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【摘 要】 復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，它是對已學(xué)完的某一部分內(nèi)容進(jìn)行的一次系統(tǒng)、全面的回顧與總結(jié)，以達(dá)到構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)體系、完善師生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提高綜合能力的目的.通過對一節(jié)初中數(shù)學(xué)教師關(guān)于“一元二次方程解法復(fù)習(xí)課”的“三看三思”，探討了一元二次方程解法復(fù)習(xí)課中的教學(xué)定勢，指出教師在教學(xué)中應(yīng)該注重對知識、教學(xué)習(xí)慣的反思.

【關(guān)鍵詞】 教學(xué)定勢；配方法；教學(xué)反思

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，在數(shù)學(xué)中具有豐富的教育教學(xué)功能.一元二次方程方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，解一元二次方程更是這一章的核心內(nèi)容.在一元二次方程解法中體現(xiàn)著方程、轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生形成創(chuàng)造性思維的重要載體[1].但是，在實際教學(xué)中，由于教師過分依賴教學(xué)參考書，習(xí)慣于照搬教材內(nèi)容，缺乏課后反思習(xí)慣等，導(dǎo)致自身的教學(xué)處于“無意識”狀態(tài)，教師常常變成了“教參”發(fā)言人，教案簡單重復(fù)者.調(diào)查顯示[2]，在一元二次方程解法的復(fù)習(xí)中，初三數(shù)學(xué)教師雖然重視公式、解法的運(yùn)用，但往往只停留在對教材表面的理解和是否成為中考的考點上，教師容易陷入完全依賴教材、復(fù)習(xí)資料，照本宣科的講解與復(fù)習(xí)，使得學(xué)生機(jī)械重復(fù)的“學(xué)”，整個課堂缺乏生氣與活力，缺乏智慧與思維的挑戰(zhàn)，缺乏新的啟示與發(fā)展.本文通過對一堂初中數(shù)學(xué)教師關(guān)于“一元二次方程解法復(fù)習(xí)課”的“三看三思”，探討一元二次方程解法復(fù)習(xí)教學(xué)中存在的思維定勢，以及教師應(yīng)在教學(xué)中不斷反思、不斷提升自己的專業(yè)素養(yǎng).1 一看“直接開平方法”，反思“教師思維深度”

直接開平方法是一元二次方程解法的第一課，是關(guān)于最簡單、最特殊一元二次方程的一種解法，其優(yōu)點在于學(xué)生是建立在二次根式學(xué)習(xí)之后，能通俗易懂地接受與掌握這種方法.其表現(xiàn)形式為：如果方程能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±p或mx+n=±p.其中，當(dāng)遇到特殊的一元二次方程（例如x2+6x+9=2）時，教師通常講解采用“配湊”的方式，得到第二種形式（mx+n）2=p，至此問題得到解決.由于直接開平方法簡潔的內(nèi)容、固定的形式，導(dǎo)致無論是新課的教學(xué)，還是初三的復(fù)習(xí)課，教師僅機(jī)械地強(qiáng)調(diào)對形式x2=p的記憶和套用，而缺乏對直接開平方法深度的思考與探索，表現(xiàn)出教學(xué)中教師思維的固化和淺思考.

反思直接開平方法，是否只能解決這種最簡單、最特殊一元二次方程呢？特別地，對于一般一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能否采用直接采用開平方法呢？注意到形式x2=p的方程，其特點是只有二次項和常數(shù)項，缺乏一次項.那么對于一般形式的一元二次方程，要想繼續(xù)采用直接開平方法解決，我們就需要“消去”一般式中的一次項bx，進(jìn)一步說是為了消去一次項系數(shù)，結(jié)合消元的思想，我們采用換元法，做出如下推導(dǎo)：

設(shè)x=y+t，則一般式化為ay2+（2at+b）y+at2+bt+c=0.

令2at+b=0，則t=-b2a，上式化為ay2+-b2+4ac4a=0，

那么ay2=b2-4ac4a，最終x=y+t=-b±b2-4ac2a.

至此問題得到解決，一般式一元二次方程在直接開平方法中得到處理.再審視一下解題過程，采用消元思想消除一元二次方程中的一次項，轉(zhuǎn)化為直接開平方法的形式，聯(lián)系一元三次方程（ax3+bx2+cx+d=0）的解法，我們依然采用了換元法消去二次項bx2，再逐步轉(zhuǎn)化為二次方程，最終問題得到解決.沿著方程次數(shù)增加的思路，一元四次方程轉(zhuǎn)化為一元三次方程，最后依然歸結(jié)為一元二次方程的解決，讓直接開平方法煥發(fā)出無限的活力.

