廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

當(dāng)前,函數(shù)導(dǎo)數(shù)題常作為高考的壓軸題.導(dǎo)數(shù)壓軸題在考查基礎(chǔ)知識的同時,注重對能力,數(shù)學(xué)思想方法方面的考查,有綜合性強(qiáng),思維量大,方法繁多,技巧性強(qiáng)等特點.2018年高考數(shù)學(xué)全國卷III理科第21題是一道函數(shù)的綜合性試題,該題的思維難度很大,有著濃厚的高等數(shù)學(xué)背景.本文站在高等數(shù)學(xué)的視角對問題進(jìn)行探析,尋找問題的本質(zhì)內(nèi)涵,分析解題思路,并給出幾種解法.

一、題目呈現(xiàn)

試題(2018年高考數(shù)學(xué)全國卷III理科第21題)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,證明：當(dāng)-1＜x＜0時,f(x)＜0;當(dāng)x＞0時,f(x)＞0;

(2)若x=0是f(x)的極大值點,求a.

題目分析題目結(jié)構(gòu)簡單,知識方面主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)工具證明函數(shù)不等式,函數(shù)的極值點及其相關(guān)運(yùn)算;思想方面主要考查轉(zhuǎn)化與化歸,分類討論等思想.綜合考察考生邏輯思維、轉(zhuǎn)化、推理論及運(yùn)算等方面的能力.試題重點突出,層次分明,對于考生運(yùn)用所學(xué)知識,尋找合理的解題策略,以及轉(zhuǎn)化和運(yùn)算能力有較高的要求,較好地達(dá)到了考查目的,體現(xiàn)能力立意的命題原則,作為壓軸題起到了把關(guān)作用.

二、解法探析

由于問題(1)較為簡單,所以只給出2種證法,重點放在問題(2)的分析與解答.

(1)證法1函數(shù)的定義域為(-1,+∞),若a=0,則f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,于是有則當(dāng)-1＜x＜0時,g′(x)＜0;當(dāng)x＞0時,g′(x)＞0.故當(dāng)x＞-1時,g(x)≥g(0)=0,且僅當(dāng)x=0時,g(x)=0,從而f′(x)≥0,且僅當(dāng)x=0時,f′(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)單調(diào)遞增.又f(0)=0,故當(dāng)-1＜x＜0時,f(x)＜0;當(dāng)x＞0時,f(x)＞0.

證法2函數(shù)的定義域為(-1,+∞),若a=0,則設(shè)則所以g(x)在(-1,+∞)單調(diào)遞增,且有g(shù)(0)=0.故當(dāng)-1＜x＜0時,g(x)＜g(0)=0,且x+2＞0,所以f(x)＜0;當(dāng)x＞0時,g(x)＞g(0)=0,且x+2＞0,所以f(x)＞0.

評注問題(1)的兩種證法均是利用導(dǎo)數(shù)作為工具來證明,由于f(x)中含有對數(shù)式,證法1通過二次求導(dǎo)來處理掉對數(shù)式,證法2通過提因公式(2+x)后,一次求導(dǎo)即可.

(2)解法1(官方答案及析疑)

(i)若a≥0,由(1)知,當(dāng)x＞0時,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x＞0=f(0),這與x=0是f(x)的極大值點矛盾.

(ii)若a＜0,設(shè)函數(shù)h(x)=ln(1+x)-由于當(dāng)時,2+x+ax2＞0,故h(x)與f(x)符號相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的極大值點當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h(x)的極大值點.如果6a+1＞0,則當(dāng)0＜且|x|＜min時,h′(x)＞0,故x=0不是h(x)的極大值點.如果6a+1＜0,則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1＜0,故當(dāng)x∈(x1,0),且時,h′(x)＜0,故x=0不是h(x)的極大值點.如果6a+1=0,則則當(dāng)x∈(-1,0)時,h′(x)＞0;當(dāng)x∈(0,1)時,h′(x)＜0.所以x=0是h(x)的極大值點,從而x=0是f(x)的極大值點.綜上,

評注①為什么原函數(shù)要除以2+x+ax2?這是因為ln(1+x)這種超越函數(shù)不要和其它函數(shù)結(jié)合在一起,否則一次求導(dǎo)不能化到多項式函數(shù),還須二次求導(dǎo),才能找到極值點,所以應(yīng)該考慮讓ln(1+x)單獨存在,這種處理思路實際上是第(1)個的問題的證法2.

②另外這樣處理又會出現(xiàn)一個新問題：原函數(shù)除以某個函數(shù)后,函數(shù)的極值點會發(fā)生變化嗎?

這實際涉及到函數(shù)逼近方面的知識,由帕德逼近可知：

引理1若函數(shù)y=f(x)與g(x)在x=x0處函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都相等,則h(x)=q(x)f(x)-p(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)為0.

引理2設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0處取得極大(小)值且f(x0)=0,若g(x)為連續(xù)函數(shù)且g(x0)＞0,則h(x)=g(x)f(x)同樣在x=x0處取得極大(小)值,且h(x0)=0.

