湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué) (郵編：435200)

本文向讀者介紹矩形的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)，并從幾何、代數(shù)、向量等角度給出多種證法，最后舉例說(shuō)明性質(zhì)在解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用.

1 矩形的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)

性質(zhì)矩形所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)到不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和相等.

已知：點(diǎn)P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：PA2+PC2=PB2+PD2.

圖1 圖2

矩形的這一性質(zhì)文字簡(jiǎn)潔精準(zhǔn)，圖形方正大方，等式對(duì)稱優(yōu)美.下面給出多種證法.

故PA2+PC2=PB2+PD2.

圖3 圖4

證法2 (用三角形中線長(zhǎng)公式)如圖3、圖4，在△PAC中，O為AC中點(diǎn)，由三角形中線長(zhǎng)公式得PA2+PC2=2(PO2+OA2).在△PBD中，O為BD中點(diǎn)，由三角形中線長(zhǎng)公式得PB2+PD2=2(PO2+OB2).又OA=OB，所以PA2+PC2=PB2+PD2.

圖5

圖6

證法4 (坐標(biāo)法)建立直角坐標(biāo)系如圖6所示，設(shè)BC=a,AB=b，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).由兩兩點(diǎn)間的距離公式得

PA2+PC2=x2+(y-b)2+(x-a)2+y2，PB2+PD2=x2+y2+(x-a)2+(y-b)2.

所以PA2+PC2=PB2+PD2.

評(píng)注證法1和證法2為幾何證法，需要添加輔助線，同時(shí)還要對(duì)點(diǎn)P與矩形的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，證法3向量證法和證法4坐標(biāo)證法，不需要添加輔助線，也不需要分類討論，充分體現(xiàn)了向量法與坐標(biāo)法的優(yōu)越性，其中坐標(biāo)證法非常簡(jiǎn)潔.

2 性質(zhì)應(yīng)用舉例

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)P(1,-1)，圓C1:x2+y2=5和圓C2:x2+y2=8，M,N是C1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是C2上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形PMQN能構(gòu)成矩形的個(gè)數(shù)是( )

A.0個(gè) B.2個(gè) C.4個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè)

圖7

滿足條件的矩形可這樣得到：在圓C1上任意取一點(diǎn)M，連接PM，過(guò)點(diǎn)P作PM的垂線交圓C1于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M,N分別作PN,PM的平行線相交于點(diǎn)Q，則四邊形PMQN就是點(diǎn)Q在圓C2上的矩形.

例2 (2013年高考重慶卷理科第10題)在平面上，

圖8

圖9

解如圖9，以CA,CB為鄰邊作矩形CADB.

故AB的取值范圍是[2,4].

(1)證明：點(diǎn)B的軌跡是一個(gè)圓，并求出圓的半徑；

(2)證明：線段PQ的中點(diǎn)M軌跡也是一個(gè)圓，并說(shuō)明圓心的位置求出半徑大小.

解(1)如圖10，以AP,AQ為鄰邊作矩形APBQ.由矩形性質(zhì)得OA2+OB2=OP2+OQ2，將

代入得OB=3.故B的軌跡是以點(diǎn)O為圓心以3為半徑一個(gè)圓.

圖10

(2)取OA中點(diǎn)N，連接MO,MN,MA.OP=OQ,MP=MQ，所以O(shè)M⊥PQ，由勾股定理得MP2+MO2=OP2=5.又AM是直角△PAQ斜邊上的中線，所以MA=MP，于是MA2+MO2=5.

點(diǎn)評(píng)本題第1問(wèn)用矩形性質(zhì)證明，第2問(wèn)是用三角形中線長(zhǎng)公式證明的，由矩形性質(zhì)證法2知，矩形性質(zhì)也可用三角形中線長(zhǎng)公式證明.運(yùn)用定理結(jié)論以及運(yùn)用定理證明時(shí)所用到的定理公式和方法去解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題同樣重要，務(wù)必引起重視.