【摘 要】 為了發(fā)揮數(shù)學知識的教學價值，實現(xiàn)數(shù)學教學目標，首當其沖的要求就是教師必須認識與研究所施教的數(shù)學知識的特點，這就是教材分析。首先，通過教材分析找到知識中的有利于學生發(fā)生認識的心理傾向性特點；其次，依據(jù)這些特點，通過學情分析，推測學生學習這個具體知識點時的心理活動過程；最后，將教材分析與學情分析的成果整合起來，預設(shè)具體的教學流程，這就是教學法分析.

【關(guān)鍵詞】 教材分析；數(shù)學教學；教學設(shè)計

所謂“教材分析”望文生義就是對教學材料（即數(shù)學知識）的分析，指教師對在一段時間內(nèi)（比如一課時、一單元時段、或一學期時段）將要傳授的教學內(nèi)容（數(shù)學知識）分解開來，認識它的每個部分或每個層次的要素及其關(guān)聯(lián)過程的實質(zhì)，在此基礎(chǔ)上通過綜合，獲得對寫進教科書中的數(shù)學知識的整體認識的思辨活動.由此，我們發(fā)現(xiàn)，教材分析的重要目標具有兩個互相關(guān)聯(lián)的方面：其一，確定具體單個知識點的特性及其內(nèi)含，發(fā)生這一知識時需要學習者憑藉的獨特認知方式；其二，確定知識點之間的互相聯(lián)結(jié)組成的知識結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)方式及其這些關(guān)聯(lián)方式需要的認識途徑.由此為數(shù)學教學設(shè)計打下基礎(chǔ).1 數(shù)學知識中內(nèi)含著有利于學習者發(fā)生知識的傾向性

一般來說，有效教學設(shè)計的產(chǎn)生，需要考慮互相關(guān)聯(lián)的三個方面，其一，教材分析——發(fā)現(xiàn)知識的特點；其二，學情分析——發(fā)現(xiàn)學習者發(fā)生具體知識的心理特點及其差異性；其三，依據(jù)教材（知識）的特點（經(jīng)由教材分析而得）與學生發(fā)生知識的心理特點——體現(xiàn)于學習者的認知方式（經(jīng)由學情分析所得）通過綜合設(shè)計手段將它們關(guān)聯(lián)起來（本文稱之為“教學法分析”）.教學設(shè)計的組成環(huán)節(jié)如圖1所示[1].其中“教學法分析”是建立在前兩項分析基礎(chǔ)上的；在教材分析與學情分析的關(guān)系中，學情分析需要探究學習者發(fā)生知識時的心理環(huán)節(jié)，它基于教師對具體數(shù)學知識特點的準確把握，由此知，教材分析又是學情分析的基礎(chǔ)，因此，教材分析在有效數(shù)學教學設(shè)計中起著最為基礎(chǔ)性的作用.

圖1 數(shù)學教學設(shè)計框架圖

我們知道，寫進義務教育課程中的數(shù)學知識都是在數(shù)學發(fā)展史上曾經(jīng)構(gòu)成過對人類智力的挑戰(zhàn)，但是已經(jīng)被人類的聰明才智徹底征服并解決了的（它已經(jīng)不是數(shù)學家目前正在研究的問題，而是已成結(jié)論性的知識），因此，這種數(shù)學知識中就不僅內(nèi)含了人類經(jīng)由自己的認識而得到了的確定的成果體系，并且也內(nèi)含著知識原創(chuàng)者認識知識時思維展開的鮮活的認知方式.但是，這兩者都需要通過教科書的編制以及經(jīng)由教師對教科書的解讀，轉(zhuǎn)化成教師在課堂上影響學習者的資源，經(jīng)過教學設(shè)計的處理，以利于發(fā)揮這種教學資源的教育價值.因此，作為這種數(shù)學教學內(nèi)容就具有兩方面相互關(guān)聯(lián)的特征：

其一，對于寫入課程中的單個具體的數(shù)學知識點具有這些特點：（1）組成這個知識點的核心思想應該明確而具體（但是，實際上受到諸多方面的限制，教科書或教師教學用書都難于達到這一點——引者注，下同）；（2）知識原創(chuàng)者對這一知識點的核心思想已經(jīng)形成了規(guī)范性表達（數(shù)學教材通過字斟句酌地描述與刻畫能夠做到這一點）；（3）數(shù)學知識的核心思想通過其規(guī)范性表達形成了啟發(fā)性成分，容易被教師所體會與理解（啟發(fā)性成分也是教科書難以明確地表達出來的，需要教師結(jié)合學科知識與教學經(jīng)驗的支持，加深對教科書中的知識背后的關(guān)于數(shù)學知識的認知——近乎于元認知）[2]；單個數(shù)學知識點的這種特點隱含著知識原創(chuàng)者對于具體知識點的特定認知方式，在數(shù)學教學中具有非常重要的價值.

