【摘 要】 針對國內(nèi)對教科書中位置信息研究較少的現(xiàn)狀，本文選取5套人教版初中幾何教科書中的“相交線和平行線”部分為研究對象，對其中知識節(jié)的位置信息利用VSM模型進(jìn)行分析，對教科書的文本相似度進(jìn)行研究.此研究得出教材的變化規(guī)律，分析其中的原因，并對類似課程的教科書分析提供新的方法和借鑒.

【關(guān)鍵詞】 平面幾何教科書；位置信息；相交線和平行線；知識節(jié)；VSM模型

1 研究背景

章建躍在2013年6月“未來十年中國數(shù)學(xué)教育展望”學(xué)術(shù)研討會(huì)上所做的題為《中學(xué)數(shù)學(xué)課程教科書改革的鐘擺——以平面幾何為例》的報(bào)告中指出，“幾何教學(xué)的效果，與內(nèi)容安排是否得當(dāng)有很大關(guān)系”.內(nèi)容安排的順序和篇幅等都可以通過知識點(diǎn)或知識節(jié)的位置信息來體現(xiàn).不同年代的教科書對同一部分知識內(nèi)容的位置信息的差異，也能反映出這個(gè)年代的人們對這部分知識的理解方式.

目前對于國內(nèi)初中平面幾何教科書內(nèi)容的比較研究，主要分為以下幾種類型：對初中數(shù)學(xué)教科書的編寫歷史進(jìn)行梳理[1][2]，對平面幾何內(nèi)容的處理方式的整體研究[3]，列舉初中數(shù)學(xué)教科書的內(nèi)容和課時(shí)、闡述內(nèi)容的特點(diǎn)[4]，對內(nèi)容的知識領(lǐng)域和知識單元數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析變化的原因[5]，對平面幾何課程難度的比較研究[6]等.但對于某一個(gè)具體的知識單元的位置信息以及其所反映出的教科書的特點(diǎn)的研究較少.為此，我們選取“相交線和平行線”這個(gè)知識單元，對人民教育出版社出版的5版教科書進(jìn)行比較研究.2 研究對象

2.1 教科書的選取

從建國到現(xiàn)在，國內(nèi)一共出現(xiàn)了百十余種中小學(xué)教科書，其中人民教育出版社前后共出版了11版初中幾何教科書.由于教科書的多樣性和復(fù)雜性，我們按照時(shí)間由遠(yuǎn)及近的順序，選擇以下5套較具代表性的教科書作為分析的樣本，進(jìn)行比較研究.它們分別是1953年、1963年、1978年、1993年、2007年出版的教科書.

1953版的平面幾何教科書《初級中學(xué)課本平面幾何》和《高級中學(xué)課本平面幾何》處于教科書的初創(chuàng)時(shí)期，所選的材料和體系大致依據(jù)蘇聯(lián)十年制中學(xué)的幾何教本[7].

1963版的平面幾何教科書《初級中學(xué)課本平面幾何（暫用本）》（第一、二冊）被公認(rèn)為建國后最好的教科書之一，編寫的背景是“大躍進(jìn)”時(shí)期的“教育革命”，是經(jīng)過在全國范圍內(nèi)廣泛調(diào)研的產(chǎn)物.其中，平面幾何教科書是為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和參加社會(huì)主義建設(shè)進(jìn)行生產(chǎn)勞動(dòng)所編寫的[8]，不再直接照搬國外經(jīng)驗(yàn)，而是具有鮮明的本土特色.

1978版的初中數(shù)學(xué)教科書《全日制十年制學(xué)校初中課本數(shù)學(xué)》（第一至六冊）根據(jù)《全日制十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》編制而成.這是一套混編教科書，在第三冊至第六冊中講平面幾何，采用歐幾里得體系，但適當(dāng)作出擴(kuò)大公理、刪繁就簡、逐步過渡等幾大改進(jìn)[9][10].

1993版的初中幾何教科書《九年義務(wù)教育三年制初級中學(xué)教科書幾何》（第一至三冊）的編制背景是我國開始實(shí)施義務(wù)教育.義務(wù)教育的初中階段分為三年制、四年制兩種，我們選取三年制的教科書[11]進(jìn)行比較研究.