“能否采用不同的方式推導(dǎo)方程x2=p的結(jié)果呢”，聯(lián)想解高次方程的一般思路——降冪，于是我們產(chǎn)生了分解因式的念頭，利用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b），將原方程化為（x+p）（x-p）=0，得到x=±p.“能否在其他題目利用這種方法呢”，當(dāng)三次方程x3=p時，類似地采用立方差公式a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），歸納方程xn=p的形式，采用an-bn=（a-b）（an-1+…+bn-1），最終該類問題得到解決.

直接開平方法作為一元二次方程解法中的第一種方法，由于在教材中內(nèi)容“單薄”，往往導(dǎo)致教師缺乏對其進(jìn)行深入的研究和思考，而進(jìn)行大量機(jī)械地重復(fù)訓(xùn)練或不惜增大訓(xùn)練難度，讓課堂常常變得寡淡無味.在實際教學(xué)中，教師這種固化、淺思考的不良教學(xué)習(xí)慣基本是經(jīng)過多種因素影響，且長時間淬煉而形成的，是阻礙教師的自我成長和新課程改革發(fā)展的“攔路虎”[3].因此，教師需要把一些“習(xí)以為?！钡慕虒W(xué)過程作為思考對象，重新認(rèn)識教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法是否可以再發(fā)展、再優(yōu)化，形成教學(xué)反思視角深度化，正如加涅所強(qiáng)調(diào)的“成長為專家型教師需要培養(yǎng)教師對問題深入表征的能力和較強(qiáng)的自我監(jiān)控、自我反思的能力”.2 二看“配方法”，反思“教師思維廣度”

繼直接開平方法之后，教材介紹了解決“x2+6x-16=0”類型的一元二次方程解法——配方法，其本質(zhì)是通過配成完全平方的形式，把一元二次方程進(jìn)行降次，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.當(dāng)遇到一般式一元二次方程ax2+bx+c=0時，其中二次項系數(shù)不是1時，教師通?？偨Y(jié)出如下解題模板：（1）方程兩邊同除以二次項系數(shù)，化二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊，化簡為x2+bax=-ca；（2）方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，即x2+bax+b2a2=-ca+b2a2；（3）把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)，即x+b2a2=b2-4ac4a2；（4）進(jìn)一步通過直接開平方法求出方程的解.據(jù)調(diào)查[4]：很多學(xué)生表示，方程中字母太多、運(yùn)算量大，公式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，主要靠死記硬背，不知公式從何而來.特別的是第二個步驟中，多數(shù)學(xué)生難以理解“方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方”，學(xué)生主觀上抵觸配方法，教學(xué)效果也往往不盡人意，采用配方法解方程正確率僅約為4.17%.

由于教師對配方法解題模板的總結(jié)，學(xué)生在采用配方法解方程時，似乎僅僅注意到對方程的變形、轉(zhuǎn)化，而忽略了配方法中配湊的過程與目的，陷入了盲目、繁瑣的計算中.反思配方法的出發(fā)點與目的，為了達(dá)到對一元二次方程ax2+bx+c=0的配方，我們需要將其配湊成完全平方形式，即a2±2ab+b2=（a±b）2.那么，在實際教學(xué)中，首先就可以向?qū)W生展示用配方法的目的，即為了將ax2+bx+c=0配成完全平方，只需要將方程左邊配湊成a2±2ab+b2形式即可.依據(jù)這個想法，我們就不一定要把二次項系數(shù)化成1，并且將產(chǎn)生多種配方法，例如：

方法一 方程左右兩邊乘以a，化為a2x2+abx+ac=0，移項，再配方，得到a2x2+abx+b22=b22-ac，則有ax+b22=b2-4ac4.此配方法避免了原配方法關(guān)于b2-4ac4a2開平方對4a2所產(chǎn)生的符號問題.

方法二 方程左右兩邊乘以4a，化為4a2x2+4abx+4ac=0，移項，再配方，得到4a2x2+4abx+b2=b2-4ac，則有2ax+b2=b2-4ac.此配方法起源于古印度（約公元前1025年），配方過程中減少了分式的產(chǎn)生，計算簡便快捷，最重要的是在配方過程中自然產(chǎn)生了根的判別式b2-4ac，為教材之后的求根公式法鋪墊，避免了教學(xué)中出現(xiàn)“先有b2-4ac4a2，再提出判別式b2-4ac”.

方法三 追求一般性，容易配方得到4n2a2x2+4n2abx+n2b2=n2b2-4n2ac，即2nax+nb2=n2b2-4n2ac.