其二，每一個具體的數(shù)學知識點又不可能獨立存在，它既是前在的數(shù)學知識的必然產(chǎn)物，即是以學習者（事實上，存儲在某種媒介中的作為外化的客觀數(shù)學知識也可以依此類推）前在的數(shù)學知識為基礎(chǔ)而發(fā)生的，又是產(chǎn)生后面新數(shù)學知識的基礎(chǔ)，或者說每一個數(shù)學知識點都是處在生生不息、源遠流長、環(huán)環(huán)緊扣的知識點（體現(xiàn)在學習者心理活動中）序列之間的某個必不可少的環(huán)節(jié)之中，而不可能孤立地存在，這形成了數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)性.正是如此的結(jié)構(gòu)性使新數(shù)學知識總是孕育于舊有的知識之中成為可能；于是，個體發(fā)生數(shù)學知識就可以利用這種結(jié)構(gòu)性，通過各種各樣的線索，從學習者所面臨的外在信息與已經(jīng)存有的舊數(shù)學知識的結(jié)合中產(chǎn)生新知識（將外在信息數(shù)學結(jié)構(gòu)化的過程，擴展了數(shù)學知識的范圍）.

這種具體的數(shù)學知識的核心思想的獨立性與知識點之間的結(jié)構(gòu)性的共存性特征，注定了數(shù)學知識具有自身傳播的內(nèi)在動力.換句話說，對于渴望掌握數(shù)學知識的學習者而言，當數(shù)學知識與學習者的智力相結(jié)合時，數(shù)學知識在學習者的認知結(jié)構(gòu)中便具有了自我繁衍與自我展開的能力（筆者在另一篇文章中稱之為數(shù)學知識的“自展性”，需要教師發(fā)掘其“自展機制”，教材分析的過程主要體現(xiàn)就是教師悉心研究數(shù)學知識的“自展機制”的過程）.在學習者發(fā)生數(shù)學知識認識時，這些都不斷地提示（乃至于規(guī)劃）著主體的認識方式的展開的大致軌跡脈絡，使人性能力的發(fā)揮獲得載體，從而實現(xiàn)數(shù)學教育目標.如此分析，我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學知識具有利于學習者學習的心理傾向性.由此可知，有效的數(shù)學教學設(shè)計的產(chǎn)生一定不能背離利用數(shù)學知識的這種利于學習的傾向性，教師的首要任務就是因勢利導，引導學生從已經(jīng)存有的數(shù)學現(xiàn)實與外在新的學習材料的結(jié)合中產(chǎn)生新的數(shù)學知識.

因此，一般來說，數(shù)學教科書的編制、教師的教材分析都應該從有利于學生學習數(shù)學的自在傾向性出發(fā)（確實，一輪又一輪的數(shù)學課程改革、特別是我國數(shù)學教育的面向國際視野，產(chǎn)生的結(jié)果是教科書的編制經(jīng)由許多學科專家與教育專家的思考是實踐，它力圖采用符合于學生理解數(shù)學知識的心理結(jié)構(gòu)機制的方式表征數(shù)學知識，但現(xiàn)實中總是存在著不盡于人意的瑕疵），這樣才能更好地發(fā)揮數(shù)學知識的教育價值：萌生數(shù)學思想，生成與再生數(shù)學觀念，形成數(shù)學能力（特別是學習者自學數(shù)學的能力），并有利于從數(shù)學思想、觀念、能力的發(fā)揮中析出具體的解決問題的數(shù)學方法[3].那么，現(xiàn)實的數(shù)學教科書編制是否盡可能地有利于這種教學設(shè)想的實現(xiàn)呢？2 教材分析力求發(fā)掘有利于學習者學習數(shù)學內(nèi)容的心理傾向性

在課程專家與或數(shù)學教育家編制數(shù)學教科書時，由于受到許多方面的限制，很難從數(shù)學知識產(chǎn)生的心理過程中萌生數(shù)學知識的核心思想、它的規(guī)范性表達與啟發(fā)性成分采用有效的方式和恰如其分的表達手段進行整合，從而寫入數(shù)學教科書（當然，這無可厚非，教師在教學設(shè)計時的教材分析，還需要二次開發(fā)教材，他必須要依據(jù)有利于具體學生學習具體數(shù)學知識的心理特點理解教材，作出合適的教學設(shè)計.其實這就是通常耳熟能詳?shù)摹坝媒滩慕蹋皇墙探滩摹钡囊馓N所在，這都是出于教材分析的結(jié)果）中，于是，數(shù)學知識本身所蘊藏的利于學生學習的優(yōu)良特性無法自行全面地在教科書中展現(xiàn)出來，從而達到有利于發(fā)揮它的教學功能的目的.