解法2(函數(shù)極值的第三充分條件)

由f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x,可得f′(x)=(2ax+1)ln(1+x)+且f′(0)=0.又f′′(x)=2aln(1+x)+且f′′(0)= 0,f′′′(x)=且f′′′(0)=6a+1,f(4)(x)=且f(4)(0)=-12a-4,因為x=0是f(x)的極大值點,所以f′′′(0)=6a+1=0,即且f(4)(0)=-12a-4=-2＜0.

評注本解法是利用函數(shù)極值的第三充分條件：

若函數(shù)f(x)在x0存在n階導(dǎo)數(shù),且f′(x0)=f′′(x0)=···=f(n-1)(x0)=0,f(n)(x0)≠0.

1)是n奇數(shù),則x0不是函數(shù)f(x)的極值點;

2)是n偶數(shù),則x0是函數(shù)f(x)的極值點：

當(dāng)f(n)(x0)＞0時,x0是函數(shù)f(x)的極小值點,f(x0)是極小值;

當(dāng)f(n)(x0)＜0時,x0是函數(shù)f(x)的極大值點,f(x0)是極大值.

要注意的是：利用函數(shù)極值的第三充分條件,求出必要條件后要驗證其充分性.

解法3(分離參數(shù),洛比達(dá)法則)

因為x=0是f(x)的極大值點,所以存在充分接近0的正數(shù)δ,使得在(-δ,0)∪(0,δ),有f(x)＜f(0)=0,即(2+x+ax2)ln(1+x)-2x＜0.當(dāng)x∈(0,δ)時,ln(1+x)＞0,故有所以當(dāng)δ→0時,

當(dāng)x∈(-δ,0)時,ln(1+x)＜0,故有a＞所以當(dāng)δ→0時,綜上,

評注①準(zhǔn)確理解極值點的含義,把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為常見問題：即通過參變分離,把問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題,再求參數(shù)a的值.從而避開用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可直接用洛比達(dá)法則解決.

②另外,問題(2)也可以用下面的思路來處理：

因為x=0是f(x)的極大值點,且f′(0)=0,所以存在充分接近0的正數(shù)δ,使得當(dāng)x∈(-δ,0)時,f′(x)＞0;當(dāng)x∈(0,δ)時,f′(x)＜0.因為f′(x)=且對于x∈(-1,+∞),都有2xln(1+x)＞0,從而2xln(1+x)+所以當(dāng)x∈(-δ,0)時,當(dāng)x∈(0,δ)時,后面同解法3一樣,用洛比達(dá)法則進(jìn)行解答即可,在此不再重復(fù).

三、追本溯源

由第(2)個問題的解法3可知：因為x=0是f(x)的極大值點,所以存在充分接近0的正數(shù)δ,使得在(-δ,0)∪(0,δ),有f(x)＜f(0)=0.所以,第(2)個問題可改為：若f(x)≤0,求a的值.

這樣,修改后的問題就與2017年全國卷II,III理科21題同根同源.

1.(2017年高考全國卷II理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ax3-ax-xlnx,且f(x)≤0.

(1)求a的值;

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0,且e-2＜f(x0)＜2-3.

2.(2017年高考全國卷III理科第21題)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≤0,求a的值;

(2)設(shè)m為整數(shù),且對于任意正整數(shù)n,求m的最小值.

可以看出今年考題的第(2)個問題的“母題”來源于2017年的考題,只是將條件換了一個“馬甲”而已.所以在高考的備考中,適當(dāng)加入高考真題的訓(xùn)練的必要的,特別是近五年的高考真題.

另外,數(shù)學(xué)的魅力在于“變化”,有“變”才能“活”,變式、引申、推廣是促進(jìn)理解,研究問題的常用手段,恰當(dāng)?shù)摹白兪健蹦鼙苊鈱W(xué)生在低層次重復(fù),能使學(xué)生多角度、全方位地理解知識,思維能力得到拓寬和加強(qiáng).所以數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要解決問題,還要注重問題的變式拓展,要重視高考題的引領(lǐng)作用,引導(dǎo)學(xué)生積極探索一題多變、一題多用,這樣既能鞏固基礎(chǔ)知識,開拓解題思路,又提高了發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,同時達(dá)到了舉一反三,觸類旁通的目的.

四、解后啟示

近年來,高考的命題者通過挖掘高等數(shù)學(xué)中的一些素材來命制高考試題,此類試題也逐漸引起老師們的關(guān)注.但這并不意味著要將過多的高等數(shù)學(xué)知識下放到中學(xué)里來,加重中學(xué)的負(fù)擔(dān),應(yīng)該是教師能站在高觀點的角度看待問題,找到問題的本質(zhì)內(nèi)涵,更好地指導(dǎo)中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué).

教師要重視高考題,并認(rèn)真研究,充分挖掘和發(fā)揮試題的作用及價值,引導(dǎo)學(xué)生從不同的思維角度分析同一道題目,得到不同的解題方法,精學(xué)一題,妙解一類,進(jìn)而提煉出數(shù)學(xué)思想與方法,實現(xiàn)教學(xué)功能的最大化、最優(yōu)化.