陳權(quán)

摘 要：在人們的實(shí)際生活中經(jīng)常會看到許多的圓形物體，這也使圓形成為人們最熟悉的圖形之一。在對圓進(jìn)行學(xué)習(xí)時，對于圓的切線的判定及證明是非常重要的，只有充分掌握“圓的切線”的證明方法及技巧，才能使日常生活中遇到的關(guān)于圓的問題得以有效解決。但對于圓的切線證明及判定問題來說，其也往往成為諸多學(xué)生在對圓進(jìn)行學(xué)習(xí)時的一大難點(diǎn)問題。

關(guān)鍵詞：圓 切線 半徑 垂直

引言

近年來，數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，使人們可以通過數(shù)學(xué)方法來解決實(shí)際生活中遇到的諸多問題。圓的切線的證明問題便是其中之一，利用數(shù)學(xué)方法來對圓的切線進(jìn)行證明，能夠幫助人們更好的理解圓的切線的定義、判定定理，進(jìn)而熟練運(yùn)用證明方法來對圓的切線問題進(jìn)行證明，總結(jié)出證明圓的切線過程中的證法技巧，從而使其在解決類似問題時，能夠根據(jù)證明結(jié)論來幫助人們對實(shí)際問題進(jìn)行解決。

一、“圓的切線”的定義及判定定理

所謂圓的切線，是指在圓的任意邊緣點(diǎn)中有一條直線通過該點(diǎn)，該點(diǎn)便可稱之為公共點(diǎn)，而該直線由于通過了該公共點(diǎn)，因此可以視為該直線與圓相切，即直線為圓的切線，直線與圓之間的共公點(diǎn)又被稱之為切點(diǎn)。由此可見，通過圓的切線的定義，我們可以直觀的了解到圓與切線之間的關(guān)系，進(jìn)而為我們后續(xù)對圓的切線問題的解決提供幫助。事實(shí)上，在對圓的切線問題進(jìn)行解決時，學(xué)生必須要充分理解圓的切線的定義，才能使其在解決圓的切線問題時根據(jù)自己的理解能力來對已知條件進(jìn)行分析，進(jìn)而了解到圓的具體形狀。而在實(shí)際問題解決當(dāng)中，已知條件都是題目中給出的，為了便于學(xué)生對圓的切線問題的想象，許多幾何問題都是提供具體的圖形的，因此在對圓的切線問題進(jìn)行證明時，可根據(jù)具體圖形來對問題所涉及到的具體情況進(jìn)行分析，以便于通過輔助手段來更好的解決問題。

二、“圓的切線”的兩種情況及證明方法

從圓的切線的定義可以了解到，直線是經(jīng)過圓的公共點(diǎn)的，而該公共點(diǎn)可以是圓形邊界中的任意一點(diǎn)，該直線則通過該點(diǎn)與圓相接，由此說明直線是經(jīng)過圓的半徑的外端的，并且其和圓的半徑是以相互垂直關(guān)系存在的，而該直線便是該圓的切線。依據(jù)上文中對切線的定義，并根據(jù)其判定定理，可將圓的切線問題的判定與證明按照三種情況進(jìn)行劃分，第一種情況是在題目中已經(jīng)給出圓和直線之間的公共點(diǎn)，在對該類問題進(jìn)行解決時，首先要把圓心和該公共點(diǎn)進(jìn)行連接，這樣便可構(gòu)造出該圓形的半徑線，然后便可根據(jù)該半徑線證明其與圓的切線垂直即可。例如，兩個圓為同圓心，圓心為O，AB切大圓于B，AC切小圓于C且與D、E相交，其中DE的長度為10，AB的長度為12，ctg BAO為 ，需要對這兩個圓的半徑進(jìn)行求解。在證明該問題時，需要將OB和OC進(jìn)行連接，由上述條件可以得知OB AB、OC AC，根據(jù)勾股定理可進(jìn)一步求出這兩個圓的半徑分別是2 與9，進(jìn)而證明了DE為兩個同心圓的切線。