對于教科書的編寫者來說，第一要務是考慮數(shù)學教學內(nèi)容的規(guī)范性表達（而不是考慮如何呈現(xiàn)教學材料才有利于學生萌生核心數(shù)學思想），也可以從某個側(cè)面考慮教學內(nèi)容的啟發(fā)性成分，甚至對于某些知識還能非常好地體現(xiàn)學習者的認知心理與認知方式特點；但是，值得注意的是，從教科書編制的現(xiàn)實效果上看，教科書的編寫者很難突出利用教科書展現(xiàn)教學內(nèi)容的方式促進學生萌生數(shù)學知識所應內(nèi)含的核心思想，尤其難以辦到的是，通過對知識核心思想的外化手段，得到核心思想的規(guī)范性表達的心理活動過程，促進學習者通過這一過程取得啟發(fā)性成分的要素.

當然，這對教科書的編寫者提出了非常高的要求，事實上，教科書的編者也能意識到這一要求，但是，現(xiàn)實中的數(shù)學教科書的編制受到了許多方面的限制（如對數(shù)學知識發(fā)生過程中某些“直覺”成分的心理機制與過程難以成功地揣摩；文字量的限制導致了偏于知識的邏輯結(jié)構(gòu)性表達；學習者學習數(shù)學知識的個性心理差異難以評估從而得以體現(xiàn)；等等），于是，教科書的編寫者就希望使用這一教科書的教師在針對具體學生的心理特征的教材分析時，通過對教材二次開發(fā)實現(xiàn)教科書的編制者難以實現(xiàn)的目標.

例如，在北京師范大學出版社2013年依據(jù)2011年修訂后的義務教育數(shù)學課程標準編寫的數(shù)學教科書（七年級·下冊）第二章第2節(jié)的“探索直線平行的條件”[4]這段教學材料中，教科書編寫者采用了通過“同位角”、“內(nèi)錯角”與“同旁內(nèi)角”之間的關(guān)系，利用設(shè)計生活問題情境的方式，構(gòu)建了判定兩直線平行的三項具體條件.教科書中作出了規(guī)范性的表達：“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.”另外依據(jù)“內(nèi)錯角相等”或“同旁內(nèi)角互補”的關(guān)系進行平行線判定的表達也是如此.

教科書編寫者的如此表述，嚴格地說起來，它抓住了平行線判定的三個具體條件的外在特點，通過生活情境的設(shè)計，將這些特點在教科書中突出出來，有利于學生在學習時加深認識.但是，問題是這些都是外在描述性的特點，基本上沒有涉及到產(chǎn)生平行線判定條件的依據(jù)的心理過程.如此，學習者運用這些知識解決問題時，由于沒有通過知識的核心思想的外發(fā)性思考而形成規(guī)范性表達，就不可能從心理上吸收真正的啟發(fā)性成分的教益，對這一特定知識學習者需要采用的特定認知方式的形成與發(fā)揮作用幫助甚微，那就只能采用類比的心理機制來判斷外在信息是否符合平行線的判定，因而，要達到熟練運用知識的目的，就必然會采用變式教學的大運動量的訓練手段來突破難點.于是，這樣的教學結(jié)果與義務教育理念格格不入.

我們在多次觀摩實際數(shù)學教學后，發(fā)現(xiàn)不少教師就是采用如此的變式訓練（幾乎是窮盡各種各樣的圖形）的方法來發(fā)展學生駕馭新信息的手段的.教學過程沒有找到在這種問題情境之中產(chǎn)生的規(guī)范性表達所依據(jù)的那種不變的數(shù)學知識核心思想，從而造成了極大的教學損失.如果教師能夠深入到知識核心思想的層次，問題的解決就要容易得多，對學生的幫助也大得多，真正可以達到隨著數(shù)學知識的發(fā)生而萌生啟發(fā)性成分，通過如此的啟發(fā)性成分將數(shù)學知識的核心思想遷移到處理外在問題信息中去，使學習者的數(shù)學思想、數(shù)學觀念、數(shù)學能力、數(shù)學方法、數(shù)學技能等都可以得到整體的進展，從而提升了學習者的數(shù)學素質(zhì)，而且課堂教學效率與效果也要好得多.

