劉躍彩

摘 要：小學(xué)階段“解決問題的策略”教學(xué)不應(yīng)著眼于問題解決，而應(yīng)側(cè)重于策略感悟。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過情境催生學(xué)生的策略意識(shí)，通過操作引導(dǎo)學(xué)生感知策略方法，通過反思內(nèi)化學(xué)生的策略經(jīng)驗(yàn)，通過應(yīng)用形成學(xué)生的策略思想。從而，讓策略意識(shí)在學(xué)生心中從朦朧走向清晰，從清晰走向深刻。

關(guān)鍵詞：解決問題；策略意識(shí)；策略方法；策略經(jīng)驗(yàn)；策略思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在“解決問題”的課程目標(biāo)中對(duì)“解決問題策略”教學(xué)提出了明確的要求。與課程標(biāo)準(zhǔn)相配套的教科書也都或多或少地安排或滲透了“解決問題的策略”。解決問題的策略對(duì)于學(xué)生解決問題，體驗(yàn)問題解決方式的多樣性具有重要意義。策略是介于數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想之間的，相比于方法，策略更上位一些。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確把握策略內(nèi)涵，催生學(xué)生的策略意識(shí)，內(nèi)化策略經(jīng)驗(yàn)，形成策略思想。

一、情境：催生策略意識(shí)

美國數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)指出，“問題解決就是將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用到情境中的過程”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生策略需求，催生學(xué)生策略意識(shí)。數(shù)學(xué)情境，一方面要有兒童味、生活味；另一方面要求數(shù)學(xué)味，能夠引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考。換言之，有效的數(shù)學(xué)情境應(yīng)該是情理交融、有情有理的。情境對(duì)于學(xué)生獲得對(duì)策略意識(shí)的萌發(fā)、生成，領(lǐng)悟策略的真諦以及運(yùn)用策略都具有極為重要的意義和價(jià)值。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要啟發(fā)學(xué)生尋求策略，激發(fā)學(xué)生策略心理需求。

比如，人教版四年級(jí)下冊(cè)的《數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠》是我國古代著名趣題。原題是：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？（《孫子算經(jīng)》）其意是：雞和兔關(guān)在同一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳，問有多少只雞和多少只兔？“雞兔同籠”問題具有極高的思維價(jià)值。在教學(xué)中，筆者首先將學(xué)生帶入問題情境之中，讓他們感受條件、問題之間的復(fù)雜關(guān)系，催生學(xué)生的畫圖意識(shí)。比如，有學(xué)生在畫圖中想到了“立正法”，即讓兔子立正。這樣，每只雞和每只兔的腳相等，一共就有70只腳，多的腳就是兔子抬起來的腳，因此兔子有24除以2，也就是12只。再如，有學(xué)生在畫圖的過程中認(rèn)識(shí)到，如果我們給每只雞再裝上兩只腳，那每只雞和每只兔子的腳的數(shù)量就相等了，一共就有140只腳，而多的46只腳，就是我們給雞裝的腳，從而雞的只數(shù)就是46除以2等于23只。

在問題情境中，學(xué)生的思維被盤活，有的用“折半法”，有的用“砍足法”等。正是在趣味化的問題解決中，學(xué)生領(lǐng)悟到“假設(shè)法”的一般性策略：即假設(shè)所有的動(dòng)物都是雞，或者所有的動(dòng)物都是兔子（極端假設(shè)法），又或者假設(shè)有一半的雞和一半的兔子（中間假設(shè)法）等。

情境是根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容設(shè)定的一個(gè)環(huán)節(jié)，這個(gè)環(huán)節(jié)要催生學(xué)生萌發(fā)解決問題的策略，比如畫圖、列舉、假設(shè)等。只有這樣，情境才是有價(jià)值、有意義的。高質(zhì)量的情境， 能讓學(xué)生置身其中并能做出主動(dòng)心理反應(yīng)，是學(xué)生問題解決的直接外部誘因。從這個(gè)意義上說，情境是打開學(xué)生問題解決策略之門的鑰匙。

二、操作：感知策略方法

瑞士著名教育心理家皮亞杰認(rèn)為：“學(xué)生的智慧在指尖上?！痹诮鉀Q問題策略教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，讓學(xué)生能夠?qū)栴}解決的策略獲得直接的心理感受與體驗(yàn)。但這種操作要警惕學(xué)生淪落為操作工，教師應(yīng)將學(xué)生的操作與感悟、體驗(yàn)融通起來。換言之，解決問題策略中的數(shù)學(xué)操作應(yīng)該是一種“具身性認(rèn)知”，這種認(rèn)知能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)策略形成深刻認(rèn)知，能夠吸引學(xué)生的主動(dòng)探究，能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