最新的2013版的初中教科書已經(jīng)出版了5冊（共6冊），但由于位置信息需要對每一冊教科書的頁碼進(jìn)行精確的測量，所以采用2007版的初中數(shù)學(xué)教科書《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》（七年級上冊至九年級下冊）.它與2013版在位置信息上較為相似，都是混編教科書，每一冊都涉及到平面幾何[12].

2.2 研究內(nèi)容的選取

平面幾何以其完整的公理體系和嚴(yán)密的邏輯推理，長期以來一直被作為對中學(xué)生進(jìn)行邏輯推理能力訓(xùn)練的不二選擇.在2013版最新教科書中，“相交線和平行線”這一部分內(nèi)容安排在“幾何圖形初步”后，是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以來第一次需要接觸嚴(yán)密邏輯推理的模塊.學(xué)生在這一部分的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)將直接或間接地影響著未來對幾何的學(xué)習(xí).因此，我們選擇對60多年來我國初中平面幾何教科書中的“相交線和平行線”進(jìn)行比較，作為梳理平面幾何教科書內(nèi)容變革的一個(gè)突破口.

為實(shí)現(xiàn)比較的公平性與客觀性，我們先對研究內(nèi)容作一個(gè)界定.在梳理教科書時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，前兩版教科書沒有獨(dú)立地設(shè)“相交線”一節(jié)，而是將諸如“垂線”、“對頂角”等一些概念和定理融合到基本概念中.從1978版開始的三版教科書將“相交線”看成兩直線的位置關(guān)系，與“平行線”作為兩個(gè)獨(dú)立的二級標(biāo)題進(jìn)行討論.但由于5版教科書的“平行線”都是用“不相交”來定義的，而且平行線的判定和性質(zhì)中用到的“同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角”的概念在后兩版教科書中放在“相交線”一節(jié)，所以我們將前兩版教科書中與“相交線、對頂角、垂線、垂直平分線”有關(guān)的內(nèi)容也納入比較的范疇.此外，由于1978版開始的三版教科書將邏輯推理的基礎(chǔ)理論放在這一部分進(jìn)行介紹，并以“相交線與平行線”中的一些命題作為邏輯推理的例子.所以我們將前兩版教科書中與邏輯推理有關(guān)的內(nèi)容也納入比較的范疇.3 研究設(shè)計(jì)和研究方法

3.1 選定知識節(jié)

我們沿用文[13]中對“知識點(diǎn)”概念的界定.所謂“知識點(diǎn)”是指數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的概念、定理、公式、法則、性質(zhì)以及數(shù)學(xué)方法等.而本文中考慮的“知識節(jié)”是指具有密切關(guān)聯(lián)性的知識點(diǎn)的總體，在教科書文本中表現(xiàn)為三級標(biāo)題.依據(jù)2013最新版教科書中標(biāo)題的設(shè)計(jì)，并對該教科書中未涉及但在其他教科書中涉及的部分加以補(bǔ)充，我們將考察以下11個(gè)知識節(jié)的位置信息，并用1，2，…，11分別對它們進(jìn)行編碼：

1.相交線；2.垂線；3.兩條直線被第三條直線所截得的角；4.平行線的概念；5.平行線的作法和平行公理；6.平行線的判定；7.平行線的性質(zhì)；8.空間里的平行關(guān)系；9.邏輯推理；10.平移；11.線段的垂直平分線的概念和作法.

3.2 對知識節(jié)的位置信息進(jìn)行編碼

由于各版教科書的編排方式不同（混編、分編），內(nèi)容的篇幅設(shè)置也不同（冊數(shù)、頁碼），為了提高位置信息的可比性，我們需要將各版教科書的頁碼總數(shù)分別單位化.將各版教科書中所有平面幾何所占的頁碼總數(shù)看成一根長度為1的位置標(biāo)尺，以它來衡量11個(gè)知識節(jié)在5版教科書中分別對應(yīng)的相對位置.例如，某知識節(jié)的相對起始位置的公式表示為：

某知識節(jié)的相對起始位置=（某知識節(jié)的起始位置頁碼-1）+起始行數(shù)該頁總行數(shù)平面幾何部分所占的頁碼總數(shù)

如果某知識節(jié)位于某版教科書中的第2冊或第3冊中，我們就記錄它的累計(jì)頁碼.相對終止位置的公式也可以類似地表示.