方法四 采用待定系數(shù)法進(jìn)行配方，設(shè)ax2+bx+c=a（x+m）2+n，即ax2+bx+c=ax2+2amx+am2+n，易求得m=b2a，n=4ac-b24a，那么配方結(jié)果即ax+b2a2+4ac-b24a=0.反復(fù)的看已有配方結(jié)果，可以歸納出它們均呈現(xiàn)“a（x+m）2+n”的形式，由此采用待定系數(shù)法進(jìn)行配方，配方出的“ax+b2a2+4ac-b24a”結(jié)果，將有助于為初三課程“二次函數(shù)解析式”的學(xué)習(xí)打好鋪墊.

完形心理學(xué)認(rèn)為，人認(rèn)識事物一般總是從整體開始的，強(qiáng)調(diào)以整體的結(jié)構(gòu)來逐步深入認(rèn)識事物[5].在上面例子中，我們先從整體上認(rèn)識配方法的理論基礎(chǔ)（a2±2ab+b2=（a±b）2），這種態(tài)度便為各類形式的配方指明了目標(biāo)和方向，此時，人腦中可以產(chǎn)生出各種配方法的具體事例，并又在大量事例中逐漸歸納出一般性事例.整個過程學(xué)生思維將完全被激活，從知識經(jīng)驗的初步認(rèn)識，到實際驗證與歸納總結(jié)，數(shù)學(xué)思維自然地流淌，學(xué)生得到真正的發(fā)展與成長.相比較于常規(guī)教學(xué)中對配方法“解題模板”的機(jī)械記憶與應(yīng)用，學(xué)生被牽著鼻子走，反應(yīng)出教師思維廣度不夠，教學(xué)思考不足.3 三看“公式法與韋達(dá)定理”，反思“教師思維靈活度”

通過配方法推導(dǎo)出一元二次方程求根公式（x1，2=-b±b2-4ac2a），通過求根公式歸納出韋達(dá)定理（x1+x2=-ba，x1·x2=ca），這是初中一元二次方程教學(xué)的固定環(huán)節(jié)，也是一元二次方程解法的最后一環(huán).沒有教師再考慮“利用韋達(dá)定理能否推導(dǎo)出求根公式”，即使在粗略的思考下，通過條件x1+x2=-ba，x1·x2=ca，要解出x1，x2，采用“習(xí)以為?！钡膸胂ǎ罱K只能回到原點ax2+bx+c=0（a≠0），而無法求出兩根x1，x2，至此問題解決也即宣告結(jié)束.

反思我們“習(xí)以為?！钡乃悸?，要求出兩根x1，x2必須要兩個方程，我們便直接利用條件x1+x2=-ba，x1·x2=ca，最終回到了原點ax2+bx+c=0.重新制定解題思路，“能否改變已知數(shù)據(jù)，得到新已知數(shù)據(jù)和未知量彼此更接近呢”，于是嘗試改變已有條件方程，構(gòu)造新的關(guān)于x1，x2的方程.通過恒等變形，我們構(gòu)建出如下思路：

因為（x1-x2）2=x21-2x1·x2+x22=（x1+x2）2-4x1·x2，且x1+x2=-ba，x1·x2=ca，所以（x1-x2）2=b2-4aca2，結(jié)合x1+x2=-ba，求得x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a.

整齊劃一的教材編排、統(tǒng)一步調(diào)的教學(xué)計劃、習(xí)以為常的教學(xué)方法往往使得我們忽視對課堂的深刻反思，教師普遍存在“教學(xué)定勢”.4 結(jié)語

通過對“一元二次方程解法”課堂的“三看三思”，我們看到數(shù)學(xué)知識不是孤立的單點或離散的片段，解題方法也不僅是表面的一招一式.作為教學(xué)中成熟已久的“一元二次方程解法復(fù)習(xí)課”，由于教師缺乏對知識、方法的反思，容易形成一種“習(xí)慣性”的教學(xué)定勢.因此，教師業(yè)務(wù)水平的提高，需要堅持在每一課中不斷反思與總結(jié)，從而讓自身知識、教學(xué)觀念、教學(xué)技能不斷成長起來.

參考文獻(xiàn)

[1]劉玉波.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)及其教育價值[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（3）：30-31.

[2]毛賢偉.一元二次方程求根公式教學(xué)難點及推導(dǎo)策略淺談[J].考試周刊，2015（80）：50-51.

[3]谷木榮.教師不良教學(xué)習(xí)慣的反思與審視[J].教育科學(xué)論壇，2014（7）：17-19.

[4]吳穎.“用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式”教學(xué)設(shè)計[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中），2016（6）：16-19.

[5]李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

作者簡介 楊超（1993—），男，四川達(dá)州人，教育碩士，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

王新民（1962—），男，甘肅敦煌人，教授，研究生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)文化研究.