萬兵 李景財

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)指南，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)史有利于數(shù)學(xué)教學(xué)觀念與方式的創(chuàng)新、有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)、有利于數(shù)學(xué)思想方法與文化的滲透. 文章以基于“HPM”視角的配方法教學(xué)設(shè)計為例，對以上觀點(diǎn)進(jìn)行了深度解讀.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史;“HPM”視角;核心素養(yǎng)

一門學(xué)科的歷史知識好比是“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”，有助于使該學(xué)科更具吸引力，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們樹立正確的價值觀. 如果用歷史回顧和歷史軼事點(diǎn)綴枯燥的問題求解和幾何證明，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就會大大增加. 通過歷史的解說，教師可以讓學(xué)生明白，數(shù)學(xué)并不是一門枯燥的學(xué)科，而是一門不斷進(jìn)步的、生動有趣的學(xué)科.

一門學(xué)科的歷史是這門學(xué)科的教學(xué)指南，因?yàn)閷W(xué)生的理解具有歷史相似性，正如“HPM”先驅(qū)者史密斯所說：“困擾世界的東西也會困擾兒童，世界克服其困難的方式提示我們，兒童在其發(fā)展過程中會以類似的方式來克服類似的困難.”換而言之，學(xué)生所遭遇的困難往往是相關(guān)學(xué)科的創(chuàng)建者經(jīng)過長期思索和探究后所克服的實(shí)際困難，個體知識的發(fā)生遵循人類知識的發(fā)生過程，因此，數(shù)學(xué)史是有效的教學(xué)工具.

結(jié)合上述理論，作者在2018年武漢市初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽中，設(shè)計了一節(jié)基于“HPM”視角的優(yōu)質(zhì)課，教學(xué)內(nèi)容為人教版第21章第2節(jié)“配方法”的第一課時，探究如何讓數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，并給予反思.

教學(xué)目標(biāo)

（1）會用直接開方法解形如x2=p，（x+n）2=p（p≥0）的方程;理解配方法，會用配方法解形如x2+bx+c=0的方程.

（2）通過探索配方法的過程，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

（3）學(xué)生在獨(dú)立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價值，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)片段及分析

1. 情境導(dǎo)學(xué)

教師：公元前兩千年左右，古巴比倫人在他們的著作《泥板文書》上曾提出過這樣一個問題：“已知長方形面積，以及長和寬之差，求長和寬.”如果長方形的面積為24，長和寬之差為2，該長方形的長和寬分別為多少呢？

學(xué)生1：設(shè)長方形的寬為x，則長為x+2，所以x（x+2）=24.

教師：我們得到的方程是一個什么方程？

學(xué)生2：一元二次方程.

教師：如何解這個方程呢？（揭示課題）

教學(xué)分析 這一問題首先將學(xué)生帶入到公元前兩千年左右的古巴比倫時期，激發(fā)學(xué)生們的興趣，讓學(xué)生感知這一數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的必然性和久遠(yuǎn)的歷史. 同時兼顧到了問題的難度，學(xué)生容易上手，主動建構(gòu)了一條邏輯連貫的學(xué)習(xí)鏈條.

2. 問題促學(xué)

觀看微視頻，并在學(xué)案上完成下列三個問題：

史實(shí)材料1：在歷史上，最早出現(xiàn)的一元二次方程來源于古埃及的《紙草文書》上所提出的問題：“已知正方形的面積，求邊長.”如一個正方形的面積是5，求該正方形的邊長.

史實(shí)材料2：古埃及祭司針對上述問題，提出了一個拓展問題：“已知長方形的面積以及長和寬之比，求長和寬. ” 如一個長方形的長和寬之比為3∶2，面積為30，求該長方形的長和寬.

史實(shí)材料3：因農(nóng)業(yè)生產(chǎn)需要，先民們需要對正方形土地進(jìn)行擴(kuò)建改造：將一個正方形的邊長增加3，得到新的正方形的面積為25，求原來正方形的邊長.

