湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤(pán)龍校區(qū) (郵編：430312)

哈爾莫斯說(shuō)：數(shù)學(xué)的真正部分應(yīng)該是問(wèn)題和解，解題才是數(shù)學(xué)的心臟.波利亞說(shuō)：掌握數(shù)學(xué)就意味著解題.羅增儒教授說(shuō)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都無(wú)一例外地充滿(mǎn)著數(shù)學(xué)解題活動(dòng).由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中極其重要.解析幾何是學(xué)生高中階段較難駕馭的一個(gè)知識(shí)板塊，不少學(xué)生習(xí)慣于大題量快節(jié)奏的刷題模式來(lái)突破這一難點(diǎn)，收效甚微，在多年的解題教學(xué)中筆者深刻地體會(huì)到，面對(duì)解析幾何的壓軸試題，要想做到得心應(yīng)手，平常的學(xué)習(xí)需要學(xué)生具備扎實(shí)的基本功、熟練的技巧、靈活的思路、開(kāi)闊的視野和深入的鉆研精神.下面就通過(guò)一道解析幾何試題的求解來(lái)展示這一點(diǎn).

圖1

(1)求橢圓Γ的方程；

(2)若點(diǎn)P(x0,y0)(y0≠0)為直線(xiàn)x=4上任意一點(diǎn)，PA、PB交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn)，則直線(xiàn)CD是否過(guò)定點(diǎn)，若是求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，不是，說(shuō)明理由.

這是武漢市2018屆高三二月調(diào)考文科第21題，題目簡(jiǎn)潔明了，考查了橢圓方程的求法、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、解方程組、韋達(dá)定理的應(yīng)用，整體代入等多個(gè)知識(shí)點(diǎn).重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力，在思想方法上主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的思想.

1 解題需要扎實(shí)的基本功

于是直線(xiàn)CD的斜率為

于是直線(xiàn)CD的方程為：

點(diǎn)評(píng)幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題本質(zhì)上是代數(shù)中的恒成立問(wèn)題，合理選擇參變量尤為重要，解法1和解法2分別選取P點(diǎn)坐標(biāo)和直線(xiàn)AC的斜率作為變量，是通法，解答過(guò)程中需要兩次將直線(xiàn)代入橢圓方程聯(lián)立求解，計(jì)算量大，短時(shí)間完成需要學(xué)生有扎實(shí)的計(jì)算運(yùn)算求解能力，平時(shí)必須訓(xùn)練有素才行.

2 解題需要熟練的技巧

直線(xiàn)CD的方程為

令y=0得

點(diǎn)評(píng)解法3利用參數(shù)方程，求解過(guò)程經(jīng)歷了用二倍角公式縮倍、化弦為切、和差化積、兩角和與差的余弦展開(kāi)等常見(jiàn)變形技巧，在準(zhǔn)確記憶公式的基礎(chǔ)上，對(duì)變形的熟練性上提出了較高的要求.

3 解題需要靈活的思路

①

整理得：5(x1+x2)-2x1x2-8=0

②

即m=-k或m=-4k.

若m=-4k，則直線(xiàn)CD的方程y=kx+m即為y=kx-4k，直線(xiàn)CD過(guò)點(diǎn)(4,0)，舍去；

若m=-k，則直線(xiàn)CD的方程y=kx+m即為y=kx-k，直線(xiàn)CD過(guò)點(diǎn)(1,0).

點(diǎn)評(píng)解法4基于整體思想，借助方程消參，將設(shè)而不求的思想靈活地展現(xiàn)出來(lái)，體現(xiàn)了靈活的解題思路.

4 解題需要開(kāi)闊的視野

點(diǎn)評(píng)解法5，從曲線(xiàn)系發(fā)出，解答計(jì)算量很小，要求學(xué)生有較寬的數(shù)學(xué)視野，尤其具備一定的競(jìng)賽經(jīng)歷.

5 解題需要深入的鉆研精神

點(diǎn)評(píng)解法6，立足伸縮變換，找到了問(wèn)題的源頭，計(jì)算量很小，揭示了題目的深刻背景，需要學(xué)生平常養(yǎng)成刻苦鉆研的良好習(xí)慣.

總之，面對(duì)難題，首先，必須樹(shù)立信心，因?yàn)橛辛诵判牟拍茉诖煺勖媲皳碛袌?jiān)持到底的勇氣；其次，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如審題需要慢下來(lái)，謀定而后動(dòng)，通過(guò)細(xì)心審視題目條件，合理選擇轉(zhuǎn)化途徑；最后，選擇科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，比如通過(guò)一題多解，培養(yǎng)思維的靈活性，通過(guò)一題多探，培養(yǎng)思維的深刻性，并學(xué)會(huì)在不同方法的比較中學(xué)會(huì)選擇，透視問(wèn)題本質(zhì)，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).