比如教學(xué)《鴿巢問題》（人教版六年級(jí)下冊(cè)），有教師在教學(xué)中直接將這種策略定位于“至少數(shù)=商+1”，關(guān)注的是抽屜原理的表面模型，而忽視了模型的建構(gòu)過程。由此，學(xué)生獲得的只是數(shù)學(xué)知識(shí)，而沒有獲得對(duì)問題解決策略的感悟。筆者在教學(xué)中通過讓學(xué)生“擺一擺”“說一說”“試一試”“找一找”等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、實(shí)踐，讓學(xué)生獲得一種策略感悟。先從簡(jiǎn)單情況入手，學(xué)生將“4只鉛筆”放進(jìn)“3個(gè)筆筒”中，一共有哪些不同的情況呢？學(xué)生在小組內(nèi)展開操作，然后將各種情況用筆一一列舉出來，形成了（4，0，0），（1，3，0），（2，2，0）到（1，2，1）等諸多情況。這些情況有怎樣的共同點(diǎn)呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)物體。接著，讓學(xué)生將“10本書”放進(jìn)“6個(gè)抽屜”，這時(shí)有學(xué)生試圖操作，但卻因?yàn)槲矬w的個(gè)數(shù)多、抽屜的個(gè)數(shù)多而緩了下來，他們開始有序列舉。還有一部分學(xué)生通過思考后返回操作，開始從“最不利的情況”出發(fā)，先在每個(gè)抽屜里放一個(gè)物體，在放了一輪之后，再在每個(gè)抽屜里放一個(gè)物體。在這種循環(huán)操作中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，“鴿巢問題”與“平均分”有關(guān)。在這種平均分的過程中，學(xué)生感悟到：如果物體個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的整數(shù)倍，那么每個(gè)抽屜里所放物體地個(gè)數(shù)就是“倍數(shù)”個(gè)；如果物體個(gè)數(shù)不是抽屜個(gè)數(shù)的整數(shù)倍，那么每個(gè)抽屜里所放物體的個(gè)數(shù)就是“倍數(shù)+1”個(gè)。教學(xué)中，學(xué)生從“操作”到“列舉”，再從“列舉”到“操作”，然后發(fā)現(xiàn)“鴿巢問題”與“平均分”相關(guān)，進(jìn)而概括出“鴿巢原理”的基本規(guī)律。在這個(gè)過程中，學(xué)生還誕生了“從最不利出發(fā)”的思想。

策略因問題而生，也因?yàn)閱栴}而至。學(xué)生在操作中觀察、猜測(cè)、實(shí)踐，其策略方法自然地流淌于學(xué)生的手指尖上。在操作過程中，學(xué)生自然展開內(nèi)隱性思維：為什么、怎么樣、還可以怎樣……正是通過這種具身性的活動(dòng)，學(xué)生才能逐步抽象出問題解決模型。

三、反思：內(nèi)化策略經(jīng)驗(yàn)

蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾認(rèn)為，“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)教學(xué)”。在解決問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行自覺反思、審視，引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的再認(rèn)識(shí)、再思考。這是一種“回頭看”，是一種回顧與審視。在這個(gè)過程中，學(xué)生能夠逐步學(xué)會(huì)“調(diào)整”“調(diào)節(jié)”，這是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)同化、內(nèi)化的重要過程。通過回顧、反思，學(xué)生才能將程序性、過程性知識(shí)提升為一般意義和普遍意義的方法性知識(shí)、策略性知識(shí)。

