吳春梅

摘 要：“變易理論”建基于“現(xiàn)象圖析學”?！白円桌碚摗标P(guān)注學習內(nèi)容、關(guān)鍵特征、意識結(jié)構(gòu)和變易識別。在數(shù)學教學中援引變易理論，需要對學習內(nèi)容進行深度耕犁，對學習方式進行深度研究，對高階思維進行深度引導。運用變易思想進行教學，能讓學生數(shù)學學習有效發(fā)生。

關(guān)鍵詞：變易理論；變易哲學；數(shù)學教學

“變易理論”植根于“現(xiàn)象圖析學”研究方式。20世紀90年代，現(xiàn)象圖析學之父馬飛龍教授與香港大學教育學院研究團隊合作，讓現(xiàn)象圖析學逐漸成為一種“顯學”。“現(xiàn)象圖析學”不同于“現(xiàn)象學”，盡管它們都研究人的經(jīng)驗，但現(xiàn)象學的根本旨趣在于得出本質(zhì)，而現(xiàn)象圖析學則著眼于揭示人們經(jīng)驗現(xiàn)象方式的不同， 并用描述類別和結(jié)果空間來闡述這種不同。在現(xiàn)象圖析學基礎上產(chǎn)生了變易理論。變易理論又稱變異理論。所謂“變易”，是指“當一個現(xiàn)象或者一個事物某個屬性產(chǎn)生變化而同時其他屬性保持不變， 變化的屬性將被審辨到”?；凇白円桌碚摗钡膶W習關(guān)鍵是找出事物最顯著差別，即是說， 學習關(guān)鍵是找出事物最顯著的差別。

一、“變易理論”的內(nèi)涵簡介

“變易理論”將學習內(nèi)容劃分為具體方面與一般方面、內(nèi)部視域與外部視域。變易理論關(guān)注學習內(nèi)容動態(tài)變化，通過內(nèi)容變易深化理解?！白円桌碚摗碧接懙氖侨嗽鯓訋椭藢W習。變易理論認為，學習源于系統(tǒng)重復與變化。變易理論基本觀點是：為了認識某個事物，就必須注意到此事物與彼事物之不同。為了凸顯此事物與彼事物之不同，就必須使此事物的某種屬性在某個維度上發(fā)生變化。

1. 學習內(nèi)容

“變易理論”里的“變”與“不變”指向?qū)W習內(nèi)容。馬飛龍認為，學習包含“怎么學（how）”和“學什么（what）”兩個方面?！皩W什么”即學習內(nèi)容，亦即最為直接、最為基本的學習目標?！霸趺磳W”包括學生學習行為和學生要發(fā)展的某方面能力?！皩W什么”是學習內(nèi)容直接目標，怎么學是學習內(nèi)容間接目標。馬飛龍教授認為，只有既聚焦于學習內(nèi)容，同時配適合宜的方法，才能產(chǎn)生期望的學習結(jié)果，割裂二者必然導致失敗。

2. 關(guān)鍵特征

相同學習情境，為什么有人會比別人學得好？在馬飛龍看來，之所以學得好是因為他們在學習內(nèi)容方面“聚焦并經(jīng)歷特定學習的某個關(guān)鍵之處”。比如，單獨一個數(shù)字5就是一個無意義的純粹符號，只有將5置于數(shù)系中，5才能顯現(xiàn)出其序數(shù)意義和基數(shù)意義來。當5這個數(shù)字納入運算之中，5這個符號所代表的意義就能凸顯出來。為了讓學生經(jīng)歷“特定學習關(guān)鍵之處”，教師應當充分創(chuàng)造“變易”，即“將現(xiàn)象或事物的某個屬性保持變化而其他屬性同時保持不變”。唯其如此，關(guān)鍵特征才能被審辨到。

3. 意識結(jié)構(gòu)

