王積建

（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 人文系，浙江溫州325003）

0 引言

據(jù)《中國(guó)風(fēng)電發(fā)展路線(xiàn)圖2050》[1]報(bào)告，到2050年，風(fēng)電將成為我國(guó)主力電源之一。雖然近年來(lái)我國(guó)風(fēng)電產(chǎn)業(yè)得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，但受主客觀因素制約，風(fēng)電在建設(shè)運(yùn)行中仍然存在一些問(wèn)題，其中風(fēng)電運(yùn)行和管理經(jīng)驗(yàn)不足是比較突出的問(wèn)題[2]。

筆者曾以中國(guó)華電集團(tuán)公司甘肅分公司的風(fēng)電場(chǎng)停機(jī)維護(hù)問(wèn)題為題材研制了一個(gè)賽題，并有幸被全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)錄用，作為2016年D題使用[3]。

風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)機(jī)維護(hù)問(wèn)題描述如下：已知風(fēng)電場(chǎng)安裝了Ⅰ型風(fēng)機(jī)25臺(tái)，Ⅱ型風(fēng)機(jī)99臺(tái)，每種風(fēng)機(jī)的切入風(fēng)速為3m/s、切出風(fēng)速為25m/s。針對(duì)每一種風(fēng)機(jī)采集了1年365天的2h級(jí)風(fēng)速（m/s）。為安全生產(chǎn)需要，風(fēng)機(jī)每年需進(jìn)行2次停機(jī)維護(hù)，兩次維護(hù)之間的連續(xù)工作時(shí)間不超過(guò)270天，每次維護(hù)需一組維修人員（2人為1組）連續(xù)工作2天。同時(shí)風(fēng)電場(chǎng)每天需有一組維修人員值班以應(yīng)對(duì)突發(fā)情況。風(fēng)電場(chǎng)現(xiàn)有4組維修人員可從事值班或維護(hù)工作，每組人員連續(xù)工作時(shí)間（值班或維護(hù)）不超過(guò)6天。試給出每年的風(fēng)機(jī)維護(hù)方案，使各組維修人員的工作任務(wù)相對(duì)均衡，且風(fēng)電場(chǎng)具有較好的經(jīng)濟(jì)效益。

筆者參加了當(dāng)年國(guó)家級(jí)獲獎(jiǎng)?wù)撐牡脑u(píng)審，發(fā)現(xiàn)所有獲得全國(guó)一等獎(jiǎng)的論文，對(duì)該問(wèn)題均沒(méi)有給出理想的解決方案，即使是榮獲全國(guó)第一名的論文也不例外[4-6]。究其原因，除了該問(wèn)題涉及的因素較多之外，還在于學(xué)生缺乏針對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)化能力和分解能力。如果進(jìn)一步從日常教學(xué)中查找原因，便可發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)教師在日常教學(xué)中都很重視“模型建立”和“模型求解”這兩個(gè)環(huán)節(jié)，卻忽視了“問(wèn)題分析”環(huán)節(jié)，于是就造成了學(xué)生在遇到復(fù)雜問(wèn)題時(shí)不會(huì)簡(jiǎn)化和分解的弊端。如果在日常教學(xué)中重視問(wèn)題分析環(huán)節(jié)的訓(xùn)練，使得學(xué)生具備化繁為簡(jiǎn)、化整為零的技巧，那么就可以各個(gè)擊破而獲得完整的解決方案。本文以該題為例，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解剖分析，提供一個(gè)如何才能化繁為簡(jiǎn)、化整為零的問(wèn)題分析思路，供廣大建模教師在競(jìng)賽培訓(xùn)中參考，并通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型給出一個(gè)可行的風(fēng)機(jī)維護(hù)方案和人員值班方案。

1 問(wèn)題分析

由于每臺(tái)風(fēng)機(jī)維護(hù)一次需要連續(xù)2天才能完成，若將2天折合為1個(gè)工期，則全年365天就有182個(gè)工期零1天。從全年365天中選擇風(fēng)速最大的一天（這一天不停機(jī)維護(hù)風(fēng)機(jī)）并刪去，剩余364天，然后將1月1日與2日合并為第一個(gè)工期，將1月3日與4日合并為第二個(gè)工期，以此類(lèi)推，得到182個(gè)工期。

由于每臺(tái)風(fēng)機(jī)每年維護(hù)2次，即上半年和下半年各一次，將1～91工期作為上半年，將92～182工期作為下半年。

如果規(guī)定上半年和下半年的維護(hù)方案相同，那么問(wèn)題就簡(jiǎn)化為只解決91個(gè)工期的維護(hù)問(wèn)題，而且全年兩次維護(hù)之間的連續(xù)工作時(shí)間是180天，未超過(guò)270天，符合要求。