于是，我們也可以用位置信息來表示某部分所占的篇幅比例：

某部分所占的篇幅比例=該部分的相對終止位置-該部分的相對起始位置

如果某個(gè)知識節(jié)在教科書中被劃分為若干個(gè)部分，那么它所占的篇幅比例就等于所有這些部分所占的篇幅比例之和.

3.3 位置信息的處理模型

VSM模型（Vector Space Model，空間向量模型）是文本分類領(lǐng)域的一種重要方法，這種方法在互聯(lián)網(wǎng)搜索、文獻(xiàn)檢索、機(jī)器翻譯等方面已有廣泛的應(yīng)用，我們試圖將其應(yīng)用在教科書的比較中，并由此得出較為客觀的結(jié)論.

1969年，Gerard Salton首次提出了VSM模型[14]，其基本思想是：首先對參與分類的文本抽取所有能夠體現(xiàn)其內(nèi)容的主要特征項(xiàng)；其次根據(jù)特征項(xiàng)出現(xiàn)的頻率對該特征項(xiàng)賦予一定的權(quán)重，那么此時(shí)由特征項(xiàng)權(quán)重所構(gòu)成的空間向量就能在一定程度上反映原文本的內(nèi)容；最后把對文本的相似程度轉(zhuǎn)化為向量空間中向量的相似度計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)對所有文本進(jìn)行分類的目的.基于不同的研究領(lǐng)域，后人又不斷對特征項(xiàng)的選取、特征項(xiàng)權(quán)重的確定進(jìn)行了補(bǔ)充和修正[15].我們利用它來刻畫5版教科書的互相似程度.

1.選取特征項(xiàng)（Term）：由于教科書比較的特殊性，我們不再選取字、詞作為特征項(xiàng)，而是選取上文提到的具有一定內(nèi)部關(guān)聯(lián)性的11個(gè)知識節(jié)作為特征項(xiàng).第k個(gè)特征項(xiàng)表示第k個(gè)知識節(jié).

2.特征項(xiàng)權(quán)重（Term Weight）的確定分為兩個(gè)方面：（1）TF權(quán)重（Term Frequency）：表示一個(gè)特征項(xiàng)在特定的文本中出現(xiàn)的頻率越高，說明它代表該文本內(nèi)容的能力越強(qiáng)；（2）DF權(quán)重（Document Frequency）：當(dāng)要區(qū)分的文檔屬于同一類別時(shí)，含有某特征項(xiàng)的文本在所有文本中的頻率越高，說明該特征項(xiàng)越能提供更多關(guān)于這類文本的信息；出現(xiàn)頻率較低的特征項(xiàng)也賦予一定權(quán)重，區(qū)分于未出現(xiàn)該特征項(xiàng)的教科書[16].

根據(jù)本文特征項(xiàng)的選取，TF權(quán)重表示第k個(gè)特征項(xiàng)在第i版教科書中出現(xiàn)的頻率.我們用第k個(gè)知識節(jié)所占的篇幅比例表示這個(gè)頻率：即TF（ik）=第k個(gè)特征項(xiàng)在第i版教科書中所占的篇幅比例.

DF權(quán)重描述含有第k個(gè)特征項(xiàng)的教科書在全部教科書中的頻率.計(jì)算公式為[17]：

DF（ik）=log（nkN+α）

其中α為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，取為2.N表示全部教科書的總數(shù)，即5.nk表示出現(xiàn)第k個(gè)特征項(xiàng)的教科書數(shù).

最終，第k個(gè)特征項(xiàng)對應(yīng)的權(quán)重由TF權(quán)重和DF權(quán)重兩個(gè)因素來決定：

w（ik）=TF（ik）·DF（ik）（1≤k≤11，1≤i≤5）

對于給定的知識節(jié)，如此定義的特征項(xiàng)權(quán)重能同時(shí)體現(xiàn)出某版教科書以及全部教科書對它的重視程度.