（學(xué)生3板書）解：設(shè)正方形的邊長為x.

列方程得x2=5，

所以x=±.

（學(xué)生4板書）解：設(shè)正方形的長和寬分別為3x和2x.

列方程得6x2=30，

所以x2=5，

所以x=±.

（學(xué)生5板書）解：設(shè)原來正方形的邊長為x.

列方程得（x+3）2=25.

所以x+3=±5，

所以x=2或-8.

教師：你們能嘗試說一說解方程的依據(jù)嗎？

學(xué)生3：x2=5，那么x的值就是5的平方根，所以我用到了平方根的定義.

學(xué)生4：先將x2前面的系數(shù)化為1，是為了轉(zhuǎn)化成類似問題1中的方程，以便于我們用平方根的定義求解.

學(xué)生5：將x+3當(dāng)作一個整體，方程形式和問題1中的形式類似，可以先用平方根的定義求出x+3，再求x.

教師：不錯，講得很好. 思路清晰，邏輯嚴(yán)密，回答正確. 這三個同學(xué)道出了解決這類方程的三個關(guān)鍵詞：開平方根，系數(shù)化1，整體思想. 這種解決問題的辦法叫作直接開平方法. 那么進(jìn)一步，你認(rèn)為具有什么結(jié)構(gòu)特征的一元二次方程能用直接開平方法解呢？

學(xué)生6：如果方程能化成x2=p或（x+n）2=p（p≥0且p為常數(shù)）的形式，那么直接開平方可得x=±或x+n=±.

教師：非常準(zhǔn)確，你歸納總結(jié)的能力非常強(qiáng)，希望大家下次遇到以上形式的方程的時候能夠快速準(zhǔn)確地求解. 但遺憾的是，我們所遇到的問題中，有很多一元二次方程并非具備上述形式，那該怎么辦呢？比如，你能解方程x2+6x+9=25嗎？

學(xué)生6：我發(fā)現(xiàn)x2+6x+9是一個完全平方式，因此方程可化為（x+3）2=25，再用直接開平方法就可以求解了.

教師：非常好，這位同學(xué)的回答告訴我們：具備“完全平方式=常數(shù)”這一結(jié)構(gòu)特征的方程變形后也可以用直接開平方法求解. 那么大家還記得完全平方式嗎？請?zhí)顚懴铝锌瞻祝?/p>

①x2+10x+______=（x+______）2;

②x2-3x+______=（x-______）2;

③x2-x+______=（x-______）2.

學(xué)生7：這6個空白分別填25，5，，，，.

教師：完全正確，那么老師想追問大家一個問題：你們所填的常數(shù)項與一次項系數(shù)有何關(guān)系？

學(xué)生8：常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方.

教師：很好，不過老師要提醒大家的是我們應(yīng)該在這個結(jié)論之前加一個條件：二次項系數(shù)是1. 如果二次項系數(shù)不是1呢？這將是我們下節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，本節(jié)課，我們先重點(diǎn)學(xué)習(xí)二次項系數(shù)是1的情況.

教學(xué)分析 該部分設(shè)計的思路遵循這一原則，從古巴倫人最初遇到的最簡單的一類一元二次方程出發(fā)，著眼于學(xué)生知識發(fā)展的生長點(diǎn)，同時又產(chǎn)生矛盾，讓學(xué)生思考對于更為一般的方程又該怎么處理呢？筆者尋求了思維的鋪墊，給出x2+6x+9=25該如何解這一問題，旨在告訴學(xué)生具備“完全平方式=常數(shù)”這一結(jié)構(gòu)特征的方程也可用直接開平方法求解;對于更為一般的方程，將其轉(zhuǎn)化為這一形式，將未知問題化歸為已有經(jīng)驗(yàn).

3. 活動研學(xué)

請小組合作探究方程x2+6x+4=0的求解過程，并歸納具體步驟.