在分析風(fēng)速時(shí)以Ⅰ型風(fēng)機(jī)為例。Ⅰ型風(fēng)機(jī)共采集了365天的風(fēng)速，每天有12個(gè)2h級(jí)風(fēng)速，因此可以將每個(gè)工期的24個(gè)風(fēng)速求平均值作為該工期的風(fēng)速指標(biāo)，于是全年共有182個(gè)風(fēng)速，再將上半年和下半年對(duì)應(yīng)工期的風(fēng)速求平均值，就得到91個(gè)風(fēng)速，記作vˉ1j，j=1,2,…,91。類(lèi)似的，Ⅱ型風(fēng)機(jī)的風(fēng)速 記 作 vˉ2j。 在 通 常 情 況 下 ， 有∈ [3 ,25]，∈ [3 ,25]。當(dāng)風(fēng)速在[ ]3,25區(qū)間時(shí)，風(fēng)速越大，發(fā)電功率越大，所以應(yīng)該選擇風(fēng)速較小的工期停機(jī)維護(hù)才能使得經(jīng)濟(jì)效益最大化，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：將124臺(tái)風(fēng)機(jī)安排到91個(gè)工期、4組人員做維護(hù)，如何安排才能使得風(fēng)電場(chǎng)經(jīng)濟(jì)效益最大化，并且工作人員工作量相對(duì)均衡？這就是典型的分配問(wèn)題了，只要建立0-1規(guī)劃模型就可以解決。

但是，由于目標(biāo)函數(shù)有2個(gè)，0-1變量是3維，因此該模型是比較復(fù)雜的，而且很有可能模型無(wú)解。怎么辦？必須想辦法繼續(xù)簡(jiǎn)化。注意到第一目標(biāo)是經(jīng)濟(jì)效益，即風(fēng)機(jī)由于停機(jī)維護(hù)而損失的電能，它只與風(fēng)速有關(guān)，而與工作人員的分配無(wú)關(guān)，于是可以將原問(wèn)題分解為2個(gè)子問(wèn)題：（1）將124臺(tái)風(fēng)機(jī)安排到91個(gè)工期做維護(hù)，如何安排才能使得風(fēng)電場(chǎng)經(jīng)濟(jì)效益最大化？（2）將91個(gè)工期的風(fēng)機(jī)安排到4個(gè)組做維護(hù)，如何安排才能使得工作人員工作量相對(duì)均衡？這樣一來(lái)，每個(gè)子問(wèn)題所涉及的變量變成了二維0-1變量，而且約束條件也少了許多，求解就容易了。

下面開(kāi)始建模，將子問(wèn)題（1）稱(chēng)作第一階段，子問(wèn)題（2）稱(chēng)作第二階段。

2 模型建立與求解

2.1 第一階段

2.1.1模型建立

將n1臺(tái)Ⅰ型風(fēng)機(jī)與n2臺(tái)Ⅱ型風(fēng)機(jī)合并在一起，編號(hào)為1,2,…,n，n=n1+n2。

設(shè)xij=1表示將第i臺(tái)風(fēng)機(jī)安排到第j工期做停機(jī)維護(hù)，否則 xij=0，i=1,2,…,n， j=1,2,…,91。vˉ1j,vˉ2j分別表示Ⅰ型與Ⅱ型風(fēng)機(jī)在第j工期的平均風(fēng)速。

首 先 分 析 目 標(biāo) 函 數(shù) 。 假 設(shè) vˉ1j∈ [3 ,25]，∈ [3 ,25]，則停機(jī)維護(hù)時(shí)平均每臺(tái)風(fēng)機(jī)的風(fēng)速為

為了使得經(jīng)濟(jì)效益最大化，必須使停機(jī)維護(hù)造成的電能損失最小化，即

min f （2）

其次，分析約束條件。

（1）每臺(tái)風(fēng)機(jī)半年內(nèi)必須維護(hù)一次，即

（2）每工期至多安排m-1臺(tái)風(fēng)機(jī)做維護(hù)，即

其中，m表示維護(hù)人員小組數(shù)。

匯總得

2.1.2模型求解

統(tǒng)計(jì) vˉ1j,vˉ2j，如表 1 所示。

表1 Ⅰ型與Ⅱ型風(fēng)機(jī)在各工期的風(fēng)速平均值 （m/s）

從表1可知，Ⅰ型與Ⅱ型風(fēng)機(jī)在各工期的風(fēng)速平均值都在3～25（m/s）之間，符合建模要求。

使用LINGO軟件編程計(jì)算[7]，得到最優(yōu)解f*=4.7，其余結(jié)果如表2所示。

表2 各風(fēng)機(jī)被維護(hù)的工期（部分）

進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)出各工期被維護(hù)的風(fēng)機(jī)數(shù)量，如表3所示。

