江蘇省揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225002) 陸立瑤 劉銘鑫

向量問題一直是高考的一個熱點問題,而其中有關(guān)向量的數(shù)量積問題又是較難的一類.從某市高三最近幾次的?？贾胁浑y看出,學(xué)生在求解數(shù)量積問題時方法欠缺,得分率較低.本文從近幾年高考題出發(fā),探索極化恒等式在解向量的數(shù)量積問題中的具體應(yīng)用,以期幫助學(xué)生對此類問題形成正確的思維模式.

一.極化恒等式

設(shè)a、b是平面內(nèi)的兩個向量,則有(a-b)2],其幾何意義是：在△ABC中,AD是BC上的中線,則有

上述式子表明向量的數(shù)量積既可以用向量的和、差的運算來表示1,同時也能用三角形內(nèi)的中線長和半底邊長的平方差來表示.此恒等式的精妙之處在于將向量的數(shù)量積與向量的線性運算連為一體,建立了形與數(shù)的聯(lián)系.并且,在此基礎(chǔ)上,極化恒等式可進(jìn)行如下推廣.

推廣1a·b=

推廣2在△ABC中,

推廣3平面內(nèi)有兩個定點A,B,點P滿足-→PA·--→PB=則點P的軌跡是以AB中點為圓心的圓,該圓的半徑為

證明由題意可知,線段AB為定長,設(shè)AB的中點為D,則有所以又因為D是定點,P是動點,所以點P的軌跡是以AB中點為圓心、為半徑的圓.

正確的使用極化恒等式的系列變式與推廣,可以極大的促進(jìn)問題的解決.極化恒等式蘊含著豐富的魅力,在不斷的探索過程中幫助我們把握向量的本質(zhì),抓住解決向量數(shù)量積問題的方法要領(lǐng).

二.極化恒等式在解題中的具體應(yīng)用

1.直接利用極化恒等式的定義來解題

例1(2012年高考安徽卷)平面向量a,b滿足|2a-b|≤3,則a·b的最小值為____.

解由極化恒等式可得：第一個等號當(dāng)且僅當(dāng)2a=-b時成立,第二個等號當(dāng)且僅當(dāng)|2a-b|=3時成立,兩個等號可以同時成立,所以a·b的最小值為

分析這道題的常規(guī)解法是將不等式兩邊平方,構(gòu)造出有關(guān)a·b的形式.但利用極化恒等式的定義,我們也可以將a·b先進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,進(jìn)而表示成與2a-b有關(guān)的等式,在根據(jù)不等式的性質(zhì)求解,在這里要注意等號取得的條件是否能同時滿足.

2.利用極化恒等式的幾何意義來解題

例2(2018年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D,若則點A的橫坐標(biāo)為____.

解設(shè)A(a,2a)(a＞0),則圓心C記AD的中點為E,連接CE,因為AC=CD且E是AD的中點,所以CE⊥AD.因為所以所以解得a=3或a=-1,因為a＞1,所以a=3.

分析此題利用極化恒等式,我們將轉(zhuǎn)變成了圓心到直線的距離與半徑長之比,將不方便計算的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為容易計算的線段長度問題,大大簡化了我們的計算步驟,要注意利用好題干的隱形條件,如半徑相等.

例3(2019年鹽城高三期中/2013年高考浙江卷)在△ABC中,tanA=-3,△ABC的面積S△ABC=1,P0為線段BC上一定點,且滿足若P為線段BC上任意一點,且恒有則線段BC的長為____.

圖1

解如圖1,設(shè)AC中點為E,連接P0E,過點A作AD⊥BC于點D,由極化恒等式可得因為AC為定長,所以當(dāng)PE⊥BC時最小,即P0E⊥BC,又因為AD⊥BC,點E為AC中點,所以EP0是△ABC的中位線,所以DP0=CP0.又因為所以DP0=CP0=BD,因為tanC=所以tanA=tan(π-B-C)==-3,所以所以所以

分析例3是一道隱形的極化恒等式的題目,條件打破常規(guī),其實就是讓我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點P在P0時,最小,這就需要我們對極化恒等式的幾何意義有個更深層次的把握.當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)P0E⊥BC時,接下來就是與三角形面積和tanA聯(lián)系起來,不難想到,直接利用三角形的面積公式,作高,從而進(jìn)一步尋找到線段的長度之比.

例4 (2016年高考江蘇卷)如圖2,在△ABC中,D是BC的中點,E、F是AD上的兩個三等分點,則的值是____.

圖2

解設(shè)BD=x,DF=y,根據(jù)極化恒等式,有所以

分析分析題干,AD、ED、FD分別是由外到內(nèi)的三個三角形的中線,利用極化恒等式的幾何意義,可以迅速構(gòu)造出方程組,求解出每段長,從而計算出的值,避免了建系的繁瑣.

3.利用極化恒等式的推廣公式來解題

例5(2017年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上,若則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是____.

解設(shè)點P坐標(biāo)為(x,y),AB的中點為C,則點C(-6,3).因為=PC2-AC2≤20,所以所以點P軌跡是在以C(-6,3)為圓心,為半徑的圓上及圓內(nèi).又因為點P在圓O:x2+y2=50上,所以解得又因為P在圓O左邊的圓弧AB上,結(jié)合限制條件可得故點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是

分析例3利用向量的坐標(biāo)運算也可以發(fā)現(xiàn)點P的軌跡,但是如果能借助極化恒等式的幾何意義,就能在第一時間找到本題“題眼”所在,的P點的軌跡是“某圓圓上及內(nèi)部”,只需求兩個圓重合的部分.在這里要注意求出兩圓交點后回到圖形中,發(fā)現(xiàn)一些隱形的限制條件.

例6(2014年高考江蘇卷)如圖3,在平行四邊形ABCD中,已知則的值是____.

圖3

圖4

解如圖4,取AB中點M,連接MP,延長交直線AD于點N,所以又因為即DP為△AMN的中位線,所以AN=2AD=10,MN=2MP在△AMN中,兩式相加得所以

分析這道題得常規(guī)解法是尋找基底與建系,但用極化恒等式也不失為一種巧妙的方法.先利極化恒等式計算出MP的長,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)線段DP與AM存在倍數(shù)關(guān)系,如若構(gòu)造出三角形,則DP為△AMN的中位線,那三邊長可以依次求出.通過放縮與推廣2,即可快速求解出-→AB·--→AD的值.

三.解題反思

通過以上例題我們可以發(fā)現(xiàn),極化恒等式在解決向量的數(shù)量積問題中具有廣泛的應(yīng)用,其魅力來源于它將代數(shù)與幾何相連接,將抽象的數(shù)量積問題用形象的幾何圖形來展示,轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀儗W(xué)過的平面幾何中線段長的問題,聯(lián)系了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).向量問題綜合性強(qiáng),難度大,選擇合適的解題工具就顯得尤為重要,在實際教學(xué)中,要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn),極化恒等式是解題的利器,訓(xùn)練他們快速地發(fā)現(xiàn)圖形特征,巧妙地使用極化恒等式進(jìn)行探索,最終實現(xiàn)數(shù)與形相互轉(zhuǎn)換的能力的發(fā)展.