學(xué)生9板書：x2+6x+4=0.

解：x2+6x+9-5=0，

所以x2+6x+9=5，

所以（x+3）2=5，

所以x+3=±，

所以x1=-3+，x2=-3-.

學(xué)生10板書：x2+6x+4=0.

解：x2+6x=-4，

所以x2+6x+9=-4+9，

所以（x+3）2=5，

所以x+3=±，

所以x1=-3+，x2=-3-.

教師：請兩位同學(xué)分別來解釋一下各自的想法.

學(xué)生9：根據(jù)剛才所學(xué)的，我們的目的是為了化成“完全平方式=常數(shù)”這一形式，現(xiàn)在要想讓左邊是完全平方式，必須是x2+6x+9，所以我們再減去5就能還原成x2+6x+4了.

學(xué)生10：為了不讓常數(shù)4干擾我們配完全平方，我們可以先將常數(shù)移至等式右邊，等式右邊變?yōu)?4+9.

教師：非常好！所以，這兩位同學(xué)最終殊途同歸，具體差別在于，第一位同學(xué)這個5是用9-4得到的，這里面其實(shí)含著兩步計算;第二位同學(xué)的過程是分步進(jìn)行的，先配方再合并同類項，第二種方法步驟分明，便于計算. 我們將這種解一元二次方程的方法叫作配方法. 請同學(xué)們分別概括一下配方法的概念，闡述配方法的目的，以及它的具體步驟.

學(xué)生11：定義：通過配成完全平方式的形式來解一元二次方程的方法，叫作配方法.

學(xué)生12：目的：降次，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.

學(xué)生13：步驟：①移項，把方程的常數(shù)項移到方程的右邊;②配方，方程左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方;③開方，利用直接開平方法解方程;④寫解，將方程的解表示為x1=p1，x2=p2的形式.

教學(xué)分析 活動研學(xué)前面部分的教學(xué)內(nèi)容是為了讓學(xué)生厘清我們已有的認(rèn)知. 活動研學(xué)部分的教學(xué)設(shè)計給了學(xué)生開放性的思維空間，所有思維方式最終的本質(zhì)和落腳點(diǎn)都是不變的，既尊重了學(xué)生的思維，同時又幫助同學(xué)們建立了更為清晰的認(rèn)識.

4. 應(yīng)用評學(xué)

（1）認(rèn)真觀察下面方程的解法是否正確：

設(shè)計目的 學(xué)生從掌握新知到準(zhǔn)確地運(yùn)用新知還有一段距離，給出常見的錯誤案例，讓學(xué)生進(jìn)行判斷，可以讓學(xué)生認(rèn)識常見錯誤，思考錯誤的原因，厘清錯誤的認(rèn)知，達(dá)到易錯糾錯、易錯防錯的目的，從而規(guī)避可能出現(xiàn)的錯誤.

（2）解下列方程：①3（x-1）2-6=0;②x2-8x+1=0;③x2-x-=0.

設(shè)計目的 本節(jié)課的目標(biāo)之一就是會用配方法解決形如x2+bx+c=0的方程，本題的設(shè)計起到了鞏固、檢查、診斷的作用.

（3）回歸情境問題：課前的方程x（x+2）=24，你會解了嗎？

設(shè)計目的 看待一節(jié)課是否具備整體觀，有多重維度，如教學(xué)設(shè)計是否經(jīng)歷了生成問題、分析問題、解決問題的“閉環(huán)結(jié)構(gòu)”，教學(xué)是否生成了新的教學(xué)資源和問題，給學(xué)生更多思考的空間……設(shè)計問題（3）的目的是為了呼應(yīng)課程最初所生成的問題，讓學(xué)生切實(shí)感受到獲得感.

5. 數(shù)學(xué)史話

微視頻：了解并欣賞古人如何解一元二次方程.