所謂“意識結(jié)構(gòu)”，即個體在經(jīng)驗時，存在質(zhì)的差異的理解方式。變易理論認為，知識具有文化性、境域性、價值性。知識與文化體系中的價值觀念、生活方式、語言符號乃至人生信仰等意識結(jié)構(gòu)密不可分。這啟示我們，數(shù)學教學必須注重情境，注重知識境脈意義。比如抽象的“一億有多大”，學生并不能感受到其意義。但是當我們將“一億”放置于情境之中，就能喚醒學生的驚異感，形成學生對“一億”的陌生化眼光?！耙粡圓4紙的厚度很薄，而一億張A4紙堆積的高度竟然比珠穆朗瑪峰還高”“一枚1元硬幣大約重6克，一億枚1元硬幣重600噸，需要120輛5噸載重量的卡車來運”等。這樣的知識，有助于豐富、改變、完善學生的意識結(jié)構(gòu)。

4. 變易識別

馬飛龍指出，當某個現(xiàn)象或事物的一個方面發(fā)生變化，而另一方面保持不變時，變化方面就會被識別出來。學習素數(shù)時，不僅要將素數(shù)與合數(shù)放在一起進行比較，更要將素數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等放在一起讓學生識別。識別有兩種方式：一是將某個事物的屬性識別出來，同時將變易屬性也識別出來，如學習“素數(shù)與合數(shù)”，必須讓學生進行因數(shù)分類，從中抽離出“素數(shù)”“合數(shù)”“既不是素數(shù)也不是合數(shù)的數(shù)”的數(shù)；二是將某個事物作為整體從一個情境中識別出來，同時也將這個事物的部分從其他部分和整體中識別出來。如素數(shù)合數(shù)的關(guān)鍵特征是因數(shù)個數(shù)，而奇數(shù)偶數(shù)的屬性即“是否是2的倍數(shù)”。

二、“變易理論”引領(lǐng)下的數(shù)學教學

馬飛龍等人認為，變易圖式可以帶出四種功能： 對照、類合、區(qū)分及融合。根據(jù)四種功能，在數(shù)學教學中，教師要引導學生在比照中獲得對數(shù)學知識的直觀感受，讓學生把握知識的關(guān)鍵特征，讓學生關(guān)注事物變化中之不變特征，讓學生保持知識幾個方面的關(guān)鍵特征同步變化?！白円桌碚摗睆娬{(diào)知識無關(guān)、重要和關(guān)鍵特征，這在某種程度上類似于科學實驗中的自變量、因變量和無關(guān)變量。

1. 對學習內(nèi)容的深度耕犁

通常情況下，教學總是被理解為簡單講解教材知識點，有教師為趕進度，甚至對知識“掐頭去尾燒中段”，由此導致學生與數(shù)學疏離。變易理論認為，教學首先需要學生對學習內(nèi)容進行深度耕犁。教師要深度思考的問題是：一個數(shù)學概念如何呈現(xiàn)才能讓學生領(lǐng)會？一個數(shù)學概念需要哪些例子才能完整展示其內(nèi)涵？學生在學習數(shù)學概念時需要經(jīng)歷怎樣的思維歷程？一個數(shù)學公式需幾個步驟推導才符合學生認知水平？

教學《認識方程》，教師絕不僅僅是簡單出示定義，讓學生借助定義進行判斷，而是需要有層次地揭示出知識本質(zhì)。如教師可以出示一組式子（注：這組式子中有等式，有不等式，有式子，有含有未知數(shù)的等式，有含有未知數(shù)的不等式，有含有未知數(shù)的式子），提煉出“方程”。在這個過程中，學生不僅要展開正向思考，更要展開逆向思考，突出“方程是含有未知數(shù)的等式”的意義。為了增進變易教學之效果，教師可以將正例、反例、無關(guān)例子等一并呈現(xiàn)，這樣有助于學生歸謬激正，突出知識關(guān)鍵特征。變易理論不僅是一題多解、一題多變，也不僅是組織材料策略，更是一種教學思想。通過變易教學、達成不易知識、形成簡易學法（易學、易用、易創(chuàng)）的數(shù)學課程。

變易理論與巴班斯基的最優(yōu)化教學理論無關(guān)，與維果茨基最近發(fā)展區(qū)理論無涉。運用變式理論要加強課前研判、課中觀察、課后跟蹤。同時，要引導學生構(gòu)建知識導圖，以引導學生進行自主檢測，幫助學生形成學習策略，提高學生元認知意識和技能。

