福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉 陳藝平

比較大小試題經(jīng)常出現(xiàn)在高三年的綜合卷以及高考試題當(dāng)中.此類試題不僅能夠綜合考查指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的運算性質(zhì)、圖像、單調(diào)性等,還能夠與導(dǎo)數(shù)、不等式相結(jié)合.試題雖然簡短卻內(nèi)涵豐富,集指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)、不等式等眾多的知識點于一體,體現(xiàn)了在知識交匯處命題的原則,較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

類型一 直接借助函數(shù)的性質(zhì)比較大小

此類題型主要考查考查指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的運算性質(zhì),要求考生能夠借助指數(shù)函數(shù)(或者冪函數(shù))、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、圖像分析問題,并且綜合運用不等式的相關(guān)知識進(jìn)行求解,對考生的計算求解能力,推理論證能力提出了較高的要求.

例1(2016年全國I卷選擇第8題)若a＞b＞1,0＜c＜1,則( )

A.ac＜bcB.abc＜bacC.alogbc＜blogacD.logac＜logbc

圖1

圖2

圖3

解析(1)比較ac和bc.

對于ac和bc,觀察到它們底數(shù)不同,指數(shù)相同,因而可以采用兩種方法來進(jìn)行比較.

方法1構(gòu)造冪函數(shù).

令y=xc,由c＞0可知該函數(shù)在(0,+∞)單調(diào)遞增.因為a＞b,故ac＞bc.

方法2_構(gòu)造兩個指數(shù)函數(shù).

令y=ax和y=bx,因為a＞b＞1,故如圖1所示,由0＜c＜1得ac＞bc.

綜合上述分析可知,ac＞bc,故A答案錯誤.

(2)比較logac和logbc.

觀察到這兩個對數(shù)式底數(shù)不同,真數(shù)相同,因此構(gòu)造兩個對數(shù)函數(shù)進(jìn)行比較.令y=logax和y=logbx,因為a＞b＞1,故如圖2所示,由0＜c＜1得logbc＜logac＜0.因此,logbc＜logac＜0,故D答案錯誤.

(3)比較abc和bac.

abc-bac=ab(bc-1-ac-1),由a＞b＞1,c-1＜0,結(jié)合圖1可知0＜ac-1＜bc-1＜1.故bc-1-ac-1＞0,則abc-bac=ab(bc-1-ac-1)＞0.因此abc＞bac.故B答案錯誤.

(4)比較alogbc和blogac.

由于alogbc=logbca,blogac=logacb,從而可以轉(zhuǎn)化為比較logbca與logacb的大小.由于a＞b＞1,c-1＜0,故0＜ca＜cb＜1.結(jié)合圖3可知,logbca＜logacb,即alogbc＜blogac.故C答案正確.

例2 (2017年全國I卷選擇第11題)設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則( )

A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z

(思路1作差法.)

令2x=3y=5z=k,由于x,y,z為正數(shù),所以k＞1.則有x=log2k,y=log3k,z=log5k,因此2x=2log2由于故2x＞3y.由于故2x＜5z.綜上,有3y＜2x＜5z.

思路2作商法.

令2x=3y=5z=k,由于x,y,z為正數(shù),所以k＞1.則有x=log2k,y=log3k,z=log5k,因此2x=2log2k=由于故2x＞3y.由于故2x＜5z.綜上,有3y＜2x＜5z.

例3(2018年全國II卷選擇第12題)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則( )

A.a+b＜ab＜0 B.ab＜a+b＜0

C.a+b＜0＜abD.ab＜0＜a+b

解析根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知a＞0,b＜0,故ab＜0.由于log0.30.4＞0,log0.30.2＞0,log0.32＜0,因此即即a+b＞0.因此選D.

例4 (2018年天津卷選擇第5題)已知a=log2e,b=ln2,則( )

A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b

解析根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知a∈(1,2),又c=log23＞log2e,即c＞a,因此有c＞a＞b.

類型二 指數(shù)式、對數(shù)式以自變量的形式出現(xiàn)

在此類試題中,指數(shù)式、對數(shù)式是以自變量的形式出現(xiàn).題目會給出一個函數(shù)(可能是具體函數(shù)也可能是抽象函數(shù)),需要先考察該函數(shù)的單調(diào)性,然后比較自變量的大小,進(jìn)而結(jié)合單調(diào)性求解.