表3 各工期被維護(hù)風(fēng)機(jī)的數(shù)量（部分）

2.1.3結(jié)果檢驗(yàn)

經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，計(jì)算結(jié)果全部符合約束條件，結(jié)果正確。

2.2第二階段

2.2.1模型建立

假設(shè)：（1）所有風(fēng)機(jī)維護(hù)難度相同；（2）所有人員技術(shù)熟練程度相同。于是在分配風(fēng)機(jī)時(shí)可一視同仁。

設(shè)yjk=1表示將第k組人員安排到第j工期做停機(jī)維護(hù)，否則yjk=0，k=1,2,…,m，j=1,2,…,91。

設(shè)zjk=1表示將第k組人員安排到第j工期做值班應(yīng)急，否則zjk=0，k=1,2,…,m，j=1,2,…,91。

首先分析約束條件。

（1）每工期需要維護(hù)的風(fēng)機(jī)數(shù)量要完成，即

（2）每工期安排一組人員值班，即

（3）每組人員連續(xù)上班時(shí)間不超過(guò)e個(gè)工期，即

其中，

e是人員連續(xù)工作的工期的閾值。

（4）每組人員值班和維護(hù)不能同時(shí)進(jìn)行，即ujk≤ 1, j=1,2,…,91, k=1,2,…,m （10）其次分析目標(biāo)函數(shù)。第一目標(biāo)是各組維護(hù)任務(wù)盡可能均衡，即

第二目標(biāo)是各組值班任務(wù)盡可能均衡，即

匯總得

2.2.2模型求解

這是一個(gè)雙目標(biāo)規(guī)劃模型，使用序貫解法[7-8]求解，使用LINGO軟件編程計(jì)算。

以第一目標(biāo)求解，先取e=3，無(wú)解；再取e=4，得到最優(yōu)解f*1=0。

將f*1=0作為約束條件，以第二目標(biāo)求解，程序運(yùn)行60分鐘后終止，得到可行解，f*2=0.74956，其余結(jié)果如表4、表5所示。

表4 各工期維護(hù)風(fēng)機(jī)的小組（部分）

2.2.3結(jié)果檢驗(yàn)

經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，計(jì)算結(jié)果全部符合約束條件。

經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，各小組維護(hù)次數(shù)和值班次數(shù)如表6所示。

從表6可知，第一目標(biāo)和第二目標(biāo)均已經(jīng)達(dá)到，故計(jì)算結(jié)果是正確的。

3 模型評(píng)價(jià)

3.1 模型優(yōu)點(diǎn)

（1）將2個(gè)目標(biāo)的規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2個(gè)子問(wèn)題，分2個(gè)階段解決，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的。

（2）將風(fēng)機(jī)每年維護(hù)2次，本來(lái)需要2個(gè)維護(hù)方案，但規(guī)定上半年和下半年的方案相同，就轉(zhuǎn)化為1個(gè)維護(hù)方案了。

（3）將經(jīng)濟(jì)效益用風(fēng)速指標(biāo)而不用功率指標(biāo)來(lái)測(cè)度，巧妙地避開(kāi)了擬合風(fēng)機(jī)功率函數(shù)這個(gè)工作，降低了難度。

3.2 模型缺點(diǎn)

在第二階段的模型求解過(guò)程中，取e=4時(shí)才有最優(yōu)解，意味著某些小組在某些時(shí)段其連續(xù)工作的天數(shù)將超過(guò)6天達(dá)到8天，超過(guò)的2天一般會(huì)按照加班來(lái)對(duì)待。于是，4個(gè)小組加班天數(shù)可能不夠均衡。當(dāng)然，如果引入第三目標(biāo)，即加班天數(shù)相對(duì)均衡，就可以解決這個(gè)缺點(diǎn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以2016年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽D題為例，針對(duì)優(yōu)秀論文中暴露出來(lái)的問(wèn)題，諸如面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)不會(huì)分解、不會(huì)簡(jiǎn)化、不會(huì)挖掘信息、不會(huì)抓重點(diǎn)等，通過(guò)詳細(xì)的問(wèn)題分析過(guò)程，展示了如何化繁為簡(jiǎn)、化整為零、各個(gè)擊破的解題策略，體現(xiàn)了逢山開(kāi)路、遇水搭橋的建模技巧，也為常規(guī)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供了一個(gè)可以借鑒的理想樣板。關(guān)于這方面的研究，筆者還會(huì)繼續(xù)搜尋素材予以說(shuō)明。