（3）特征項(xiàng)權(quán)重的單位化處理：

各教科書對應(yīng)的特征項(xiàng)權(quán)重向量的長度不同，影響教科書篇幅相似度的可比性.為此，我們對其進(jìn)行單位化處理：

w（ik）=TF（ik）·DF（ik）∑11k=1（TF（ik）·DF（ik））2（1≤k≤11，1≤i≤5）

最后所選取的特征項(xiàng)權(quán)重向量即為

w（i）=wi1，wi2，…，wi11，

其中i=1，2，3，4，5，按年代順序依次代表1953、1963、1978、1993、2007版教科書.

（4）知識節(jié)篇幅相似度的刻畫

主流的方法是采用計(jì)算兩個(gè)文本特征項(xiàng)權(quán)重向量的余弦系數(shù)作為文本相似度值.余弦系數(shù)越大，這兩個(gè)文本對應(yīng)的特征項(xiàng)權(quán)重向量夾角越小，這兩個(gè)文本的知識節(jié)就越相似.第i版教科書與第j版教科書的知識節(jié)的篇幅相似度的計(jì)算公式為：

Simw（i），w（j）=∑11k=1w（ik）·w（jk）|w（i）|·|w（j）|

其中，由于我們已經(jīng)作了單位化處理，所以分母中的兩個(gè)向量的模長均為1，簡化了計(jì)算.4 研究結(jié)果與分析

根據(jù)VSM模型，利用余弦系數(shù)法計(jì)算出5版教科書之間的文本相似度矩陣如表1所示.不難看出，前4版教科書兩兩之間有很高的互相似度，都高于0.9.其中，1953版與1993版教科書相似度高達(dá)0.9742，1953版與1963版、1963版與1978版的相似度次之，而1953版與1978版的相似度較之略低，但也高達(dá)0.9510.與此產(chǎn)生鮮明對比的是，2007版與這4版的相似度均不高于0.81.它與1978版相似度最低，只有0.6784.

教科書的文本相似度與知識節(jié)的篇幅比例和出現(xiàn)該知識節(jié)的教科書數(shù)有關(guān).前4版教科書中都沒有出現(xiàn)第10個(gè)知識節(jié)，1993版教科書雖然出現(xiàn)了第8個(gè)知識節(jié)，但所占的篇幅比例很小，其他9個(gè)知識節(jié)的篇幅比例差異不大，因而兩兩相似度很高.與前4版教科書相比，2007版教科書有兩個(gè)重要的區(qū)別：1.第9個(gè)知識節(jié)（邏輯推理）所占的篇幅比例在5版教科書中最小.2.第10個(gè)知識節(jié)（平移）首次出現(xiàn)，但在2007版教科書中所占的的篇幅比例很大.5 深層的結(jié)論

在教科書編寫的不斷改革中，5版教科書保持了一定的一致性，同時(shí)也隨著時(shí)間的發(fā)展產(chǎn)生了一定的差異.5版教科書中11個(gè)知識節(jié)的權(quán)重變化見圖1.

5.1 對垂線、平行線的判定、平行線的性質(zhì)重視程度一致最高

除了第9個(gè)知識節(jié)（邏輯推理）發(fā)生了較大的變化以外，5版教科書對垂線、平行線的判定、平行線的性質(zhì)三部分的權(quán)重一致高于其他7個(gè)知識節(jié).此外，這3個(gè)知識節(jié)對應(yīng)的習(xí)題數(shù)量占了習(xí)題總量的很大比例，從一定程度上表明教科書對這3個(gè)知識節(jié)的重視程度.

圖1 5版教科書中11個(gè)知識節(jié)的權(quán)重變化

5.2 對邏輯推理的要求發(fā)生變化

在1953版和1963版教科書中，第9個(gè)知識節(jié)（邏輯推理）的位置放在平行線理論之前，逆序數(shù)分別為5和6；特征項(xiàng)權(quán)重分別為0.6115和0.6457，都是該版教科書“相交線和平行線”部分中權(quán)重最大的知識節(jié).1978版教科書將其位置放在平行線理論之后，以平行線理論中的一些知識作為邏輯推理的例子；在該版本中特征項(xiàng)權(quán)重最大，高達(dá)0.7861.1993版教科書中，它的特征項(xiàng)權(quán)重回落至0.5609.2007版教科書中它的特征項(xiàng)權(quán)重只有0.1535.