例5(2017年天津卷選擇第6題)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系是( )

A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜a＜cD.b＜c＜a

解析由于奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),所以當(dāng)x＞0時,f(x)＞0.顯然g(x)=xf(x)為偶函數(shù),a=g(-log25.1)=g(log25.1).由于g′(x)=f(x)+xf′(x),故當(dāng)x＞0時,g′(x)＞0,g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).因為20.8＜2,log24＜log25.1＜log28,結(jié)合g(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性可知b＜a＜c.

例6已知函數(shù)f(x)=ex-a+e-x+a,若3a=log3b=c,則( )

A.f(a)＜f(b)＜f(c) B.f(b)＜f(c)＜f(a)

C.f(a)＜f(c)＜f(b) D.f(c)＜f(b)＜f(a)

解析由于f(2a-x)=e-x+a+ex-a,因此f(2a-x)=f(x),所以f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱且f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.由圖4可知,a＜c＜b.因此f(a)＜f(c)＜f(b).

圖4

例7設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1-x),且f(x)是[1,+∞)上的增函數(shù),則的大小關(guān)系是( )

A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.a＞c＞bD.c＞b＞a

解析由已知有函數(shù)f(x)的對稱軸為x=1,f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,1)上單調(diào)遞減.由于結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知a＞b＞c.

例8已知偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則( )

A.f(2e)＞f(-3e) B.f(e2)＞f(-e3)

C.f(log0.50.5) D.

解析易知答案A,B錯誤.由于即即故結(jié)合f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,有答案D正確.由于-1,故結(jié)合f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,有答案C錯誤.

類型三 自行構(gòu)造函數(shù)

此類試題,題目不會直接告知相關(guān)的函數(shù),需要根據(jù)題目給出的指數(shù)式,對數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征靈活構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),進(jìn)而考查該函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合單調(diào)性求解.

例9下列命題為真命題的是____.

解析構(gòu)造函數(shù)令f′(x)=0得x=e2.易知f(x)在(0,e2)單調(diào)遞增,在(e2,+∞)上單調(diào)遞減,且最大值為如圖5所示.

(1)由f(3)＜f(4)得即所以(1)正確.

(2)由f(e)＜f(π)得即所以(2)錯誤.

(3)由f(15)＞f(16)得即所以(3)正確.

圖5

圖6

例10 找出e3,3e,eπ,πe,3π,π3中的最小者和最大者.

解析根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有e3＜eπ,3e＜3π,πe＜π3.構(gòu)造函數(shù)令f′(x)=0得x=e.易知f(x)在(0,e)單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.如圖6所示.由f(e)＞f(3)＞f(π)得得e3＞3e;由得3π＞π3;因此有3e＜e3＜eπ,πe＜π3＜3π.故最小值應(yīng)該在3e與πe中產(chǎn)生,最大值應(yīng)該在eπ與3π中產(chǎn)生.根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性有πe＜3e,eπ＜3π.故最小值為πe,最大值為3π.

例11(同例2)設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則( )

A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z

解析令2x=3y=5z=k,由于x,y,z為正數(shù),所以k＞1.則有x=log2k,y=log3k,z=log5k,因此構(gòu)造函數(shù)

圖7

f′(x)=令f′(x)=0得x=e.顯然f(x)在(0,1)和(1,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增.如圖7所示.由于3＜4＜5,所以f(3)＜f(4)＜f(5),即又lnk＞0,因此有3y＜2x＜5z.

例12 已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足：函數(shù)y=f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,且當(dāng)x∈(-∞,0)時,f(x)+xf′(x)＜0成立.若則( )

A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.a＞c＞b

解析由已知有y=f(x)為偶函數(shù).令g(x)=xf(x),則為g(x)奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減.顯然b=g(ln2),c=g(-2)=-g(2).由于故-c＜b＜a＜0,因此有c＞a＞b.

不難看出,與指數(shù)式,對數(shù)式相關(guān)的比較大小試題,集指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù),導(dǎo)數(shù),不等式等眾多知識點于一體,綜合性強(qiáng),能夠較好地檢測考生是否掌握了基本知識,基本方法,基本技能,能夠體現(xiàn)出對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,因而受到命題者的青睞.在實際解題中,要靈活根據(jù)題目條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?以期達(dá)到解題效果的最優(yōu)化.

練習(xí)題

1.(2016年全國III卷選擇第6題)

A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b

2.(2014年全國遼寧卷選擇第3題)

A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.c＞b＞a

3.(2013年全國II卷選擇第8題)

設(shè)a=log36,b=log510,c=log714,則( )

A.c＞b＞aB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.a＞b＞c

5.設(shè)a=3,b=3log3π,c=πl(wèi)og3π,比較a,b,c的大小.