【摘 要】 “綜合與實(shí)踐”是學(xué)生自主參與的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是《課標(biāo)（2011年版）》界定的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之一，在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，學(xué)生將綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等方面的知識(shí)和方法解決問題.首先應(yīng)從多角度的理解這種活動(dòng)，然后在對(duì)一道典型中考探究問題分析的基礎(chǔ)上，提出了有效開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)的宏觀教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】 綜合實(shí)踐；中考問題；宏觀建議

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011年版）》）在“課程設(shè)計(jì)思路”中安排了“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)部分的課程內(nèi)容，其中“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容設(shè)置的目的在于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)與方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，積累學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力[1].為幫助教師更好地引導(dǎo)學(xué)生開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，逐步實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，筆者在本文首先談?wù)剬?duì)這部分內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，然后結(jié)合今年中考的一個(gè)具體案例提出開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)的基本教學(xué)建議.

1 多角度理解“綜合與實(shí)踐”

1.1 涵義

《課標(biāo)（2011年版）》指出，“綜合與實(shí)踐”是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng).在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生將綜合運(yùn)用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”等知識(shí)和方法解決問題[1].

綜合與實(shí)踐也可以理解為“數(shù)學(xué)探究”和“數(shù)學(xué)建?；驍?shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用”.“數(shù)學(xué)探究”就是綜合運(yùn)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想、方法、知識(shí)、技能解決一些數(shù)學(xué)問題，“數(shù)學(xué)建?！本褪蔷C合運(yùn)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想、方法、知識(shí)、技能解決一些生活和社會(huì)中的問題.“數(shù)學(xué)建模或數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用”是學(xué)生教育發(fā)展中的新事物，是數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”的重要組織部分[2].

根據(jù)以上論述，筆者認(rèn)為教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生開展“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，決不是要求學(xué)生去解答一道或幾道簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題，而是解答一系列能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、交流等多種數(shù)學(xué)活動(dòng)的問題串[3].

1.2 用于綜合與實(shí)踐活動(dòng)的問題特征

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)反映了數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教學(xué)改革的要求，在設(shè)計(jì)綜合與實(shí)踐活動(dòng)的問題時(shí)，教師要在“問題”和“綜合”兩個(gè)方面下功夫，用于綜合與實(shí)踐活動(dòng)的問題應(yīng)具有如下特征[4]：

（1）接受性：學(xué)生具有解決它的知識(shí)基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ)，題目有激發(fā)解題心向的因素.

（2）障礙性：學(xué)生不能直接看出它的解法和答案，需要經(jīng)過數(shù)學(xué)思考，綜合地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法才能進(jìn)行解答.

（3）探究性：學(xué)生不能簡(jiǎn)單的模仿現(xiàn)成的公式或沿用常規(guī)的解題套路，需要進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等探究活動(dòng)才能解決.

（4）情境性：題目不是簡(jiǎn)單的“已知—求解”模式，而是一種實(shí)際問題情境，這種情境能引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)化的手段，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型來解決.

（5）開放性：條件可以多余，答案不必唯一（也可以沒有終極的答案），解決方法靈活多樣，各種水平的學(xué)生都能由淺入深地作出一定程度的回答，當(dāng)然不一定都能給出最終的解答.

當(dāng)然用于綜合與實(shí)踐活動(dòng)的問題不一定同時(shí)具體上述特征，筆者認(rèn)為，一個(gè)問題只要能同時(shí)具備三個(gè)以上的特征，就能很好的為學(xué)生提供一個(gè)通過綜合、實(shí)踐的過程去做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，在這些過程中，學(xué)生將綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，借助于數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和問題解決活動(dòng)，不斷增強(qiáng)其發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

1.3 教育教學(xué)價(jià)值

（1）綜合與實(shí)踐是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的載體.《課標(biāo)（2011年版）》指出“應(yīng)用意識(shí)有兩個(gè)方面的含義，一方面有意識(shí)利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題；另一方面，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決”[1].學(xué)生通過開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，必然要解決一個(gè)或一系列的問題，這些問題一般都有實(shí)際背景，因此在解決這些問題的同時(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

（2）綜合與實(shí)踐有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).《課標(biāo)（2011年版）》指出“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法”[1].學(xué)生在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，有充足的時(shí)間和空間進(jìn)行觀察、思考、探索、歸納、猜想等活動(dòng)，通過這些活動(dòng)，學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)將不斷得到培養(yǎng)和提高.

