張敏 李軍 孫迪

[摘 ?要] APOS理論是一種建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，它不僅指明了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程是分為四個(gè)階段的，而且還指導(dǎo)教師如何進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué).文章在APOS理論指導(dǎo)下，以數(shù)學(xué)史融入一元二次方程概念教學(xué)為例，詳細(xì)地解釋了在APOS理論指導(dǎo)下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)，旨在推廣APOS理論在實(shí)際教學(xué)中對(duì)于概念教學(xué)的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] APOS理論;一元二次方程;教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中往往需要用到數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，而能夠熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的前提是對(duì)于數(shù)學(xué)基本概念的理解和掌握;此外，數(shù)學(xué)又具有高度的抽象性，因此對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解和掌握又是十分困難的.對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的形成過(guò)程，幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式，還應(yīng)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、探索、猜測(cè)、交流、反思等活動(dòng)逐步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，獲得積極的情感體驗(yàn)，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意義[1].

APOS理論概述？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

20世紀(jì)80年代，美國(guó)著名教育學(xué)家杜賓斯基等人根據(jù)皮亞杰的學(xué)習(xí)理論提出，任何一個(gè)數(shù)學(xué)教育中的理論或模型都應(yīng)該致力于對(duì)“學(xué)生是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的”及“什么樣的教學(xué)計(jì)劃可以幫助這種學(xué)習(xí)”的理解，基于這個(gè)觀點(diǎn)杜賓斯基等人建立了APOS理論[2]. APOS理論深入地研究了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過(guò)程中的思維活動(dòng)，真實(shí)地反映了數(shù)學(xué)知識(shí)形成的規(guī)律性，這在教學(xué)活動(dòng)中則為教師如何進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一種具體而實(shí)用的教學(xué)策略. APOS理論提出數(shù)學(xué)概念的形成要經(jīng)過(guò)“活動(dòng)（action）”、“過(guò)程（processes）”、“對(duì)象（objects）”和“圖式（schemas）”4 個(gè)階段.

第一階段：活動(dòng)（action）階段

活動(dòng)階段（也稱為操作階段）相當(dāng)于觀察、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)階段. 在這個(gè)階段，教師通過(guò)具體的活動(dòng)讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家們一樣親身感受現(xiàn)實(shí)背景和概念之間的關(guān)系，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際的活動(dòng)來(lái)獲得知識(shí). 但這種活動(dòng)并不僅僅是做游戲、做手工、觀察實(shí)驗(yàn)，它還需要進(jìn)行實(shí)際的操作演算以及個(gè)體在活動(dòng)中的反思和歸納，將活動(dòng)中觀察到的東西轉(zhuǎn)化為我們需要的知識(shí). 例如，通過(guò)現(xiàn)實(shí)情景學(xué)生發(fā)現(xiàn)存在一類整數(shù)方程，它們只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，這個(gè)過(guò)程就是活動(dòng).

第二階段：程序（processes）階段

程序階段（也稱為過(guò)程階段）. 當(dāng)活動(dòng)階段的刺激不斷重復(fù)，學(xué)生不斷反思，學(xué)生就會(huì)在大腦中自發(fā)地進(jìn)行心理建構(gòu)，他們會(huì)嘗試概括或者描述活動(dòng)階段感知到的內(nèi)容. 比如，在程序階段學(xué)生會(huì)嘗試給一元二次方程下定義或者是嘗試找到它的一般形式來(lái)表示它. 此時(shí)的概括或者描述還是淺顯的，不完善的，和其他知識(shí)相孤立.

第三階段：對(duì)象（objects）階段

在對(duì)象階段學(xué)生能更深層次地認(rèn)識(shí)到概念的本質(zhì)特征，能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確地概括或者描述概念，即將概念進(jìn)行數(shù)學(xué)化. 例如：會(huì)用ax2+bx+c=0這個(gè)一般形式表示一元二次方程，并且知道當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a=0時(shí)，方程變?yōu)橐辉淮畏匠?當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，一次項(xiàng)系數(shù)b=0或者常數(shù)項(xiàng)c=0時(shí)，方程變?yōu)橐辉畏匠痰膬煞N特殊形式ax2+c=0或ax2+bx=0.

