沈愛華

[摘? 要] 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)處于比較微妙的地位. 初中數(shù)學(xué)課堂上重視運(yùn)算教學(xué)是非常必要的，數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)也是充滿挑戰(zhàn)的，面對(duì)這個(gè)挑戰(zhàn)需要分析當(dāng)前初中學(xué)生運(yùn)算能力的現(xiàn)狀，然后尋找相應(yīng)的教學(xué)策略，并進(jìn)行必要的反思. 數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的關(guān)鍵在于三個(gè)要素：一是尋找邏輯關(guān)系，培養(yǎng)算理;二是建立邏輯關(guān)系，強(qiáng)化算理;三是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，理解算理. 以算理為核心的數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，提升核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);運(yùn)算教學(xué);教學(xué)思考;算理

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)處于比較微妙的地位：一方面，數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，沒有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，學(xué)生往往難以體驗(yàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的成就感，也無法有效面對(duì)當(dāng)前的考試評(píng)價(jià);另一方面，數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)在課堂上又一定程度上被邊緣化，在涉及解題方法、解題思維的時(shí)候，教師往往濃墨重彩，而涉及具體的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，往往因?yàn)槠錄]有新鮮的內(nèi)容而被忽視. 結(jié)果在實(shí)際教學(xué)中看到的情形就是學(xué)生常常因數(shù)學(xué)運(yùn)算而出錯(cuò)，教師卻只顧責(zé)怪學(xué)生運(yùn)算能力差的矛盾現(xiàn)象.

實(shí)際上，大量經(jīng)驗(yàn)表明，初中數(shù)學(xué)課堂上重視運(yùn)算教學(xué)是非常必要的，數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)也是充滿挑戰(zhàn)的. 面對(duì)這個(gè)挑戰(zhàn)，教師需要分析當(dāng)前初中學(xué)生運(yùn)算能力的現(xiàn)狀，然后尋找相應(yīng)的教學(xué)策略，并進(jìn)行必要的反思. 經(jīng)過這種實(shí)踐加反思的過程，教師面向數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)會(huì)得到積累，教學(xué)智慧也能夠得到提升.

初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的現(xiàn)狀

有研究表明，目前初中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力存在的問題很多，不明算理，機(jī)械地套用公式，盲目推演，缺乏選擇合理、簡捷運(yùn)算方法的情形比較常見. 在筆者的實(shí)踐中也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程中，要么在某些具體的運(yùn)算環(huán)節(jié)上表現(xiàn)出缺陷，要么在整個(gè)運(yùn)算過程中都表現(xiàn)出認(rèn)知模糊、運(yùn)算混亂的情形.

以算理為例，眾所周知，數(shù)學(xué)運(yùn)算不是簡單的計(jì)算，它實(shí)際上是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的過程，需要學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)去尋找等量關(guān)系，然后在建立了等量關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，并進(jìn)行反思的過程. 同時(shí)，對(duì)算理的把握，又反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系、同一數(shù)學(xué)知識(shí)中不同邏輯關(guān)系的理解，而相當(dāng)一部分學(xué)生在算理的理解上確實(shí)存在較大的缺陷（當(dāng)然，這也是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力提升的較大空間）.

例如，在“平方差公式”的理解中，筆者曾經(jīng)給了學(xué)生這樣的一個(gè)問題：現(xiàn)有一個(gè)正方形的邊長為a，現(xiàn)在其上剪去一個(gè)邊長為b的正方形，結(jié)果剩下一個(gè)圖形（由兩個(gè)長方形組成）. 你能用這三個(gè)圖形的面積關(guān)系，來推理、說明平方差的公式嗎？

這實(shí)際上是一個(gè)將代數(shù)問題轉(zhuǎn)換為幾何問題的題目，考查的是學(xué)生的轉(zhuǎn)換能力，目的也在于幫助學(xué)生豐富對(duì)平方差公式的理解，同時(shí)感受數(shù)學(xué)當(dāng)中數(shù)形結(jié)合的魅力. 但在實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)一部分學(xué)生在遇到這個(gè)問題之后感到束手無策，他們固然知道三個(gè)圖形面積之間的“和”或“差”的關(guān)系，但就是無法將數(shù)與形聯(lián)系起來，因而也就無法順利地建立兩者之間的關(guān)系. 從算理的角度來看，這實(shí)際上就表現(xiàn)出學(xué)生在算理方面的不足. 類似的例子還有不少，因而在運(yùn)算教學(xué)中首先可以從算理入手，去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

數(shù)學(xué)課堂運(yùn)算教學(xué)的要素

有研究指出，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，應(yīng)從培養(yǎng)學(xué)生合理運(yùn)算能力、注意運(yùn)算能力培養(yǎng)的階段性、加強(qiáng)運(yùn)算靈活性的必要訓(xùn)練、注重對(duì)典型運(yùn)算錯(cuò)誤的剖析等方面做起. 在筆者看來，這樣的理解強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)運(yùn)算本身，但還缺少對(duì)運(yùn)算兩端的關(guān)注，即數(shù)學(xué)運(yùn)算之前的情境創(chuàng)設(shè)與數(shù)學(xué)運(yùn)算之后的反思，如果兼顧這三者，那學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升就會(huì)更加高效.