第二種情況是圓與直線之間的公共點(diǎn)并未在圖中標(biāo)明，在對這類問題進(jìn)行解決時，由于不知道圓和直線之間的公共點(diǎn)在哪，因此有必要通過相應(yīng)的輔助方法來找出圓和直線之間所具有的公共點(diǎn)，然后證明該點(diǎn)為圓與直線的公共點(diǎn)，在證明出該點(diǎn)為圓和直線的公共點(diǎn)以后，便可根據(jù)該公共點(diǎn)和圓的圓心來構(gòu)造出半徑線，然后采用第一種情況中的方法，證明該半徑線與直線相垂直，便可有效解決圓的切線證明問題。例如，在Rt ABC中有一AC邊為其直角邊，以AC作為該圓的直徑進(jìn)行⊙O，其與AB的斜邊相交，交點(diǎn)為D，其另一直角邊中的E為其中點(diǎn)，則證明⊙O中的切線為DE。在證明該問題時，需要將OD進(jìn)行連接，由于⊙O的直徑為AC，因此 ADC與 BDC的角都是相等的，均為直角，因?yàn)锽E與EC的長度相等，因此DE的長度為BC長度的一半，因此 1與 2相等。由于OD與OC的長度相等，所以 3與 4的長度相等，因此 ODE為 1與 3的和或 2與 4的和相等，其與 ACB的角度均為直角，所以可以證明⊙O的切線為DE。

通過對以上兩種情況的證明方法進(jìn)行闡述，可以幫助學(xué)生更好的實(shí)現(xiàn)對圓的切線問題進(jìn)行證明，事實(shí)上，在對圓的切線問題進(jìn)行證明，以上兩種情況包括了所有不同的圓的切線證明類型，不過在對圓的切線問題進(jìn)行證明時，學(xué)生仍舊需要更加用心，充分了解題目具體屬于哪種情況，然后再采用相應(yīng)的證明方法來對該題目進(jìn)行證明，這樣便可得到相應(yīng)的答案。

三、“圓的切線”的證法技巧及教學(xué)建議

通過對上述三種情況的圓的切線證明問題進(jìn)行分析，可以總結(jié)出以下的證法技巧，對于第一種情況，可以將其總結(jié)為：當(dāng)圓與直線之間存在公共點(diǎn)時，解題需要先將該圓的圓心與公共點(diǎn)相連，以此構(gòu)建相應(yīng)的半徑線，并對半徑線與切線之間的垂直關(guān)系進(jìn)行證明，進(jìn)行簡化可以縮減為十個字，即有公共點(diǎn)、構(gòu)造半徑、證垂直。對于第二種情況，可以將證法技巧總結(jié)為：利用輔助方法對直線和圓之間的公共點(diǎn)進(jìn)行證明，并利用第一種情況的證明方法進(jìn)行解決，進(jìn)行簡化后可以將其精簡為十一個字，即找公共點(diǎn)、構(gòu)造半徑、證垂直。對于第三種情況，其證法技巧可以總結(jié)為：構(gòu)造直線的垂線，使垂線經(jīng)過圓心，并證明該垂線與圓的半徑相等，可將其精簡為十一個字，即無公共點(diǎn)、作垂直、證半徑。通過對上述三種情況的證法技巧進(jìn)行總結(jié)可以了解到，在對圓的切線問題進(jìn)行解決時，首要步驟便是要對圓的切線證明問題的類型，即屬于哪種情況進(jìn)行確定，然后根據(jù)其具體情況采用相應(yīng)的證明方法，而通過證法技巧的總結(jié)，能夠有效幫助學(xué)生更好的掌握這些證明方法，并根據(jù)證法技巧的口訣來對證明方法的要點(diǎn)進(jìn)行記憶，從而在對問題進(jìn)行證明時，能夠根據(jù)記憶的口訣來對圓的切線問題進(jìn)行證明，提高學(xué)生的解題能力。由此可見，對于學(xué)生來說，掌握有效的證法技巧，將更有助于幫助學(xué)生證明圓的切線問題。鑒于此，本文提出以下教學(xué)建議，以期能夠幫助學(xué)生有效掌握圓的切線問題的證法技巧，首先，在對圓的切線問題進(jìn)行教學(xué)時，教師可利用多媒體工具將圓的切線證明問題的類型及常用證明方法進(jìn)行列出，使學(xué)生能夠掌握常用的證明方法與常見的圓的切線證明問題的三種類型，并對證明方法進(jìn)行簡化，使其濃縮為易被記憶的口訣，使學(xué)生能夠充分理解口訣中的相關(guān)要點(diǎn)，并按照要點(diǎn)進(jìn)行解題。

結(jié)語

總而言之，對于圓的切線的證明問題來說，其是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)生對圓的學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在。因此，在對圓的切線證明問題進(jìn)行教學(xué)時，必須要引導(dǎo)學(xué)生對圓的切線證明問題的類型進(jìn)行確定，使其能夠明確該問題具體屬于哪種情況，并根據(jù)該情況所提出的相應(yīng)證明方法，牢記證明方法中的口訣與要點(diǎn)，從而使學(xué)生能夠更加有效的對該類問題進(jìn)行解決，提高學(xué)生對圓的證明問題的解題能力。