廣東省廣州市第十六中學(xué)(510080) 溫伙其

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,是每年高考必考知識(shí).既可從代數(shù)角度入手解題,也可研究幾何特征入手解題;常常聯(lián)立直線與圓錐曲線得到x(y)的一元二次方程,用韋達(dá)定理設(shè)而不求解題;而對(duì)于涉及長(zhǎng)度或角度問(wèn)題的處理,引入橢圓或直線的參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程,用極徑極角的幾何意義解題則可大大減小運(yùn)算量;甚至還可適當(dāng)借助圓錐曲線常用的二級(jí)結(jié)論,豐富解題策略;題目一般都可從一種曲線推廣到另外兩種曲線,從特殊情況延伸到一般情況,適合教學(xué)過(guò)程的深入探討挖掘拓展.下面以2018年浙江高考數(shù)學(xué)試題第17題為例進(jìn)行闡述：

題目已知點(diǎn)P(0,1),橢圓上兩點(diǎn)A,B滿足則當(dāng)m=______時(shí),點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

解法分析

思路一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的處理,通性解法為：聯(lián)立它們的方程,得到x或y的一元二次方程,則有“根與系數(shù)的關(guān)系”,再把條件-→AP=2--→PB相應(yīng)轉(zhuǎn)化為x(y)的關(guān)系式,和韋達(dá)定理共同構(gòu)造三元方程組,即可構(gòu)造m和x1、x2之間的關(guān)系式.

解法1由題意知直線過(guò)點(diǎn)P,當(dāng)AB斜率存在時(shí)設(shè)為k,則直線AB的方程為y=kx+1.聯(lián)立直線和橢圓方程得(1+4k2)x2+8kx+4-4m=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有

?=4k2m+m-1＞0.由得x1=-2x2,聯(lián)立(1)解得所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即時(shí)|x2|max=2,x1=-2x2.聯(lián)立(2)解得即-2x22·(1+4k2)=4-4m,又因?yàn)楫?dāng)取得最大值2,把代入上式,解得m=5,即m=5時(shí),|x2|取得最大值2;當(dāng)AB斜率不存在時(shí),即AB為y軸,此時(shí)由得解得m=9,即m=9時(shí)x2=0;綜上,可知當(dāng)m=5時(shí),|x2|取得最大值2.

思路二條件隱含A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的線性數(shù)量關(guān)系,可用其中一點(diǎn)的坐標(biāo)表示另外一點(diǎn)的坐標(biāo),又知A、B兩點(diǎn)在橢圓上,把它們代入橢圓方程即可再消元,進(jìn)而得到與m與x或y之間的關(guān)系式.

解法2 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由有(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1),即將點(diǎn)A代入橢圓方程有x21+4y21=4m,消元x1得x22+y21=m;將點(diǎn)B代入橢圓方程有x22+4y22=4m,兩式相減得(y1+2y2)(y1-2y2)=-3m,整理得y1-2y2=-m,結(jié)合y1=3-2y2,解得因此x22=m-y21=所以當(dāng)m=5時(shí),x22取得最大值4,即當(dāng)m=5時(shí)|x2|取得最大值為2.

思路三直線AB解析式,除了解析幾何的方法,還可引入它的參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系,借助均值定理或三角函數(shù)的有界性求解最值,開(kāi)辟直線與圓錐曲線位置關(guān)系解題的另一蹊徑.此思路對(duì)某些涉及參數(shù)的長(zhǎng)度意義,如垂直、弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí),能起到事半功倍的效果.

解法3設(shè)直線AB的傾斜角為α(α≠0),則直線AB的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,把直線AB參數(shù)方程代入橢圓,得(cos2α+4sin2α)t2+8sinα·t+4-4m=0,則

?=4msin2α+(m-1)cos2α＞0.由得t1=-2t2,聯(lián)立(1)解得即時(shí),|xB|=|t2cosα|=當(dāng)且僅當(dāng)cos2α=4sin2α?xí)r取等號(hào),即當(dāng)cos2α=4sin2α?xí)r|xB|取得最大值2,此時(shí)所以不妨取B(2,2),代入橢圓解得m=5,即當(dāng)m=5時(shí)|x2|取得最大值為2;當(dāng)時(shí),所以xB=tcosα=0,yB=1+t2sinα=1+2=3,代入橢圓方程,解得m=9,即m=9時(shí)xB=0;綜上,可知當(dāng)m=5時(shí),|x2|取得最大值為2.

思路四涉及圓錐曲線的中點(diǎn)弦,自然會(huì)選擇點(diǎn)差法解題,進(jìn)而拓展延伸就可得到橢圓弦AB的中點(diǎn)結(jié)論(M為弦AB的中點(diǎn)),靈活運(yùn)用此特殊結(jié)論,既可多角度解題,又可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

解法4由題意知直線過(guò)點(diǎn)P,當(dāng)AB斜率存在時(shí)設(shè)為k,則直線AB的方程為y=kx+1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M,由得x1=-2x2,所以xM=代入y=kx+1解得由點(diǎn)差法結(jié)論知即整理得當(dāng)且僅當(dāng)所以時(shí)|x2|max=2,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,不妨取直線AB的方程為則點(diǎn)B(2,2),代入橢圓解得m=5,即當(dāng)m=5時(shí),|x2|取得最大值為2;當(dāng)AB斜率不存在時(shí),解答過(guò)程同方法一,得m=9時(shí)x2=0;綜上,可知當(dāng)m=5時(shí),|x2|取得最大值為2.

把上述題目條件特殊點(diǎn)P(0,1)進(jìn)一步推廣為y軸上任一點(diǎn)P(0,b),甚至延伸到平面內(nèi)的任一點(diǎn)P(x0,y0),且橢圓推廣為時(shí),則有以下結(jié)論：

結(jié)論1 已知點(diǎn)P(0,b),橢圓m＞1)上兩點(diǎn)A,B滿足則m的取值范圍是且當(dāng)時(shí),點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值為

證明過(guò)程和本文四種解法相似,此處略.

結(jié)論2已知點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓b＞0)內(nèi),其上兩點(diǎn)A,B滿足則m的取值范圍是且當(dāng)時(shí),|xy0-x0y|取得的最大值為

證明設(shè)點(diǎn)B(x,y),則由得A((λ+1)x0-λx,(λ+1)y0-λy),把點(diǎn)A,B代入橢圓方程有

(1)兩邊乘以λ2減去(2)得即+(λ-1)m,兩邊平方得

由此可得

當(dāng)然,我們?nèi)舭言囶}從橢圓推廣到雙曲線,也會(huì)有浙江高考試題相似的特殊值,也可得到類似本文的特殊結(jié)論,限于篇幅限制,本文不做贅述,有興趣讀者,可自行探討.