設(shè)計目的 古巴比倫人在不接受負(fù)數(shù)概念的情況下，是如何求解一元二次方程的呢？他們采用的是“割補(bǔ)化方”的方法，本質(zhì)上等同于我們的“出入相補(bǔ)原理”. 例如，方程x（x+2）=24的幾何意義為長為x+2，寬為x的長方形的面積24，如何求解呢？如圖1，他們先將這個長方形分成邊長為x的正方形和一個長為x，寬為2的長方形，繼續(xù)再將這個長方形分成兩個寬為1的小長方形，并將這三個圖形拼在一起，此時只需要補(bǔ)一個邊長為1的正方形便可以構(gòu)成一個大正方形了，因此大正方形的面積為24+1=25，所以大正方形的邊長x+1等于5，得到x的值為4，從而順利地解決了該問題. 學(xué)生們通過了解這段歷史，感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

反思升華

1.有利于數(shù)學(xué)教學(xué)觀念與方式的創(chuàng)新

數(shù)學(xué)史的運(yùn)用創(chuàng)新了“數(shù)學(xué)知識的形成過程的方式”，以數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)古代對該知識的認(rèn)知，呈現(xiàn)該知識的發(fā)展歷程，為當(dāng)今呈現(xiàn)該知識形成過程提供了背景與思路，使知識的形成過程具有底蘊(yùn).

本節(jié)課用數(shù)學(xué)史作為線索推動課堂內(nèi)容，自然而流暢. 為了貼合實(shí)際課堂，筆者用微視頻呈現(xiàn)歷史素材，素材鮮活、有感染力;用兩條線貫穿課堂：一條線是借數(shù)學(xué)史，展開現(xiàn)代數(shù)學(xué)的內(nèi)容;另一條線是利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)和古代數(shù)學(xué)在處理數(shù)學(xué)問題上的差異制造沖突，沖擊學(xué)生的思維，讓學(xué)生在感受古代數(shù)學(xué)智慧的同時感悟現(xiàn)代數(shù)學(xué)的簡約，體驗(yàn)數(shù)學(xué)直觀美、簡約美、智慧美，讓學(xué)生感受成功的喜悅，感受數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感.

2. 有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)

本課基于“HPM”理念，始終圍繞培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，創(chuàng)新問題情境，引發(fā)學(xué)生深度思考，讓學(xué)生在掌握基本知識、基本技能的同時，去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，甚至讓學(xué)生大膽到講臺上講出來，給學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流和勇于表達(dá)等機(jī)會與空間，培養(yǎng)學(xué)生終生需要的學(xué)習(xí)習(xí)慣、必備品格和關(guān)鍵能力.

3. 有利于數(shù)學(xué)思想方法與文化的滲透

實(shí)施數(shù)學(xué)史的教學(xué)展示了數(shù)學(xué)活動實(shí)踐，呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動的歷史背景、文化和思想方法，所以說實(shí)施數(shù)學(xué)史的教學(xué)是滲透數(shù)學(xué)思想方法和文化的有效舉措. 教學(xué)設(shè)計中的數(shù)學(xué)史介紹了古人如何解一元二次方程，很好地滲透了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法和文化.

本課以數(shù)學(xué)史料為線索展開教學(xué)，增強(qiáng)了學(xué)生的新奇感，一定程度上調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性;但由于學(xué)生數(shù)學(xué)史的儲備不同，學(xué)生對數(shù)學(xué)史的素材理解、價值感悟、情感體驗(yàn)有一定的差異，產(chǎn)生的作用與預(yù)設(shè)有一定的差距. 可以看出，基于“HPM”視角的教學(xué)需要一個長期、循序漸進(jìn)的過程，需要相互適應(yīng)，不斷融合，不斷積累情感體驗(yàn)，使師生形成“HPM”視角的價值觀、教學(xué)觀，才能使“HPM”視角下的教學(xué)行為成為常態(tài).