第四階段：圖式（schemas）階段

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了活動(dòng)、程序、對(duì)象這幾個(gè)階段后，在他自己頭腦中就會(huì)將新知識(shí)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行整合從而產(chǎn)生新的圖式. 當(dāng)學(xué)生頭腦中構(gòu)建出新的圖式后，他就能利用這個(gè)圖式很好地區(qū)分概念的內(nèi)涵和外延，能清晰地知道新的概念與其他相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系. 例如，對(duì)于“一元二次方程”概念的理解在圖式階段包含具體的一元二次方程實(shí)例、抽象出概念的過(guò)程、一元二次方程完整的定義，一元二次方程和一元一次方程、二次函數(shù)等概念的聯(lián)系與區(qū)別.

一般情況下APOS理論的這四個(gè)階段是循序漸進(jìn)、循環(huán)上升的，但是圖式并不是經(jīng)歷一次教學(xué)活動(dòng)就能完成的，要在學(xué)生頭腦中建立一個(gè)完善的圖式通常要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期不斷的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)架起了兩座橋梁，一座溝通了數(shù)學(xué)與人文，一座溝通了歷史與現(xiàn)實(shí). 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)可以呈現(xiàn)知識(shí)的和諧，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源，同時(shí)展現(xiàn)文化的魅力，讓數(shù)學(xué)課堂彰顯人性的光芒和浸潤(rùn)文化的芬芳，有助于培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng).

下面以北師大版初中數(shù)學(xué)“一元二次方程”概念教學(xué)為例介紹APOS理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)史融入概念課教學(xué)的設(shè)計(jì).

APOS理論指導(dǎo)下數(shù)學(xué)史融入一元二次方程概念教學(xué)設(shè)計(jì)

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，在初中數(shù)學(xué)中占重要地位，一方面，一元二次方程的學(xué)習(xí)，是對(duì)一元一次方程及不等式知識(shí)的延續(xù)和深化，也是今后學(xué)習(xí)一元二次不等式、二次函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ). 另一方面，一元二次方程的學(xué)習(xí)對(duì)于物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)也有重要意義，如物理中變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的解決就需要借助于一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：理解并掌握一元二次方程的概念及一般形式，會(huì)把一個(gè)一元二次方程化為一般形式，并準(zhǔn)確地判斷出一元二次方程的各項(xiàng)與系數(shù). 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生分類、類比、歸納和概括能力.

過(guò)程與方法：本節(jié)課將通過(guò)APOS理論的指導(dǎo)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生一步步經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)背景中抽象出一元二次方程的概念的過(guò)程.

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)感受到數(shù)學(xué)歷史的悠遠(yuǎn)和數(shù)學(xué)知識(shí)的趣味.

教學(xué)重點(diǎn)：一元二次方程概念的理解.

教學(xué)難點(diǎn)：從實(shí)例中抽象概括出一元二次方程的概念.

教學(xué)過(guò)程：

1. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，讓學(xué)生在實(shí)際情境中感知對(duì)象（活動(dòng)階段）.

19世紀(jì)上半葉，考古學(xué)家在美索不達(dá)米亞地區(qū)挖掘出大約50萬(wàn)塊刻有楔形文字的泥板書. 這些泥板書跨越巴比倫歷史許多時(shí)期，其中有300多塊載有數(shù)學(xué)表和一些數(shù)學(xué)問(wèn)題.一塊古巴比倫泥板書上記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：正方形的面積與邊長(zhǎng)之和為，求正方形的邊長(zhǎng).你知道古巴比倫人是怎么計(jì)算出正方形邊長(zhǎng)的嗎？[3]

如果上面的問(wèn)題大家覺得有困難，我們不妨先來(lái)看看下面這道課本上的題：一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距離地面的垂直距離為8米.如果梯子的頂端下滑1米，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？[4]

對(duì)于上述兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生不難設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列得方程：x2+x=和x2+12x-15=0.

此時(shí)，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)方程是他們不熟悉的，但是它們又是真實(shí)存在的.

2. 自主探究，深入分析和感知對(duì)象，概括出對(duì)象的特征（程序階段）.

由上面的問(wèn)題我們得到兩個(gè)方程x2+x=和x2+12x-15=0.請(qǐng)你觀察這兩個(gè)方程說(shuō)一說(shuō)你觀察到什么？

請(qǐng)思考這兩個(gè)方程與3x=15和2x=1有什么區(qū)別？與3x+2y=15和5x+3y=24有什么區(qū)別？你能舉兩個(gè)相似的例子嗎？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)與一元一次方程和二元一次方程的對(duì)比，學(xué)生明確一元二次方程與一元一次方程、二元一次方程的區(qū)別，經(jīng)過(guò)逐層思考，不斷反思，概括出一元二次方程的本質(zhì)特征：①是整式方程，②只含有一個(gè)未知數(shù)，③未知數(shù)的最高次數(shù)是2次.在此基礎(chǔ)上教師再提出問(wèn)題“根據(jù)新方程的特征，你能給上面的新方程取個(gè)名字嗎？”引導(dǎo)學(xué)生將他們腦海中描述性語(yǔ)言數(shù)學(xué)化.

