黃穗

【摘 要】微積分的不定積分法在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用具有重要作用，其中“湊微分法”（第一類積分法）是三大計(jì)算方法之一，核心思想是通過(guò)“湊”微分，把關(guān)于復(fù)合函數(shù)的不定積分轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的不定積分。

【關(guān)鍵詞】不定積分;湊微分法;數(shù)學(xué)分析

微積分中的不定積分法在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)和應(yīng)用中具有舉足輕重的作用。就整個(gè)微積分學(xué)而言，不定積分是從導(dǎo)數(shù)的角度來(lái)定義的，因此，在某種程度上可以看成是微分的逆運(yùn)算;其后是在定積分、多重積分、線積分、面積分的計(jì)算基礎(chǔ)。就整個(gè)高等數(shù)學(xué)而言，不定積分的計(jì)算也是微分方程、數(shù)值分析、勒貝格積分等的基本工具。因此，在關(guān)于不定積分法的教學(xué)過(guò)程中，為了使學(xué)生能夠理解掌握并熟練應(yīng)用積分法，教材會(huì)有針對(duì)性地對(duì)不同類型的問(wèn)題提供不同的積分法，教師也會(huì)安排較多課時(shí)，通過(guò)計(jì)算大量的例題、布置較多作業(yè)完成教學(xué)。

在三大積分法（包括湊微分法、第二類換元法、分部積分法）中，首當(dāng)其沖的即是“湊微分法”，我們也稱之為第一類換元法。相較于其他兩種積分法，湊微分法更為靈活多變，處理的問(wèn)題也更為廣泛。在湊微分法的教學(xué)過(guò)程中，我們首先要確定的是，湊微分法解決的是哪類函數(shù)的不定積分問(wèn)題;其次是“湊什么”、“怎么湊”的問(wèn)題;最后需要解決湊微分法與其他積分法的綜合應(yīng)用。

現(xiàn)在先回答第一個(gè)問(wèn)題。湊微分法主要解決的是復(fù)合函數(shù)求不定積分節(jié)分的問(wèn)題。我們通過(guò)以下例題進(jìn)行說(shuō)明。

湊微分法的使用靈活多變，要求使用者對(duì)積分公式表中的積分較為熟悉，可通過(guò)觀察分析被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)確定“湊什么”“怎么湊”的問(wèn)題。此積分法在含三角函數(shù)的不定積分計(jì)算中尤為重要，需要通過(guò)大量練習(xí)才能熟悉掌握，從而為更復(fù)雜的計(jì)算打好基礎(chǔ)。

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