以上面所舉的“平方差公式”的教學(xué)為例，在提出了上述問題之后，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算其實(shí)就有了一個(gè)情境. 實(shí)際上，筆者看到的情形是，大部分學(xué)生能夠根據(jù)情境的描述，在草稿紙上畫出如圖1所示的圖形，其實(shí)也能夠得到a2-b2的式子，但這個(gè)式子如何與（a+b）（a-b）產(chǎn)生聯(lián)系，其間的關(guān)系并非一目了然，需要尋找更為隱蔽的邏輯關(guān)系，而這也是數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的關(guān)鍵.

[圖1]

筆者在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)了這樣的幾個(gè)要素：

一是尋找邏輯關(guān)系，培養(yǎng)算理.

其實(shí)作為一道證明題，用這個(gè)圖形的面積關(guān)系去推理出平方差公式，肯定是行得通的. 這在邏輯上已經(jīng)回避了“能”或“不能”的選擇，客觀上降低了教學(xué)的難度. 因此學(xué)生肯定需要明確由面積關(guān)系可以推理得出平方差公式，然后努力去尋找邏輯關(guān)系即可. 實(shí)際上，此難點(diǎn)的突破，在于將剩下的不規(guī)則的圖形，“組合”成規(guī)則的圖形，具體辦法就是將剩下的圖形沿一條邊剪開，然后拼接成一個(gè)大的長方形，而這個(gè)長方形的長和寬分別就是（a+b）和（a-b）.

二是建立邏輯關(guān)系，強(qiáng)化算理.

事實(shí)上，邏輯關(guān)系一旦建立，學(xué)生立即能夠發(fā)現(xiàn)平方差公式又一次成立了. 但要想強(qiáng)化算理，還應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生回頭看. 事實(shí)上就有學(xué)生在有了這一發(fā)現(xiàn)之后，立即自責(zé)，感覺自己笨. 因?yàn)椋╝+b）和（a-b）分別就對(duì)應(yīng)著長和寬，這應(yīng)當(dāng)就是長方形的面積公式，為什么就沒有想到將剪去后剩下的圖形拼接成長方形呢？在筆者看來，當(dāng)學(xué)生有了這個(gè)感覺時(shí)，說明他對(duì)剛才的探究過程進(jìn)行反思了，對(duì)算理的理解也就深刻了.

三是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，理解算理.

其后，教師可以通過類似于上述問題情境的變式性問題讓學(xué)生去解決. 通過這樣的變式訓(xùn)練，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)算理的理解.

實(shí)踐表明，算理其實(shí)是數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心，其能夠帶動(dòng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的生成，在初中數(shù)學(xué)課堂運(yùn)算的教學(xué)中，以算理為核心去帶動(dòng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)，學(xué)生就可以明確算理主線，從而在數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、數(shù)學(xué)問題的解決中形成較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 當(dāng)然，其中的計(jì)算也需要強(qiáng)化，避免因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤而影響數(shù)學(xué)運(yùn)算的正確性，限于篇幅，這個(gè)問題不展開討論.

數(shù)學(xué)課堂運(yùn)算教學(xué)思考

在數(shù)學(xué)課堂運(yùn)算教學(xué)的實(shí)踐中筆者發(fā)現(xiàn)，面向初中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)，需要關(guān)注兩個(gè)要點(diǎn)：

一是要對(duì)學(xué)生進(jìn)行顯性的數(shù)學(xué)運(yùn)算教育. 必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，只有學(xué)生自己形成了認(rèn)識(shí)，他們才能對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算予以重視，才能在教師進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的示范、板演時(shí)高度重視，從而為數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的形成奠定基礎(chǔ).

二是要引導(dǎo)學(xué)生自主形成數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力. 具體來說就是需要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算之后對(duì)運(yùn)算技巧進(jìn)行總結(jié)，要讓他們認(rèn)識(shí)到培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣，謹(jǐn)慎使用草稿紙，對(duì)題目、題型進(jìn)行有針對(duì)性的總結(jié)等的重要性.

從核心素養(yǎng)的角度來看，作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，數(shù)學(xué)運(yùn)算也支撐著核心素養(yǎng)的落地，因此需要在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程，并在此過程中生成數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，進(jìn)而保證數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的落地.