3. 合作交流，概括出數(shù)學(xué)對(duì)象的概念，并將其符號(hào)化（對(duì)象階段）.

請(qǐng)?jiān)僖淮斡^察方程x2+x-=0，x2+12x-15=0的結(jié)構(gòu)特征，你能說(shuō)出這類方程的一般形式嗎？

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一元一次方程，對(duì)于方程的“一般形式”并不陌生，通過(guò)類比一元一次方程一般形式的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠找到一元二次方程的一般形式. 但是，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，在一般形式ax2+bx+c=0中，

（1）a，b，c是已知數(shù)，還是未知數(shù)？

（2）常數(shù)a能等于零嗎？你能說(shuō)出理由嗎？

（3）常數(shù)b和c能等于零嗎？你能說(shuō)明理由嗎？

設(shè)計(jì)意圖 經(jīng)歷上面的環(huán)節(jié)，學(xué)生能更深刻地明白一元二次方程的一般形式中a，b，c均為常數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)a≠0.若a=0，則方程變?yōu)橐辉淮畏匠?，但是一次?xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可以為零，當(dāng)b=0時(shí)方程變?yōu)樘厥庑问絘x2+c=0，當(dāng)c=0時(shí)方程變?yōu)榱硪环N特殊形式ax2+bx=0，這一環(huán)環(huán)的思考能幫助學(xué)生更深刻認(rèn)識(shí)一元二次方程的本質(zhì)特征，并且在這個(gè)過(guò)程中體會(huì)從一般到特殊的思想.

現(xiàn)在，你能根據(jù)新方程的特征給新方程下一個(gè)定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生在經(jīng)歷上述環(huán)節(jié)后能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述一元二次方程的概念.但是他們的描述并不一定全面，教師在對(duì)學(xué)生的描述進(jìn)行總結(jié)后，將準(zhǔn)確的定義展示出來(lái)，并讓學(xué)生反思自己的描述有哪些不足之處，從而加深學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力.

4. 隨堂鞏固，建立概念圖式，完善知識(shí)體系（圖式階段）.

經(jīng)過(guò)上述三個(gè)階段的教學(xué)，學(xué)生在頭腦中能夠建立如下的心理圖式：一元二次方程是整式方程，它只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，它的二項(xiàng)式系數(shù)不能為零，一元一次方程是它的特殊形式.

（1）請(qǐng)判斷下面方程哪些是一元二次方程，哪些不是？

①3x3+2x2-x=0

②ax2+bx+c=0

③8x-5=0

④3x2-2x=0

⑤x2+3x-1=0

⑥+-2=0

（2）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)問(wèn)題辨析一元二次方程的定義，抓住一元二次方程的本質(zhì)特征，明確一元二次方程一般形式及二次項(xiàng)系數(shù)不為零，幫助學(xué)生理清概念的內(nèi)涵和外延，有助于學(xué)生圖式的構(gòu)建.

5. 課堂總結(jié)

請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)這節(jié)課你學(xué)習(xí)到哪些內(nèi)容？并說(shuō)一說(shuō)你對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的感受.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)總結(jié)和反思，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于一元二次方程的理解.

6. 作業(yè)布置

必做題：（1）課本第32頁(yè)，課堂練習(xí)1、2題

選做題：每個(gè)同學(xué)上網(wǎng)查找關(guān)于一元二次方程的歷史小趣事，找一個(gè)自己感興趣的故事閱讀，并寫一篇讀后感，一周后上交.

設(shè)計(jì)意圖 分層作業(yè)，充分滿足不同學(xué)習(xí)情況學(xué)生的需求.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 鮑建生，周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過(guò)程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[3] 顏峰. 數(shù)學(xué)來(lái)了5[M]. 山東：濟(jì)南出版社，2018.

[4] 義務(wù)教育教科書. 九年級(jí)上冊(cè)[M]. ?北京：北京師范大學(xué)出版社，2017.