（3）綜合與實(shí)踐有助于培養(yǎng)學(xué)生的模型思想.《課標(biāo)（2011年版）》指出“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)”[1].在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，經(jīng)常需要通過建立一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，才能解決給定的問題，學(xué)生參加這些活動(dòng)有助于模型思想的建立與發(fā)展.2 案例展現(xiàn)

要引導(dǎo)學(xué)生開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，教師首先要設(shè)計(jì)一個(gè)能引導(dǎo)學(xué)生開展思考、探究、猜測(cè)、計(jì)算、驗(yàn)證活動(dòng)的數(shù)學(xué)問題，為指導(dǎo)教師設(shè)計(jì)用于綜合與實(shí)踐活動(dòng)的問題系列，我們對(duì)青島市2018年中考第23題進(jìn)行分析與解答，以發(fā)揮好中考典型問題的“指揮棒”作用.圖1

2.1 原題呈現(xiàn)

問題提出：用若干相同的一個(gè)單位長(zhǎng)度的細(xì)直木棒，按照?qǐng)D1方式搭建一個(gè)長(zhǎng)方體框架，探究所用木棒條數(shù)的規(guī)律.

問題探究：

我們先從簡(jiǎn)單的問題開始探究，從中找出解決問題的方法.

探究一

用若干木棒來搭建橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n的矩形框架（m，n是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù).

如圖2，當(dāng)m=1，n=1時(shí)，橫放木棒為1×（1+1）條，縱放木棒為（1+1）×1條，共需4條；

如圖3，當(dāng)m=2，n=1時(shí)，橫放木棒為2×（1+1）條，縱放木棒為（2+1）×1條，共需7條；

如圖4，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，橫放木棒為2×（2+1）條，縱放木棒為（2+1）×2條，共需12條；

如圖5，當(dāng)m=3，n=1時(shí)，橫放木棒為3×（1+1）條，縱放木棒為（3+1）×1條，共需10條；

如圖6，當(dāng)m=3，n=2時(shí)，橫放木棒為3×（2+1）條，縱放木棒為（3+1）×2條，共需17條；

問題（一）：當(dāng)m=4，n=2時(shí)，共需木棒 條.

問題（二）：當(dāng)矩形框架橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n時(shí)，橫放的木棒為 條，縱放的木棒為 條.

探究二

用若干木棒來搭建橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n，高是s的長(zhǎng)方體框架（m，n，s是正整數(shù)），需要木棒的條數(shù).

如圖7，當(dāng)m=3，n=2，s=1時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（1+1）=34條，

豎放木棒為（3+1）×（2+1）×1=12條，共需46條；

如圖8，當(dāng)m=3，n=2，s=2時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（2+1）=51條，

豎放木棒為（3+1）×（2+1）×2=24條，共需75條；

如圖9，當(dāng)m=3，n=2，s=3時(shí)，橫放與縱放木棒之和為[3×（2+1）+（3+1）×2]×（3+1）=68條，

豎放木棒為（3+1）×（2+1）×3=36條，共需104條；

問題（三）：當(dāng)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是m，縱長(zhǎng)是n，高是s時(shí)，橫放與縱放木棒條數(shù)之和為 條，豎放木棒條數(shù)為 條.

實(shí)際應(yīng)用：現(xiàn)在按探究二的搭建方式搭建一個(gè)縱長(zhǎng)是2、高是4的長(zhǎng)方體框架，總共使用了170條木棒，則這個(gè)長(zhǎng)方體框架的橫長(zhǎng)是 .圖10

拓展應(yīng)用：若按照如圖10方式搭建一個(gè)底面邊長(zhǎng)是10，

高是5的正三棱柱框架，需要木棒 條.

