，從而證明出三角形全等，得到“對應(yīng)邊相等”;此外，還會有部分學(xué)生是從目標(biāo)結(jié)論出發(fā)，分析推理問題，在上一個問題的基礎(chǔ)上學(xué)生逆向思考，要證“線相等”，只要證“三角形全等”，從而找“角等”，最后回到已知條件“線平行”上. 本題通過逆命題培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有幫助，而且可以改善學(xué)生的思維方式，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，培養(yǎng)良好的思維品性，促進學(xué)生思維完整.

開出思維的“花”（課本P18，例4）

“思維的花果”指以教材習(xí)題為依托，將其往縱向挖掘，往橫向延展，對相關(guān)內(nèi)容進行整合、變形、變式、引申、拓展，把思維提升至學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，活化思維.

已知：△ABC，D是BC的中點，DE∥AC，DF∥AB.

求證：BE=DF，DE=CF.

本題看似與前幾題圖形有較大的不同，但通過前面幾題畫圖、描圖、作標(biāo)記、析圖的過程，學(xué)生的頭腦里已經(jīng)初步建立了模型，能夠從較復(fù)雜的圖形中剝離出基本圖形. 由上一題生長至課本18頁的例題，鞏固學(xué)生的思維成果. 從課堂效果來看，通過前面幾題的鋪墊和變式，絕大部分學(xué)生都能夠掌握了. 從基本圖形出發(fā)逐漸改變圖形，讓學(xué)生清晰地了解圖形的基本要素之間的關(guān)系，然后逐漸拓展延伸基本圖形，使學(xué)生的思維更具有靈活性.

結(jié)出思維的“果”

前一題的結(jié)論證明出來后，在這個基礎(chǔ)上讓學(xué)生繼續(xù)思考還能得出哪些結(jié)論. 以下面的變式1為例，引導(dǎo)學(xué)生的思維到達“三角形中位線”的最近發(fā)展區(qū).

變式1：求證：E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點.

在前一題的基礎(chǔ)上學(xué)生已經(jīng)得出BE=DF，DE=CF，要證E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，只要證AE=DF，DE=AF即可，這時就會發(fā)現(xiàn)只要將圖①、圖②遮住，這個問題其實就是第三題的原題. 通過大半節(jié)課的學(xué)習(xí)，原圖的思維種子已經(jīng)在學(xué)生的頭腦里生根、發(fā)芽、成枝了，再通過讀題、描圖、作標(biāo)記，學(xué)生很快就會發(fā)現(xiàn)這個圖中隱藏的平行四邊形，問題就迎刃而解了. 接下來的探究問題不再是給定的了，而是放手讓學(xué)生自主去挖掘探究，讓不同的學(xué)生都能以探究者的姿態(tài)出現(xiàn)，去體驗創(chuàng)造成功的感受，定能讓學(xué)生的思維得到錘煉，創(chuàng)造性思維得到發(fā)展. 從課堂效果來看，學(xué)生的思維已經(jīng)達到高潮，非常的活躍.

“連接EF”后這個圖形被分成了四個小三角形，由前面的證明已經(jīng)知道①和②是全等的，③和④是全等的，大部分學(xué)生立即猜想這四個小三角形是否都全等？學(xué)生通過演繹推理能夠輕松地證明四個三角形全等，視角已經(jīng)能夠由局部走向整體. 在這樣的探究勁頭下，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)EF∥BC，這時教師適當(dāng)加以追問“EF在位置上是平行于BC，在數(shù)量上是什么關(guān)系呢？其他兩條線段DE，DF也有同樣的發(fā)現(xiàn)嗎？”雖然沒有給出定義，但這時學(xué)生的思維層次已經(jīng)達到了解三角形中位線的水平了. 此外，還有四個小三角形的周長、面積與大三角形的周長和面積之間的關(guān)系，學(xué)生都能夠發(fā)現(xiàn)并說理出來. 雖然下課鈴已經(jīng)響起來了，但學(xué)生探究的熱情并沒有結(jié)束，一節(jié)好課的最高境界不是“我會了”，而是“我還想學(xué)”.

整節(jié)課教學(xué)思路清晰，由課本的一道原題，通過“低起點、小坡度、有高度”不斷變式、拓展將學(xué)生的思維提升至三角形中位線的水平，甚至“生長”到九下相似三角形的性質(zhì)的位置;幾個變式圖成系統(tǒng)，有主線，每一個題目的過渡自然流暢，符合學(xué)生的認知規(guī)律和思維水平;內(nèi)容上豐富多樣，涵蓋課本、補充習(xí)題上的所有同類型的題目. 在整節(jié)課中通過描圖、作標(biāo)記、析圖的過程培養(yǎng)學(xué)生抽象建模的能力，通過“一題多變”促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、演繹推理能力和口頭表達能力的提高. 在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，關(guān)注思維的方向性、層次性、靈活性、品質(zhì)性，才能優(yōu)化學(xué)生主動建構(gòu)知識的過程，提升思考力，激發(fā)智慧.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解.

思考力的提升是一個積累的過程，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，要想成為一個獨立思考的人，思維訓(xùn)練必不可少，尤其對于幾何這部分的教學(xué)，更需要借助對題型的不斷演變，發(fā)展學(xué)生的思維. 題型的演變必須以“低起點、小坡度、上高度”為主線，讓不同水平的學(xué)生都能得到一定的發(fā)展. 因此教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要把發(fā)展學(xué)生思考力作為重要的目標(biāo)，借助典型的問題，引導(dǎo)學(xué)生運用已有的知識經(jīng)驗，將不熟悉的問題與熟悉的問題進行類比;在教學(xué)設(shè)計時善于將教學(xué)內(nèi)容“生長”下去，促進學(xué)生新、舊經(jīng)驗的相互作用豐富或調(diào)整原有的認知結(jié)構(gòu)，順利進行知識建構(gòu). 使學(xué)生能不僅更系統(tǒng)的、完整的掌握數(shù)學(xué)知識，更為數(shù)學(xué)思維的發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ).