廣東省廣州市真光中學(xué)(510380) 黃林盛

球是特殊的幾何體,具有多方位的對稱性,從而具有很多特殊的性質(zhì).在高考以空間幾何體為載體的外接球和內(nèi)切球問題中,因多面體有外接球或內(nèi)切球是唯一的.而唯一性使得外接球問題成為每高考的熱點和難點.主要考查學(xué)生空間想象能力為主線,結(jié)合邊角關(guān)系、位置關(guān)系、面積與體積的計算,從而達到培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)要求.從高三第一輪復(fù)習(xí)教學(xué)實踐中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生在研究空間幾何體的外接球、內(nèi)切球問題時,常常因缺乏空間想象力而感到束手無策.其根本原因是,除了這類題目的入手確實不易之外,主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路,以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.以下結(jié)合筆者的高三第一輪復(fù)習(xí)教學(xué)實例,給出解空間幾何外接球和內(nèi)切球的問題八種模型方法,供讀者參考與交流.

類型一墻角模型(三條棱兩兩垂直,不找球心的位置即可求出球半徑)

圖1-1

圖1-2

圖1-3

圖1-4

方法：找三條兩兩垂直的線段,直接用公式(2R)2=a2+b2+c2,即求出R.

例1在正三棱錐S-ABC中,M、N分別是棱SC、BC的中點,且AM⊥MN,若側(cè)棱求正三棱錐S-ABC外接球的表面積?

解引理：正三棱錐的對棱互相垂直.證明如下：

如圖1-5,取AB,BC的中點D,E,連接AE,CD,AE,CD交于H,連接SH,則H是底面正三角形ABC的中心,所以SH⊥平面ABC,所以SH⊥AB,因為AC=BC,AD=BD,所以CD⊥AB,所以AB⊥平面SCD,所以AB⊥SC,同理：BC⊥SA,AC⊥SB,即正三棱錐的對棱互垂直.

圖1-5

本題圖如圖1-5,因為AM⊥MN,SB//MN,所以AM⊥SB,因為AC⊥SB,所以SB⊥平面SAC,所以SB⊥SA,SB⊥SC.因為SB⊥SA,BC⊥SA,所以SA⊥平面SBC,所以SA⊥SC,故三棱錐S-ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直,所以即4R2=36,所以正三棱錐S-ABC外接球的表面積是36π.

類型二對棱相等模型(補形為長方體)

題型：三棱錐(即四面體)中,已知三組對棱分別相等(AB=CD,AD=BC,AC=BD),求外接球半徑.

第一步：畫出一個長方體,標(biāo)出三組互為異面直線的對棱;

第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a,b,c,AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列方程組,

圖2-1

例2在三棱錐A-BCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,求三棱錐A-BCD外接球的表面積?

解如圖2-1,設(shè)補形為長方體,三個長度為三對面的對角線長,設(shè)長寬高分別為a,b,c,則a2+b2=9,b2+c2=4,c2+a2=16,所以2(a2+b2+c2)=9+4+16=29,

類型三漢堡模型(直棱柱的外接球、圓柱的外接球)

圖3-1

圖3-2

圖3-3

題型：如圖3-1,圖3-2,圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球(同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)

第一步：確定球心O的位置,O1是△ABC的外心,則OO1⊥平面ABC;

第二步：算出小圓O1的半徑AO1=r,OO1=(AA1=h也是圓柱的高);

第三步：勾股定理：_OA2___=O1A2+O1O2?R2=解出R.

例3一個正六棱柱的底面上正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為底面周長為3,求這個球的體積?

解設(shè)正六邊形邊長為a,正六棱柱的高為h,底面外接圓的半徑為r,則正六棱柱的底面積為所以也可R2=球的體積為

類型四切瓜模型(兩個大小圓面互相垂直且交于小圓直徑——正弦定理求大圓直徑是通法)

圖4-1

圖4-2

圖4-3

圖4-4

1.如圖4-1,平面PAC⊥平面ABC,且AB⊥BC(即AC為小圓的直徑),且P的射影是△ABC的外心?三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等?三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底上,頂點P點也是圓錐的頂點.

解題步驟：

第一步：確定球心O的位置,取△ABC的外心O1,則P,O,O1三點共線;

第二步：先算出小圓O1的半徑AO1=r,再算出棱錐的高PO1=h(也是圓錐的高);

第三步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2?R2=(h-R)2+r2,解出R;

事實上,△ACP的外接圓就是大圓,直接用正弦定理也可求解出R.

2.如圖4-2,平面PAC⊥平面ABC,且AB⊥BC(即AC為小圓的直徑),且PA⊥AC,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：

3.如圖4-3,平面PAC⊥平面ABC,且AB⊥BC(即AC為小圓的直徑).

4.題型：平面PAC⊥平面ABC,且AB⊥BC(即AC為小圓的直徑).

第一步：易知球心O必是△PAC的外心,即△PAC的外接圓是大圓,先求出小圓的直徑AC=2r;

第二步：在△PAC中,可根據(jù)正弦定理求出R.

例4一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上,其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上,求該正三棱錐的體積?

解高h=R=1,底面外接圓的半徑為R=1,直徑為2R=2,設(shè)底面邊長為a,則三棱錐的體積為

類型五垂面模型(一條直線垂直于一個平面)

1.題型：如圖5-1,PA⊥平面ABC,求外接球半徑.

解題步驟：

第一步：將△ABC畫在小圓面上,A為小圓直徑的一個端點,作小圓的直徑AD,連接PD,則PD必過球心O;

圖5-1

第二步：O1為△ABC的外心,所以O(shè)O1⊥平面ABC,算出小圓O1的半徑O1D=r(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理,得

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：

2.題型：如圖5-2至5-8這七個圖形,P的射影是△ABC的外心?三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等?三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底上,頂點P點也是圓錐的頂點.

圖5-2

圖5-3

圖5-4

圖5-5

圖5-6

圖5-7

圖5-8

解題步驟：

第一步：確定球心O的位置,取△ABC的外心O1,則P,O,O1三點共線;

第二步：先算出小圓O1的半徑AO1=r,再算出棱錐的高PO1=h(也是圓錐的高);

第三步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2?R2=(h-R)2+r2,解出R.

方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓,用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.

例5一個幾何體的三視圖如圖所示,求該幾何體外接球的表面積?

圖5-9

圖5-10

解如圖5-10所示,

法一(勾股定理)利用球心的位置求球半徑,球心在圓錐的高線上,

法二(大圓法求外接球直徑)如圖,球心在圓錐的高線上,故圓錐的軸截面三角形PMN的外接圓是大圓,于是下略;

類型六折疊模型

題型：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折疊(如圖6-1)

圖6-1

第一步：先畫出如圖6-1所示的圖形,將△BCD畫在小圓上,找出△BCD和△A′BD的外心H1和H2;

第二步：過H1和H2分別作平面BCD和平面A′BD的垂線,兩垂線的交點即為球心O,連接OE,OC;

第三步：解△OEH1,算出OH1,在Rt△OCH1中,勾股定理：OH21+CH21=OC2.

注：易知O,H1,E,H2四點共面且四點共圓,證略.

例6 在邊長為的菱形ABCD中,∠BAD=60°,沿對角線BD折成二面角A-BD-C為120°的四面體ABCD,求此四面體的外接球表面積?

解如圖6-2,取BD的中點M,△ABD和△CBD的外接圓半徑為r1=r2=2,△ABD和△CBD的外心O1,O2到弦BD的距離(弦心距)為d1=d2=1,

圖6-2

法一：四邊形OO1MO2的外接圓直徑OM=2,

法三：作出△CBD的外接圓直徑CE,則AM=CM=3,CE=4,ME=1,AE=cos∠AEC=sin∠AEC=

類型七兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型

題型：如圖7-1,∠APB=∠ACB=90°,求三棱錐PABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點O,連接OP,OC,則OA=OB=OC=OP=所以O(shè)為三棱錐P-ABC外接球球心,然后在OCP中求出半徑),當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關(guān),只要不是平角,球半徑都為定值.

圖7-1

例7在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D,求四面體ABCD的外接球的體積?

解2R=AC=5,R=

類型八錐體的內(nèi)切球問題

1.題型：如圖8-1,三棱錐P-ABC上正三棱錐,求其內(nèi)切球的半徑.

第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,E,H分別是兩個三角形的外心;

第三步：由△POE相似于△PDH,建立等式：解出r.

圖8-1

圖8-2

2.題型：如圖8-2,四棱錐P-ABCD是正四棱錐,求其內(nèi)切球的半徑

第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖,P,O,H三點共線;

第三步：由△POG相似于△PFH,建立等式：解出r.

3.題型：三棱錐P-ABC是任意三棱錐,求其的內(nèi)切球半徑

方法：等體積法,即三棱錐的體積可以表示成：內(nèi)切球球心為頂點,分別以四個面為底面所構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和.

第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積;

第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,建立等式：

例8正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,求其內(nèi)切球的半徑?

解如圖8-3,正四棱錐S-ABCD的高正四棱錐S-ABCD的體積為側(cè)面斜高正四棱錐S-ABCD的表面積為正四棱錐S-ABCD的體積為所以

圖8-3

空間幾何本外接球和內(nèi)切球的問題,考查了根據(jù)圖形想象出直觀形象;能正確地分析出圖形中的基本元素及其相互關(guān)系;能對圖形進行分解、組合;會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì),很符合數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)的培養(yǎng).數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程應(yīng)立足于提高抽象概括能力、推理論證能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力實踐與探究,.更應(yīng)該貫穿整個高三復(fù)習(xí).本文通過以模型為載體解決空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題的歸納總結(jié)與反思,不僅幫助學(xué)生解決了球體的熱點難點問題,更讓在學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中,進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力,增強運用圖形和空間想象思考問題的意識,提升數(shù)形結(jié)合的能力,感悟事物的本質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新思維,直觀想象核心素養(yǎng)的探究過程中得到培養(yǎng).