2. 對學習方式的深度研究

從根本上說，將變易理論引入數(shù)學教學，要加強對學生學習方式的研究。比較變式教學，變易理論更上位。一方面，變易理論為變式教學提供了認識論基礎；另一方面，變式教學為變易理論提供了精細化操作策略體系。從這個意義上說，變易理論是一種思想。在變易思想的統(tǒng)御下，教學開始由粗放走向集約、精細，這是一種深層次扎根研究。

張奠宙等專家認為，“易”是中國哲學的標識。將變易思想引入數(shù)學教學，可以通過變化概念、圖式、語義等方式。比如一位教師教學“三角形的高”，運用多種變易方式，讓學生掌握垂直關(guān)鍵特征。首先，教師認為如果出示標準圖形高，盡管學生容易抽象出高的特征，即垂直，但學生也容易受無關(guān)特征、非本質(zhì)特征影響?；诖?，教師出示了不同大小、不同方向的銳角三角形高。學生通過圖形變易，認識到不管線段方向、位置如何，只要是從三角形頂點到對邊的垂直線段就是高。然后，教師認為，這樣的高還僅僅局限于銳角三角形，高的位置全部在三角形的內(nèi)部?；诖?，教師又出示了直角三角形、鈍角三角形的高。至此，學生認識到三角形的高不僅可以在圖形之內(nèi)，也可能在圖形之上、之外。不管線段位置、方向、形狀如何，只要是從三角形頂點到對邊的垂直線段就是高。

變易理論課堂教學研究是一種深層次的扎根研究。遷移理論認為，教師可以從單一事例或者眾多相似的事例中歸納、分離出本質(zhì)屬性。因此需要大量的練習，熟能生巧、精講多練是這種教學的經(jīng)典話語。在變易教學中，教師要善變，進而讓教學聚焦于數(shù)學知識的關(guān)鍵特征，從而讓學生理解、掌握數(shù)學知識。

3. 對高階思維深度引導

學生數(shù)學學習的目的是獲得思維提升。教師要運用變易思想引導、激發(fā)、調(diào)動學生思維。學生的高階思維涉及聯(lián)想、直覺、創(chuàng)造想象、比較、歸納推理等。變易理論認為，沒有變易就沒有學習，學習就是對知識屬性進行審辯，只有當關(guān)鍵屬性與其他屬性在變易中形成比照，學生才能形成高階思維。

如“運算律”一課，教師可以引導學生進行變易猜想、聯(lián)想。在教學加法交換律時，教師可以引發(fā)學生聯(lián)想：加減乘除四則運算是否都有交換律？通過舉例（包括正例和反例）不完全歸納出減法和除法的猜想與實際例證不符。在此基礎上，引導學生繼續(xù)進行變易聯(lián)想：在三個數(shù)、四個數(shù)和五個數(shù)中，交換律是否仍然成立。如此，不僅進行縱向變易聯(lián)想，而且進行橫向變易聯(lián)想。不僅如此，教師還可以激發(fā)學生進行縱橫向的整體變易聯(lián)想，不斷引導學生進行猜想、驗證、結(jié)論與運用的過程。這樣的教學，從整體、變易的視角讓學生逐步發(fā)展起數(shù)學高階思維。

馬飛龍指出，教師要盡可能通過必要的“變與不變”范式來幫助學生識別知識的關(guān)鍵屬性、屬性關(guān)系及屬性與整體關(guān)系。發(fā)展學生高階思維，需要教師從多個層面、向度予以變易，如內(nèi)容、方式、教學工具變易等。

變易理論從現(xiàn)象圖析學視角出發(fā)，強調(diào)教師在“變”與“不變”中突出現(xiàn)象或事物在某個方面的關(guān)鍵特征。變易理論視野下的數(shù)學教學有助于豐富學生的“學”。作為教師，要審視數(shù)學本體性知識，了解學生學習困難。從核心問題——學習內(nèi)容出發(fā)，根據(jù)學生學習數(shù)學的心理規(guī)律，運用變易思想進行教學，從而讓學生數(shù)學學習有效發(fā)生。