因此，數(shù)學教師在分析這段教學內(nèi)容時，就要力透紙背，從編者的意圖、為體現(xiàn)這種意圖而設(shè)計的情境、編者在教科書中關(guān)于這幾個關(guān)聯(lián)的平行線判定的知識點的規(guī)范性表達中，窺視出這三種判定兩直線平行方法的依據(jù)，更為重要的是要從這一整體中發(fā)掘體現(xiàn)這三種不同判定兩直線平行的具有公共基礎(chǔ)的核心思想.只有獲得了決定數(shù)學知識公共基礎(chǔ)的核心思想，在這種核心思想外化成它的規(guī)范性表達過程中，教師通過自己的教學設(shè)計，必然要設(shè)法獲得體現(xiàn)核心思想的載體（情境設(shè)計），啟發(fā)性成分就會自覺地揭示出來，學習者吸收了這種啟發(fā)性成分的營養(yǎng)，在運用這些判定解決外在問題信息時，思路的產(chǎn)生、方法的獲得都水到渠成，不再像外部訓練性發(fā)生知識那樣，耗盡學習者的心力還不容易產(chǎn)生好的、容易遷移的結(jié)果.

設(shè)計有效數(shù)學教學的基礎(chǔ)與前提就是要首先獲得體現(xiàn)數(shù)學知識的核心思想.那么，怎樣方能從教科書的字斟句酌的規(guī)范性表達中析出數(shù)學知識的核心思想呢？這沒有一個固定的模式，它隨著數(shù)學知識的性質(zhì)不同、教師對數(shù)學知識的理解不同、教師的教學經(jīng)驗不同、教師體認學生發(fā)生數(shù)學知識的心理活動環(huán)節(jié)不同、教師理解數(shù)學教育目標的心理認知的不同等而不同，因此，它極具靈活性的一面，需要就具體知識、具體學生而具體對待.正如寫文章一樣，對于同一個素材，可以從不同的側(cè)面入手，但其價值可能產(chǎn)生高低層次的不同，教育人的效果就可能大相徑庭.3 教材分析奠基教學設(shè)計的有效性示例

從上述的分析中，我們發(fā)現(xiàn)，教材分析的有效環(huán)節(jié)與途徑就在于：其一，從教科書的關(guān)于數(shù)學知識點的規(guī)范性表達中析出數(shù)學知識內(nèi)蘊的核心思想；其二，找到能夠支持數(shù)學知識核心思想外化為可以表達的數(shù)學知識的情境承載物；其三，引導學習者將數(shù)學知識核心思想再次轉(zhuǎn)化為規(guī)范性的數(shù)學表達；其四，學習者借助于核心思想的表達過程吸收數(shù)學知識中隱含的原創(chuàng)者的認識方式的啟發(fā)性成分的營養(yǎng).我們?nèi)匀灰浴疤剿髦本€平行的條件”為例，展示教材分析的有效環(huán)節(jié).

教師第一步從直線平行所要的條件（“同位角相等”，“內(nèi)錯角相等”與“同旁內(nèi)角互補”三個條件各自形成的判定）的教科書上規(guī)范性表達中，析出決定這三個結(jié)論的具有共性基礎(chǔ)的要素，這就是“探索直線平行的條件”的這一類知識點的核心思想.我們業(yè)已知道，這是非常重要的一步，是決定著數(shù)學教學設(shè)計成敗的最為關(guān)鍵性的基礎(chǔ).

事實上，教師如果仔細揣摩教科書的規(guī)范性表達的文字語言，發(fā)現(xiàn)在這三個判定兩直線平行的方法之中都有相同的一句話“兩條直線被第三條直線所截”，這意味著什么？如果教師具有更加寬闊的視野，在嚴格的平面幾何教程或者專著（例如《幾何原本》）的論述中，對這句話中的“兩條直線”命名為“被截線”，而將其中的“第三條直線”命名為“截線”發(fā)問（這樣的命名難道是無意識地、隨便的，沒有什么價值嗎？），從對這些問題的思考中，我們發(fā)現(xiàn)，平行線的三種判定方法就在于在這三條直線的關(guān)系中，區(qū)分出哪兩條直線是“被截線”與哪一條直線是“截線”這種數(shù)學知識核心思想，至于何為“同位角”、“內(nèi)錯角”還是“同旁內(nèi)角”都是為了判定兩條“被截線”是否平行而對幾對角的命名而已，那已經(jīng)是十分簡單的事了.于是，這個問題便變成了在“三線十二角”中，確定不同頂點的兩個角之間固定關(guān)系，就在于判斷何為“被截線”與何為“截線”的問題了.那么，在教師的教學設(shè)計中，如何幫助學習者區(qū)分“被截線”與“截線”呢？這其實可以歸結(jié)為下面例1的問題.圖2分別是怎樣的一對角（“同位角”、“內(nèi)錯角”或“同旁內(nèi)角”）？

