一、引言

函數(shù)連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的基本概念，作為初等函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它既是函數(shù)極限的進(jìn)一步研究，又是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、定積分等概念的基礎(chǔ)。高職院校的學(xué)生由于初等數(shù)學(xué)功底薄弱、邏輯推理能力、學(xué)習(xí)興趣等方面均有所欠缺，學(xué)習(xí)函數(shù)連續(xù)性的概念時(shí)往往覺(jué)得困難。本文在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上運(yùn)用直觀教學(xué)法、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法、類比法等多種教學(xué)方法設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程。學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)采用探究式、自主式和合作式等學(xué)習(xí)方式，這樣的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)既符合高職學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的信心。

二、函數(shù)連續(xù)性的教學(xué)過(guò)程

首先，教師借助多媒體給學(xué)生展示長(zhǎng)江“三峽大壩”建成前后水流動(dòng)的對(duì)比圖片等自然現(xiàn)象，通過(guò)分析水流情況讓學(xué)生初步理解函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)的特征，從而可以聯(lián)想到函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征是顯示了客觀世界中物質(zhì)的連續(xù)變化發(fā)展。

接下來(lái)教師與學(xué)生研究函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)的問(wèn)題，借助多媒體給學(xué)生展示以下七幅函數(shù)圖像：

學(xué)生觀察以上函數(shù)圖像并思考：函數(shù)圖1、2在點(diǎn)x=1是否連在一起？函數(shù)圖3在點(diǎn)x=0是否連在一起？圖4～7中，函數(shù)y=f（x）圖像在點(diǎn)x0是否連在一起？在學(xué)生分組討論、回答的過(guò)程中，教師點(diǎn)明函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的圖像在此點(diǎn)連在一起，是函數(shù)圖像在這一點(diǎn)特征的一種描述。這樣做充分利用了數(shù)形結(jié)合的思想，使得學(xué)生對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)以及不連續(xù)有了比較直觀的認(rèn)識(shí)。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察以上函數(shù)圖像中當(dāng)x無(wú)限接近圖中連續(xù)的點(diǎn)和不連續(xù)的點(diǎn)時(shí)函數(shù)值y的變化情況，聯(lián)想極限的定義，不難得出函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)可以用極限的描述，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就是函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)的定義1：

對(duì)于高職的學(xué)生來(lái)說(shuō)，定義1的應(yīng)用比較直接，定義2的出現(xiàn)加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)定義的理解。對(duì)比上述兩個(gè)定義和圖1～7，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖3在點(diǎn)x=0處，圖4在x=x0處均不連續(xù)，再根據(jù)定義可以聯(lián)想到要想函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，必須函數(shù)在這點(diǎn)有定義才可以，那么有定義的就一定連續(xù)嗎？啟迪學(xué)生繼續(xù)觀察分析圖5～7，學(xué)生很容易得到結(jié)論：函數(shù)圖像在某一點(diǎn)有定義也不一定連續(xù)，必須函數(shù)在該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值，顯然連續(xù)的概念是以極限概念為基礎(chǔ)的。進(jìn)一步聯(lián)想左、右極限的理論并且觀察圖5～7，經(jīng)過(guò)知識(shí)的類比和遷移，學(xué)生很容易理解和掌握函數(shù)在某一點(diǎn)處左、右連續(xù)的概念及函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)x0處既左連續(xù)又右連續(xù)。從而總結(jié)歸納出函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件：

最后，學(xué)生在深刻理解了函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)后，教師繼續(xù)將函數(shù)連續(xù)的定義推廣到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，即函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，或函數(shù)為區(qū)間（a，b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，（a，b）稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。如果函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，且在a點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)，就稱函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連綿不斷的曲線。

以上教學(xué)設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了直觀的教學(xué)方式，將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念形象化，讓學(xué)生切身體會(huì)到數(shù)學(xué)概念源于生活，主動(dòng)參與教學(xué)過(guò)程獲得新知識(shí)，體現(xiàn)學(xué)習(xí)高職數(shù)學(xué)的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的信心。

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責(zé)任編輯 陳春陽(yáng)