比如教學(xué)《三角形的面積》（人教版五年級(jí)上冊(cè)），在學(xué)生通過剪、拼、移，將三角形的面積轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長方形后，筆者引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)不同的轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行反思，提升學(xué)生的認(rèn)識(shí)。“為什么要將三角形旋轉(zhuǎn)180°？”“為什么要沿著三角形的中位線剪開？”“為什么要沿著三角形的中位線兩端的垂線剪開？”……這樣的追問，其目的是讓學(xué)生深刻理解操作的意圖：即將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或者長方形，也就是說，將三角形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形。更一般地，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉。只有上升到“為什么操作”的層面，數(shù)學(xué)策略意識(shí)才能形成。正是因?yàn)橛辛瞬呗砸庾R(shí)，有了策略指向，學(xué)生在學(xué)習(xí)《梯形的面積》時(shí)，才能想到將梯形轉(zhuǎn)化成長方形，或者將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，或者將梯形轉(zhuǎn)化成三角形等。可見，操作讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“碎”到“統(tǒng)”，從“木”到“林”，不僅讓學(xué)生積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，明晰了知識(shí)結(jié)構(gòu)，更提升了學(xué)生的認(rèn)知能力，感悟到數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)問題解決的過程，一般要經(jīng)歷這樣幾個(gè)階段：潛意識(shí)階段、明朗化階段和深刻化階段。解決問題的過程回顧與反思，就是讓學(xué)生從策略的明朗化階段走向深刻化階段的重要方式?？梢赃@樣說，沒有反思就沒有策略的形成，策略的有效形成必然伴隨著主體的不斷反思。只有對(duì)解決問題的過程形成深刻認(rèn)知，一般意義上的策略才能形成。

四、應(yīng)用：形成策略思想

不同的策略可以幫助我們解決不同的實(shí)際問題，同時(shí)，不同的問題需要不同的策略。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生不僅需要形成策略意識(shí)，更需要在應(yīng)用中形成策略思想，策略思想關(guān)注策略“何時(shí)用”、關(guān)注策略“在何種情況下用”。培養(yǎng)學(xué)生策略應(yīng)用的能力是解決問題教學(xué)的重要目標(biāo)。因?yàn)?，只有在策略的運(yùn)用中，學(xué)生才能形成深刻的心理體驗(yàn)。

比如，畫圖是一種策略，不僅能夠幫助學(xué)生描述題意，而且能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。但是畫圖這種策略并不是依靠一兩節(jié)課就能夠形成的，而是需要滲透在日常的教學(xué)之中。不僅“圖形與幾何”部分內(nèi)容需要畫圖，“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”等板塊的數(shù)學(xué)內(nèi)容也需要畫圖。比如在教學(xué)《分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算》（人教版六年級(jí)上冊(cè)），教師在引導(dǎo)學(xué)生解決有關(guān)“倍數(shù)”“比”“分?jǐn)?shù)”等分?jǐn)?shù)乘除法混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，就可以恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用線段圖，讓學(xué)生明晰“量“率”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而能夠更好地理解數(shù)量關(guān)系。這里，對(duì)應(yīng)是指導(dǎo)學(xué)生畫圖的數(shù)學(xué)思想，畫圖是落實(shí)數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)思想的策略。在數(shù)學(xué)運(yùn)用中，一方面學(xué)生能夠?qū)?shù)量之間的關(guān)系用圖表示出來，另一方面能夠通過形，解決數(shù)量之間的關(guān)系。正如北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授張丹教授所說的那樣，“畫圖策略是非常重要的一種分析問題和解決問題的策略，它是利用‘圖的直觀來對(duì)問題中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進(jìn)行表達(dá)，從而幫助人們分析問題和解決問題。同時(shí)，畫圖又是一個(gè)‘去情境化的過程，它把情境中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行提煉，并進(jìn)行直觀表達(dá)”。

策略的應(yīng)用促進(jìn)了學(xué)生的策略內(nèi)化，同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生的策略外化。尤其是當(dāng)學(xué)生在解決問題中遭遇阻力時(shí)，策略的介入、運(yùn)用更能讓學(xué)生體驗(yàn)到策略的優(yōu)點(diǎn)。在學(xué)生運(yùn)用策略時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么要用這種策略而不用那種策略？用這種策略有什么好處？什么樣的問題解決需要這種策略？只有在對(duì)策略的自覺追問中，學(xué)生才能誕生鮮活的數(shù)學(xué)思想。

解決問題的策略是一種宏觀的問題解決思路，是一種植根于心的分析、思考問題的思想方法。在數(shù)學(xué)中，比知識(shí)更重要的是方法，比方法更重要的是策略。教學(xué)中，通過情境催生學(xué)生的策略意識(shí)，通過操作感知策略方法，通過反思內(nèi)化策略經(jīng)驗(yàn)，通過應(yīng)用形成策略思想，最終讓策略意識(shí)在學(xué)生心中從朦朧走向清晰，從清晰走向深刻。