以上數(shù)據(jù)表明，5版教科書在“相交線和平行線”部分對邏輯推理的要求整體呈先上升后下降趨勢，在2007版下降到谷底.這一點(diǎn)從“相交線和平行線”部分幾何命題的數(shù)量及證明的數(shù)量上也能看出.在1953版、1963版教科書中，分別有75.0%和76.9%的幾何命題給出了證明，而1978、1993、2007版教科書中，這個(gè)比例呈下降趨勢，分別為61.5%、45.5%、27.3%.在2007版教科書的11個(gè)幾何命題中，只有3個(gè)命題給出了證明.

但以上數(shù)據(jù)并不表示整版教科書對邏輯推理的要求呈相同趨勢，而是表示在學(xué)習(xí)平面幾何初期，教科書逐漸不要求學(xué)生花費(fèi)過多精力在邏輯推理上.6 啟示

6.1 2007版教科書內(nèi)容的結(jié)構(gòu)更考慮知識節(jié)的內(nèi)部聯(lián)系

建國后初期的幾版教科書，未把“相交線和平行線”看成兩直線的一種位置關(guān)系，而是穿插在角概念下或三角形理論中；1978版教科書按照圖形的復(fù)雜程度編排，先是一條直線，再是兩條直線的關(guān)系，然后是三角形、四邊形、相似形；2007版教科書將“線段的垂直平分線的概念和作法”從“相交線和平行線”部分抽取出來放在“軸對稱”中，也是在變換幾何的指導(dǎo)思想下考慮到了垂直平分線與對稱軸的關(guān)系.可以看出，教科書內(nèi)容更加重視知識點(diǎn)的內(nèi)部聯(lián)系.

6.2 2007版教科書內(nèi)容的順序更遵循學(xué)生的認(rèn)知能力

從教科書內(nèi)容的順序上看，前兩版教科書將邏輯推理作為平面幾何的基礎(chǔ)理論，但1978、1993、2007版認(rèn)識到學(xué)生對邏輯推理的把握需要逐步滲透，需要幾何作載體，故將邏輯推理的理論放在平行線理論之后.

前三版教科書將垂直平分線的概念和作法放在平行線理論之前，但由于此時(shí)學(xué)生的認(rèn)知能力不夠，不能理解作法的原因，也不能理解它的性質(zhì)，1993、2007版教科書便將其置后.

這些都體現(xiàn)出“教學(xué)要求應(yīng)大體與學(xué)生的認(rèn)知能力同步”[18]“教科書的編排中，對于聯(lián)系緊密的知識需要集中設(shè)置，但也應(yīng)當(dāng)考慮學(xué)生的接受能力等因素進(jìn)行安排”[19]的原則.

6.3 2007版教科書內(nèi)容更體現(xiàn)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系

教科書內(nèi)容的篇幅上，2007版教科書相對于以往教科書之間表現(xiàn)出較大的差異.以往四冊教科書中均沒有涉及到“平移”，但邏輯推理的篇幅所對應(yīng)的權(quán)重均為該版教科書最高.課程內(nèi)容體現(xiàn)在課程標(biāo)準(zhǔn)中[20]，2007版教科書編寫的依據(jù)是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》，提倡“注重所學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，注重使學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等探索過程，注重對證明本身的理解，而不追求證明的數(shù)量和技巧”“欣賞并體驗(yàn)變換在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用”[21].事實(shí)上，“平移”的篇幅所對應(yīng)的權(quán)重僅次于垂線、平行線的判定和性質(zhì)，邏輯推理的篇幅則下降到倒數(shù)第三.這些現(xiàn)象都表明教科書內(nèi)容更加體現(xiàn)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.

通過對5版教科書的位置信息進(jìn)行縱向比較，我們更好地認(rèn)識到教科書編寫的發(fā)展規(guī)律，體會(huì)其中變化的原因和背景，更好地將教科書的新變化運(yùn)用到具體的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中去，也為未來教科書的編寫提供一些借鑒.

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作者簡介 田蕓（1980—），女，山東臨沂人，清華附中奧森分校，首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，博士研究生，主要研究方向：中小學(xué)數(shù)學(xué)教育.