2.2 特點(diǎn)分析

（1）接受性：本題目就是要求“用若干相同的一個(gè)單位長(zhǎng)度的細(xì)直木棒，搭建圖1所示長(zhǎng)方體框架，探究所用木棒條數(shù)的規(guī)律”，為了探求這個(gè)規(guī)律，題目給出了探究一和探究二，這兩個(gè)探究活動(dòng)相當(dāng)于教學(xué)中的“例題”，從對(duì)探究活動(dòng)的解答過程看，主要是從搭建最簡(jiǎn)單的正方形開始進(jìn)行探究的，對(duì)于搭建圖形2-6所示的框架來說，所有學(xué)生都能探究到所需要的木棒條數(shù).因此學(xué)生具有解答它的知識(shí)基礎(chǔ)和基本能力.另外，題目具有趣味性，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

（2）障礙性：部分學(xué)生可能對(duì)問題（二）和（三）無從下手，一時(shí)難以直接看出它的解法和答案，需要仔細(xì)閱讀前兩個(gè)探究活動(dòng)的解答過程，采用類似的方法，經(jīng)過深層次的數(shù)學(xué)思考，借助圖形的直觀性才能得以解決.

（3）探究性：這個(gè)特征是非常明顯的.需要學(xué)生解答的三個(gè)問題以及實(shí)際應(yīng)用和拓展應(yīng)用中的問題都是留給學(xué)生通過探究才能完成的任務(wù)，解答的關(guān)鍵是在讀懂前兩個(gè)“例題”的基礎(chǔ)上， 類比其方法進(jìn)行歸納、猜想等活動(dòng).

（4）情境性：最后就是通過一系列的探究活動(dòng)，得到問題（三）中橫放與縱放木棒條數(shù)之和為[m（n+1）+n（m+1）] （s+1），豎放木棒條數(shù)為s（m+1）（n+1），這是這個(gè)問題的兩個(gè)通解模型.

（5）開放性：可能有部分學(xué)生不能給出全部的解答，但就探究問題（一）（二）（三）來說，各種水平的學(xué)生都能仿照探究一和探究二作出回答.

基于以上分析，我們認(rèn)為本題是一道能融考查學(xué)生數(shù)學(xué)思考、問題解決、歸納猜想等多種能力于一體的“綜合性”題目，對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)的提高具有重要的教學(xué)價(jià)值.

2.3 分析與解答

本題分為“問題提出——問題探究——實(shí)際應(yīng)用——

拓展應(yīng)用”四個(gè)部分，題目敘述篇幅較長(zhǎng)，需要學(xué)生有較強(qiáng)

的閱讀理解能力和分析探究能力.

問題探究部分提出了兩個(gè)探究性的問題，其中探究一是探究搭建平面框架需要的木條數(shù)，首先圖文并茂給出了探究搭建圖2至圖6所示長(zhǎng)方形框架所需要的木棒總數(shù)的詳細(xì)過程，這五個(gè)過程起著例題的作用，學(xué)生在觀察這五個(gè)圖形并仔細(xì)閱讀、理解、分析、思考求解過程的基礎(chǔ)上，仿照探究過程，得到問題（一）的答案為22，問題（二）中橫放的木棒數(shù)m（n+1），縱放的木棒數(shù)n（m+1）.

探究二是探究搭建長(zhǎng)方體框架需用的木條數(shù)問題，相對(duì)于探究一來說，這個(gè)問題由平面發(fā)展到空間，難度增加了，為降低探究難度，題目用圖7，8，9直觀的給出了固定m=3，n=2的情況下，s=1，2，3時(shí)，探究搭建長(zhǎng)方體框架需要木棒總數(shù)的過程，學(xué)生可以仿照這個(gè)探究過程，得到問題（三）中橫放與縱放木棒條數(shù)之和為[m（n+1）+n（m+1）]（s+1），豎放木棒條數(shù)為s（m+1）（n+1）.

實(shí)際應(yīng)用部分是探究二所得結(jié)果的具體化，即已知縱長(zhǎng)n=2，高s=4時(shí)，總數(shù)為170，求m，在探究到問題（三）結(jié)果的基礎(chǔ)上，不難得到方程：

[m（2+1）+2（m+1）]（4+1）+4（m+1）（3+1）=170，解得m=37.

拓展應(yīng)用給出的問題是在實(shí)際應(yīng)用基礎(chǔ)上的拓展，由長(zhǎng)方體框架問題推到正三棱柱框架問題，學(xué)生仔細(xì)觀察搭建方式圖，用類比的方式可推出：搭建一個(gè)底面邊長(zhǎng)是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒條數(shù)為：

6×3×（1+2+…+10）+5×（1+2+…+11）=1320.3 開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)的宏觀教學(xué)建議

對(duì)于“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)，重在實(shí)踐、重在綜合.重在實(shí)踐是指在活動(dòng)中，注重學(xué)生自主參與、全過程參與，重視學(xué)生積極動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口.重在綜合是指在活動(dòng)中，注重?cái)?shù)學(xué)與生活實(shí)際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)系和綜合應(yīng)用[1].引導(dǎo)學(xué)生順利地開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，教師應(yīng)從以下幾個(gè)方面去努力：

3.1 重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)

所謂基礎(chǔ)知識(shí)，通常是指學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科以及未來日常生產(chǎn)生活所必需的最根本的數(shù)學(xué)素養(yǎng).它包括數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)基本技能、數(shù)學(xué)基本思想和數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).其中，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是一種形式化、結(jié)果性的知識(shí)系統(tǒng)；基本技能是一種包含了數(shù)學(xué)推理、運(yùn)算、概括、抽象、想象、建模等在內(nèi)的能力思維系統(tǒng)；數(shù)學(xué)基本思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，包括了對(duì)應(yīng)、集合、化歸、符號(hào)化、數(shù)形結(jié)合、統(tǒng)計(jì)、假設(shè)和模型在內(nèi)的數(shù)學(xué)演繹與歸納系統(tǒng)；數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在數(shù)學(xué)基本活動(dòng)中形成和積累起來的過程性知識(shí)，是一種感性的、情境化的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng).

具備堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)生進(jìn)行一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的必要條件，當(dāng)然也是開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)的基礎(chǔ).如果數(shù)學(xué)基礎(chǔ)過于零碎龐雜或僵化呆板，反而會(huì)限制和禁錮學(xué)生創(chuàng)新.學(xué)生擁有的知識(shí)容量越大，已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)越優(yōu)化，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，產(chǎn)生新思想、新方法的概率也就越大.所以只有高度重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，才能順利的開展綜合與實(shí)踐活動(dòng).

3.2 強(qiáng)調(diào)問題解決教學(xué)

要解決綜合與實(shí)踐活動(dòng)中的問題，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的問題解決能力，教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)問題解決已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育的課程目標(biāo)，是數(shù)學(xué)教育的核心內(nèi)容.實(shí)施問題解決教學(xué)，不僅能讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，而且還能讓學(xué)生積累思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)以及綜合實(shí)踐能力的提高.因此，加強(qiáng)問題解決教學(xué)是學(xué)生順利開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)的重要手段.

關(guān)于問題解決教學(xué)的問題請(qǐng)參看筆者在貴刊2017年第2期發(fā)表的文章《認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，強(qiáng)化問題解決教學(xué)》[5]，文中首先對(duì)問題解決進(jìn)行了全面的認(rèn)識(shí)，然后提出了開展問題解決教學(xué)的三條宏觀策略，請(qǐng)讀者借鑒.

3.3 積極開展探究活動(dòng)

數(shù)學(xué)探究就是學(xué)生在教師精心設(shè)計(jì)好的問題啟發(fā)引導(dǎo)下，以自主學(xué)習(xí)或合作討論的方式為主，以解決問題為探究?jī)?nèi)容的學(xué)習(xí)活動(dòng).學(xué)生在實(shí)施探究的過程中，能逐漸形成“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考”的習(xí)慣，不斷“增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，這些都是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分[6].

在教學(xué)中，結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng)，積累探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)是至關(guān)重要的.

通過綜合與實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生圍繞教師設(shè)計(jì)好的問題，積極進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、分析、綜合、推理、判斷等思維活動(dòng)，“動(dòng)用”有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)逐漸完成綜合與實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生通過這樣的活動(dòng)，不斷優(yōu)化已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).從而實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程基本理念.

參考文獻(xiàn)

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