雙變量的“任意性問(wèn)題”與“存在性問(wèn)題”辨析
2018-12-22 03:18
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2018年6期
河北省邯鄲市第一中學(xué) (郵編：056000)
含有參數(shù)的方程(或不等式)中的“任意性”與“存在性”問(wèn)題歷來(lái)是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)，也是高考復(fù)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn).破解的關(guān)鍵在于將它們等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的基本初等函數(shù)的最值或值域問(wèn)題，而正確區(qū)分“任意性”與“存在性”問(wèn)題也是解題的關(guān)鍵.
1 “?x，使得f(x)>g(x)”與“?x，使得f(x)>g(x)”的辨析
圖1 圖2
(1)?x，使得f(x)>g(x)，只需h(x)min=[f(x)-g(x)]min>0.如圖1.
(2)?x，使得f(x)>g(x)，只需h(x)max=[f(x)-g(x)]max>0.如圖2.
例1 設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)，g(x)=af′(x)，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)若對(duì)于任意x≥0，總有f(x)≥g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若存在x≥0，使得f(x)≥g(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
當(dāng)a≥-1時(shí)，h′(x)≥0，h(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，
所以，h(x)≥h(0)=-a，則-a≥0，a≤0，
故a∈[-1,0].
當(dāng)a<-1時(shí)，對(duì)于x∈(0，-a-1)有h′(x)<0，則h(x)在(0，-a-1)上單調(diào)遞減，所以h(-a-1)
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1,0].
(2)由(1)可知，當(dāng)a≥-1時(shí)，存在x≥0，使得f(x)≥g(x)，
當(dāng)a<-1時(shí)，令x0=e-a-1，則x0>0，
有h(x0)=-a(1+ea)>0，
故必存在x≥0，使得f(x)≥g(x).
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，+∞).
點(diǎn)評(píng)(1)這是較為常見(jiàn)的一類(lèi)恒成立問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可知，當(dāng)x0≥0時(shí)，總有f(x0)≥g(x0)，即f(x0)-g(x0)≥0(注意不是f(x)min≥g(x)max)，可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)x≥0時(shí)，h(x)=f(x)-g(x)≥0恒成立問(wèn)題.
(2)存在x≥0，使得f(x)≥g(x)，即至少有一個(gè)x0≥0，滿(mǎn)足f(x0)-g(x0)不是負(fù)數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)x≥0時(shí)，h(x)=f(x)-g(x)的函數(shù)值至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù).
2 “若?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)”與“?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)”的辨析
(1)?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)等價(jià)于函數(shù)f(x)在D1上的值域A與g(x)在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠?，如圖3.其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是兩個(gè)函數(shù)有相等的函數(shù)值.
圖3圖4
(2)?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)=g(x2)等價(jià)于函數(shù)f(x)在D1上的值域A是g(x)在D2上的值域B的子集，即A?B，如圖4.其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù)y=f(x)的值域都在函數(shù)y=g(x)的值域之中.
說(shuō)明圖3，圖4中的條形圖表示函數(shù)在相應(yīng)定義域上的值域在y軸上的投影.
f′(x)=2x-2ax2=2x(1-ax).
當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減，且f(2)=-4.
所以f(x)在(2，+∞)上的值域?yàn)?-∞，-4).
因?yàn)?-∞，-4)?(-∞，0)，
所以對(duì)于任意的x1∈(2，+∞)，都存在x2∈(1，+∞)，使得f(x1)=g(x2).
點(diǎn)評(píng)本例第(1)問(wèn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的基本思想是：兩個(gè)函數(shù)有相等的函數(shù)值，即它們的值域有公共部分；第(2)問(wèn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的基本思想是：函數(shù)f(x)的任意一個(gè)函數(shù)值都與函數(shù)g(x)的某一函數(shù)值相等，即f(x)的值域都在g(x)的值域中.
3 f(x)，g(x)是閉區(qū)間D上的連續(xù)函數(shù)，“?x1，x2∈D，使得f(x1)>g(x2)”與“?x1，x2∈D，使得f(x1)>g(x2)”的辨析
(1)f(x)，g(x)是在閉區(qū)間D上的連續(xù)函數(shù)且?x1，x2∈D，使得f(x1)>g(x2)，等價(jià)于f(x)min>g(x)max.其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù)y=f(x)的任意一個(gè)函數(shù)值均大于函數(shù)y=g(x)的任意一個(gè)函數(shù)值.如圖5.
圖5 圖6
(2)存在x1、x2∈D，使得f(x1)>g(x2)，等價(jià)于f(x)max>g(x)min.其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù)y=f(x)的某一個(gè)函數(shù)值大于函數(shù)y=g(x)的某些函數(shù)值.如圖6.
(1)若對(duì)任意的x1、x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若存在x1、x2∈[1，e]，使得f(x1) 解(1)對(duì)任意的x1、x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，等價(jià)于x∈[1，e]時(shí)，f(x)min≥g(x)max. 令h(x)=(e+1)x-x2. (2)存在x1、x2∈[1，e]，使得f(x1) 當(dāng)0 當(dāng)1≤a≤e時(shí)，f(x)在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，e]上單調(diào)遞增，f(x)min=f(a)=2a， 點(diǎn)評(píng)(1)本例第(1)問(wèn)從數(shù)的角度看，問(wèn)題的本質(zhì)就是f(x)min≥g(x)max.從形的角度看，問(wèn)題的本質(zhì)就是函數(shù)f(x)圖象的最低點(diǎn)也不低于g(x)圖象的最高點(diǎn). (2)本例第(2)問(wèn)從形的角度看，問(wèn)題的本質(zhì)就是函數(shù)f(x)圖象的最低點(diǎn)低于g(x)圖象的最高點(diǎn). (1)?x1∈D1，?x2∈D2，使f(x1)>g(x2)，等價(jià)于函數(shù)f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值，即f(x)min>g(x)min(這里假設(shè)f(x)min，g(x)min存在).其等價(jià)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)是函數(shù)y=f(x)的任意一個(gè)函數(shù)值大于函數(shù)y=g(x)的某一個(gè)函數(shù)值.如圖7. 圖7 圖8 (2)?x1∈D1，?x2∈D2，使f(x1) 解依題意知f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在[1,2]上的最小值，即f(x)min≥g(x)min.所以 則當(dāng)0 當(dāng)1 又g(x)=x2-2bx+4， 點(diǎn)評(píng)“對(duì)任意x1∈(0,2)，總存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)”等價(jià)于“f(x)在(0,2)上的最小值大于或等于g(x)在[1,2]上的最小值”.
4 “?x1∈D1，?x2∈D2，使f(x1)>g(x2)”與“?x1∈D1，?x2∈D2，使f(x1)
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