四川省巴中市巴州區(qū)大和初中 (郵編：636031)

在某數(shù)學(xué)QQ群里，大家對(duì)一道幾何最小值問題的解法展開了討論，其中，比較有代表性的解法思路有兩種，但其合理性及問題數(shù)學(xué)本質(zhì)，引發(fā)質(zhì)疑和探究，現(xiàn)將筆者的探究結(jié)果與大家分享.

圖1

題目如圖1，在平面直角坐標(biāo)系第一象限有一半徑為5的四分之一⊙O，且⊙O內(nèi)有一定點(diǎn)A(2,1)，B、D為圓弧上兩點(diǎn)，且∠BAD=90°，以AB、AD為邊作矩形ABCD，則AC的最小值為__________.

1 問題提出

圖2

解法1 如圖2，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得AO+AC>OC，因?yàn)锳O是定值，要使AC最小，只需OC最小，只有O、A、C一線時(shí)OC最小，此時(shí)AC也最小.

圖3

質(zhì)疑上述解法的相同點(diǎn)都運(yùn)用了矩形的一個(gè)結(jié)論：OA2+OC2=OB2+OD2，為什么？不同點(diǎn)是數(shù)學(xué)模型各異，解法1依據(jù)“三角形三邊關(guān)系定理”，但該模型中的三點(diǎn)不可能共線，而問題中的O、A、C可能共線.解法2依據(jù)“圓外一點(diǎn)到圓的最短距離”，但該模型條件中圓外一點(diǎn)應(yīng)是定點(diǎn)，而點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn).

2 問題解決

2.1 矩形的一個(gè)性質(zhì)

矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和相等.

圖4

證明如圖4，以矩形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)，平行于矩形兩邊的直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，則每條對(duì)角線的兩端點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

設(shè)矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(a,b)，C(-a,-b)；和B(a,-b)，D(-a,b). 再設(shè)矩形所在平面內(nèi)任意點(diǎn)P(x,y)，則PA2+PC2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2，PB2+PD2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2，顯然，PA2+PC2=PB2+PD2.

即矩形內(nèi)任意一點(diǎn)到相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和相等.

2.2 解法合理性改進(jìn)

對(duì)于解法1，由于點(diǎn)O為定點(diǎn)，OC為定長(zhǎng)，應(yīng)用“兩點(diǎn)之間線段最短”模型”更為恰當(dāng).

正確解法根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得AO+AC≥OC，即AC≥OC-OA，當(dāng)O、A、C一線時(shí)AC最小.

圖5

對(duì)于解法2，因點(diǎn)O為定點(diǎn)，OC為定長(zhǎng)，所以點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑的圓上，點(diǎn)A為這個(gè)圓內(nèi)一點(diǎn)，應(yīng)改用“圓內(nèi)一點(diǎn)到圓的最短距離”模型.

正確解法如圖5，在矩形ABCD中，OA2+OC2=OB2+OD2，所以O(shè)C2=OB2+OD2-OA2，OA2=12+22=5.

過(guò)點(diǎn)A作半徑OC，則AC最小.

思考1 當(dāng)O、A、C共線時(shí)，AC最小，此時(shí)，點(diǎn)B是否一定位于第一象限呢？

當(dāng)點(diǎn)A在半徑OC上時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，得AB=BC.直線OA的解析式為y=0.5x，設(shè)點(diǎn)C(2y，y).所以(2y)2+y2=OC2=45，解得y=3，于是C(6，3).

設(shè)點(diǎn)B(a，b)，則(a-2)2+(b-1)2=(a-6)2+(b-6)2=10.

解得a=3，b=4(舍去)；a=5，b=0.

所以B(5，0)，即點(diǎn)B在x軸上.

圖6

如圖6，將條件修改為A(2，1.5)，其余不變.點(diǎn)B是否在第一象限呢？

如圖7，利用幾何畫板軟件作圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)：AC逐漸減小，至點(diǎn)B在x軸上時(shí)，AC最小，但O、A、C三點(diǎn)并不在一條直線上.如果要符合O、A、C三點(diǎn)在一條直線上，矩形必須突破第一象限，跨越到第四象限才行.這個(gè)問題具有一定隱蔽性，容易引發(fā)錯(cuò)誤.

圖8

3 圖形范圍探究

滿足O、A、C三點(diǎn)在一條直線AC最小，圖形范圍如何界定呢？

因點(diǎn)A在第一象限，設(shè)⊙O與x軸及y軸正半軸分別交于點(diǎn)M、N.

(1)當(dāng)AN≤AB≤AM時(shí)，矩形ABCD在第一、二象限內(nèi)；

(2)當(dāng)AN≥AB≥AM時(shí)，矩形ABCD在第一、四象限內(nèi)；

(3)當(dāng)AN≥AB≤AM時(shí)，矩形ABCD在第一象限內(nèi).

拓展如果點(diǎn)A第二、三、四象限呢？有類似結(jié)果.

特別地，當(dāng)點(diǎn)A在坐標(biāo)軸上，取最值時(shí)矩形會(huì)在哪些象限呢？

當(dāng)點(diǎn)A在x正半軸時(shí)，矩形ABCD在第一、四象限；

當(dāng)點(diǎn)A在x負(fù)半軸時(shí)，矩形ABCD在第二、三象限；

當(dāng)點(diǎn)A在y正半軸時(shí)，矩形ABCD在第一、二象限；

當(dāng)點(diǎn)A在y負(fù)半軸時(shí)，矩形ABCD在第三、四象限.

這樣，不解最值，可先判斷AC最小時(shí)，矩形經(jīng)過(guò)的象限.

譬如文前問題：由于

若

因AN≥AB≤AM，所以矩形ABCD在第一象限內(nèi)，矩形不會(huì)跨入第二象限，而且AB=AM，則點(diǎn)B與點(diǎn)M重合.滿足O、A、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，AC最小.

思考2 如果題設(shè)條件只限定在第一象限，如何求最小值A(chǔ)C呢？

(負(fù)值已舍).

所以

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得

4 建議

圖9

為體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)降低解題難度，將題目中的象限擴(kuò)至相關(guān)象限或取消象限要求，確保始終在O、A、C三點(diǎn)在一條直線時(shí)，AC最小.

譬如：如圖9，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一半徑為5的半⊙O，且⊙O內(nèi)有一定點(diǎn)A(2,1)，B、D為圓弧上兩點(diǎn)，且∠BAD=90°，以AB、AD為邊作矩形ABCD，則AC的最小值為__________.

這樣，解法1和解法2的思路，也都是嚴(yán)謹(jǐn)正確的了.

思考3 將題目中的矩形改為內(nèi)角不變的平行四邊形，其余條件不變，AC的最小值還存在嗎？顯然存在，只是上述解法不再適合.

可以大膽猜想，一定小心求證.思維縝密性是數(shù)學(xué)思維的重要指標(biāo)之一，它是指在分析和解決問題的過(guò)程中，周到而細(xì)致地考慮問題的一種思維品質(zhì)，無(wú)論是命題工作，還是教學(xué)工作都應(yīng)在嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)精神指導(dǎo)下完成.