決定這道題本質(zhì)的數(shù)學知識核心思想就是對“被截線”與“截線”概念的理解，它的迂腐的規(guī)范性表達就是“兩條被截線被一條截線所截”，探究區(qū)分“被截線”與“截線”的標志的過程就將隱含的數(shù)學知識核心思想顯性化，從中可以獲得知識發(fā)生的啟發(fā)性成分，這種啟發(fā)性成分決定應用如此的數(shù)學知識的廣度、深度，也是學生理解平行線三項判定的內(nèi)在心理基礎(chǔ)，而不必采用那種“事倍功半”的、通過窮盡各色各樣的特殊圖形的辦法解決新問題.這樣問題就歸結(jié)為找到一種簡約（而不簡單）的方法來區(qū)別“三線”之中的一條“截線”與兩條“被截線”的標志了.下面的是筆者的一節(jié)公開課課堂教學關(guān)鍵環(huán)節(jié)的實錄：

師：（前在知識：通過問題情境設(shè)計，學生建立起了“被截線”與“截線”概念）如何解決這個問題？

生1：圖2中，弄清楚組成這兩個角的三條直線中哪一條是“截線”，哪兩條直線是“被截線”……

師：一個很好的想法.如何將圖2中這三對角各自的“截線”與“被截線”區(qū)分開來？圖3

生2：取最簡單的圖形，如圖3，對而言，直線c是“截線”，直線a，b是“被截線”，顯然，

生4：我們可以獲得如下規(guī)律（分類的一種標準）：在“三線十二角”中，要討論的不同頂點的兩個角公共邊是“截線”，單獨作為兩角中某一個角的邊的兩條直線就是“被截線”.

師：大家運用這一規(guī)律解決問題.

這個教材分析的例子，從教科書的字里行間的規(guī)范性表達析出知識的核心思想，再經(jīng)由核心思想轉(zhuǎn)化為學習者自己的規(guī)范性表達，從中生成了啟發(fā)性成分，深層次地理解知識、在理解的基礎(chǔ)上運用數(shù)學知識、由此可以生成深度數(shù)學經(jīng)驗.事實上，深度數(shù)學學習經(jīng)驗不同于簡單地接受外在他人的經(jīng)驗，而是形成了學生對自我的開放：感知的擴展、意識的覺醒、智慧的生成.學生借助于這種自我開放，超越已經(jīng)形成的過去，并用新的方法，依據(jù)新的觀念，來接觸世界、認識自己、營造未來[5].教科書的編寫的缺陷在于就知識而論知識，它只是關(guān)注了數(shù)學知識外顯的表象，而沒有發(fā)掘決定知識的深層次結(jié)構(gòu)的本質(zhì)——核心思想，從而不能鼓勵學習者吸取從核心思想轉(zhuǎn)化為規(guī)范性表達過程中的啟發(fā)性成分的營養(yǎng).4 簡要結(jié)語

數(shù)學教學不是就數(shù)學知識而論數(shù)學知識，而是通過教學設(shè)計促使學生萌生數(shù)學思想的過程，在將學生萌生的數(shù)學思想轉(zhuǎn)化為規(guī)范性的表達、形成數(shù)學知識的過程中，體悟數(shù)學知識核心思想的啟發(fā)性成分，從而生成深度數(shù)學經(jīng)驗，實現(xiàn)數(shù)學資源的教育價值.就數(shù)學教學設(shè)計而言，教師從教科書中的表達中析出數(shù)學知識的核心思想起著關(guān)鍵性的作用，因而是最為重要的第一環(huán)節(jié)，而教材分析是析出數(shù)學知識核心思想的基礎(chǔ)，因此，我們可以說，提高數(shù)學教師教材分析水平在提高數(shù)學教學設(shè)計的有效性中起著至關(guān)重要的作用，具有首當其沖的地位，對此，我們要思之再思，慎之又慎.參考文獻

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[5]張昆.整合數(shù)學教學設(shè)計的取向——基于知識發(fā)生的邏輯取向與心理取向研究[J].中國教育學刊，2011（6）：52-55.作者簡介 張昆（1965—），男，安徽合肥人，中學高級教師.已在《中學數(shù)學雜志》，《課程教材教法》等雜志發(fā)表論文數(shù)百篇，其中，17篇被人大復印報刊資料全文收錄.主要研究方向為數(shù)學教學論，數(shù)學課程論與數(shù)學史.